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微专题19　基本初等函数、函数与方程
1.指数函数与对数函数的图象与性质
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况讨论．当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0(2)底数互为倒数的两指数函数的图象关于y轴对称；底数互为倒数的两对数函数的图象关于x轴对称．
2.函数的零点问题
(1)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(2)确定函数零点的常用方法：
①直接解方程；
②利用函数零点存在定理求解；
③数形结合，利用两函数图象的交点求解．
微点一　基本初等函数的图象与性质
例1　(1)在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga(－x)，y＝(a>0，且a≠1)的图象可能是 (　　)
　　
　　
(2)已知函数f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 (　　)
A．(1，＋∞) B．[ln 2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[听课记录]____________________________________________________________
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(1)指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
训练1　(1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
(2)(2025·徐州模拟)已知函数f(x)＝2ax2－x＋1的值域为M.若(1，＋∞) M，则实数a的取值范围是 (　　)
A． 　　　　　　　　 B．
C．∪ 　　 D．
微点二　函数的零点
考向1　函数零点的判断
例2　(1)(2025·天津高考)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是 (　　)
A．(0，0.3) B．(0.3，0.5)
C．(0.5，1) D．(1，2)
(2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
[听课记录]____________________________________________________________
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判断函数零点个数的方法
(1)利用零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．
考向2　函数零点的应用
例3　(2025·江西模拟)已知函数f(x)＝(x2－4x＋m)(4－m－1)恰有3个零点，则m的取值范围是____________________.
[听课记录]____________________________________________________________
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利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
训练2　(1)设c∈R，函数f(x)＝若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是 (　　)
A．(0，1) B．{0}∪[1，＋∞)
C． D．{0}∪
(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)＝lg x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点的个数是________．
微点三　函数模型及其应用
例4　(1)(2025·北京高考)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时) (　　)
A．2　　　B. 4　　　C. 20　　　D. 40
(2)(2025·江西一模)经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数v＝log3(单位：m/s)，θ表示湟鱼的耗氧量的单位数．若某条湟鱼把游速提高2 m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的 (　　)
A．2倍 B．4倍 C．9倍 D．81倍
[听课记录]____________________________________________________________
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训练3　(多选题)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则 (　　)
A．a＝－ln 5
B．k＝15
C．一等奖的面值为3 130元
D．三等奖的面值为130元
1．(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
2．(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝ (　　)
A． B． C． D．
3．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259) (　　)
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
4．(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压，下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 (　　)
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
5．(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________．
微专题19　基本初等函数、函数与方程
例1　(1)C　解析　因为函数y＝loga(－x)的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称，所以函数y＝loga(－x)的图象恒过定点(－1，0)，故选项A，B错误．当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，而y＝(a>1)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故D错误，C正确．
(2)C　解析　若f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，则必然在x＝1处有定义，所以a1－2>0，即a>2.若a>2，则当x≥1时，ax－2≥a－2>0，所以f(x)在[1，＋∞)上有定义，再由a>2知ax－2在R上单调递增，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故a的取值范围是(2，＋∞).
训练1　(1)D　解析　解法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D.
解法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D.
(2)B　解析　当a＝0时，f(x)＝2－x+1∈(0，＋∞)，符合题意；当a≠0时，因为函数f(x)＝2ax2－x＋1的值域为M，且满足(1，＋∞) M，由指数函数的单调性可知，二次函数y＝ax2－x＋1的最小值ymin≤0，当a>0时，依题意有y＝ax2－x＋1的最小值≤0，即0例2　(1)B　解析　易知f(x)单调递减，又f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－＝－<0，所以f(x)的零点所在区间是(0.3，0.5)，故选B.
(2)C　解析　因为y＝cos 的图象向左平移个单位长度所得函数为y＝cos ＝cos ＝－sin 2x，所以f(x)＝－sin 2x，而y＝x－显然过与(1，0)两点，
作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示，考虑2x＝－，2x＝，2x＝，即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系，当x＝－时，f＝－sin ＝－1，y＝×－＝－<－1；当x＝时，f＝－sin ＝1，y＝×－＝<1；当x＝时，f＝－sin ＝1，y＝×－＝>1.所以由图可知，f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为3.
例3　(－1，0)∪(0，3)∪(3，4)　解析　令f(x)＝(x2－4x＋m)(4－m－1)＝0，得m＝－x2＋4x或m＝4－1.
令g(x)＝－x2＋4x，h(x)＝4－1，作出两函数的大致图象，如图所示，这两个函数图象的交点为(0，0)，(3，3)，因为g(x)max＝4，h(x)>－1，所以由图可知m的取值范围是(－1，0)∪(0，3)∪(3，4).
训练2　(1)D　解析　画出函数g(x)＝的图象如图所示．函数f(x)＝可由g(x)＝分段平移得到，易知当c＝0时，
函数f(x)恰有一个零点，满足题意；当c<0时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当c>0时，图象往下平移，若当0<2c<1时，函数有两个零点；若当2c≥1，即当c≥时，f(x)恰有一个零点，满足题意．综上，可得c的取值范围是{0}∪.故选D.
(2)11　解析　因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，所以可利用f(x)的周期性与奇偶性作出f(x)的大致图象，因为g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)＝lg x，所以函数y＝g(x)的大致图象如图所示．考虑特殊位置，当x＝－1时，f(－1)＝1，g(－1)＝－g(1)＝－lg 1＝0；当x＝9时，f(9)＝f(1)＝f(－1)＝1，g(9)＝lg 9<1；当x＝11时，f(11)＝f(1)＝1，g(11)＝lg 11>1，函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点个数，所以由图象可知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点个数为11(不要忽略原点).
例4　(1)B　解析　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B.
(2)D　解析　设原来和现在的耗氧量的单位数分别为θ1，θ2，则log3＝log3＋2，所以log3＝4，所以＝34＝81，所以耗氧量的单位数是原来的81倍．故选D.
训练3　ACD　解析　由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，所以＝e－a＝＝5，则a＝－ln 5，故A正确．由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误．三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130元，故D正确．由ea＋b＋k＝e3a＋b·e-2a＋k＝125×25＋5＝3 130，故一等奖的面值为3 130元，故C正确．故选ACD.
真题巧用·明技法
1．B　解析　由函数y＝4.2x单调递增可知，0a>c，故选B.
2．B　解析　因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
3．C　解析　4.9＝5＋lg V lg V＝－0.1 V＝10－＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
4．ACD　解析　因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；假设p2>10p3，则p010>10p010，所以10－>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p010.因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；因为＝＝10－＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，选ACD.
5．64　解析　根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64.(共44张PPT)
赢在微点 考前顶层设计 数学
专题六　
函数、导数与不等式
专题六 函数、导数与不等式
微专题19
基本初等函数、函数与方程
核心整合
核心整合
解析
解析
方法提炼
解析
解析
解析
解析
解析
方法提炼
解析
方法提炼
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
解析
解析
8当
0
01
:
以题梳点
和考君
y
0
1
X
y
0
1
X
y米
1
X
y
O
1
X
y
过
3π
y=f(x
4
3π
7π
衣
4
4
y
y=h(x)
4
3
y=8(x)
0
3
4
X
y=-1
利用函数零点存在定理构建不等式确
直接法
定参数的取值范围
分离参数法
将参数分离，转化成求函数的值域问题
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系
数形结合法
中作出函数的图象，然后数形结合求解
y
0
X
y=f(x)
y=g(x)
1234567891011x
真题巧用
明技君微练(三十)　基本初等函数、函数与方程
班级：　　　　　　姓名：
基础过关练
一、单项选择题
1．函数f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)的零点所在的区间是 (　　)
A.(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
2．已知函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是 (　　)
A.(－∞，－18) B．(5，＋∞)
C.(5，18) D．(－18，－5)
3．(2025·南昌一模)已知f(x)＝则方程f(x)＝8所有的根之和为 (　　)
A.1 B．2 C．5 D．7
4．(2025·桂林模拟)已知a＝，3b＝5，5c＝8，则 (　　)
A.aC.c5．(2025·福建模拟)已知函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上单调递增，则a的取值范围为 (　　)
A. B．
C. D．[1，＋∞)
6．(2024·北京高考)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则 (　　)
A.log2<
B.log2>
C.log2D.log2>x1＋x2
7．(2025·贵州一模)20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级约为(精确到0.1，参考数据：lg 2≈0.3) (　　)
A.4.4 B．4.7
C.5 D．5.4
8．若f(x)为R上的偶函数，且f(x)＝f(4－x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝3|sin πx|－f(x)在区间[－1，5]内的所有零点的和是 (　　)
A.20 B．18 C．16 D．14
二、多项选择题
9．已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则 (　　)
A.f(x)的定义域是(－6，4)
B.f(x)有最大值
C.不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D.f(x)在[0，4]上单调递增
10．已知函数f(x)＝4x＋＋2，则下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)在(－∞，0)上单调递增
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于点(0，1)对称
D.不等式f(x＋1)<的解集是(－2，0)
11．已知函数f(x)＝，则 (　　)
A.不等式|f(x)|<的解集是(－1，1)
B. x∈R，有f(－x)＝f(x)
C.f(x)在R上单调递减
D.f(x)的值域为(－1，1)
三、填空题
12．已知3x＝，y·log33＝1，则x＋y＝____________．
13．已知函数f(x)＝ln x＋b＋1的零点在(1，e)内，则b的取值范围为_____________．
14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，2]上单调递减，f(x＋2)为偶函数，若f(x)＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
能力提升练
15.(多选题)已知函数f(x)＝ex＋2x－2，g(x)＝2ln x＋x－2的零点分别为x1，x2，则 (　　)
A.2x1＋x2＝2 B．x1x2＝ex1＋ln x2
C.x1＋x2> D．2x1x2<
16．(2025·泉州一模)如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿射线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB＝y).令P与Q同时分别从A，C出发，则数学家纳皮尔定义x为y的对数中，x与y的对应关系就是y＝107，其中e为自然对数的底．若点P从线段AB的中点运动到靠近B的四等分点，点Q同时从Q1运动到Q2，则＝________.
微练(三十)　基本初等函数、函数与方程
1．C　解析　因为函数f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)在(－，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)最多只有一个零点．因为f(0)＝5－lg 1＝5>0，f(1)＝3－lg 3>0，f(2)＝1－lg 5>0，f(3)＝－1－lg 7<0，所以函数f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)的零点所在的区间是(2，3).故选C.
2．D　解析　由函数零点存在定理可知，若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，显然函数为增函数，只需满足f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－183．A　解析　若x<0，由x2－2x＝8 (x＋2)(x－4)＝0，所以x＝－2；若x>0，由2x＝8 x＝3.因为－2＋3＝1，所以方程f(x)＝8的所有根的和为1.故选A.
4．C　解析　由3b＝5，5c＝8，得b＝log35，c＝log58.因为＝33＝27>25＝52，所以3>5，所以＝log33>log35，所以a>b.因为＝53＝125>64＝82，所以5>8，所以＝log55>log58，所以a>c.因为＝＝＝≥＝＝＝＝>1，所以b>c.综上所述，c5．D　解析　令t＝ax2－x，因为函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上单调递增，所以函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上有意义，且t＝ax2－x在(1，2)上单调递增，所以a≠0，则或解得a≥1，所以a的取值范围为[1，＋∞).故选D.
6．B　解析　因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝2x1，y2＝2x2，且x1≠x2，则2x1≠2x2，所以y1＋y2＝2x1＋2x2>2＝2，所以>>0，所以log2>log2＝，故选B.
7．A　解析　根据题意可知这次地震的震级为：M＝lg 50－lg 0.002＝lg ＝lg 25 000＝lg ＝5－2lg 2≈5－0.6＝4.4；因此可知这次地震的震级约为4.4级．故选A.
8．A　解析　若f(x)为R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，且f(x)＝f(4－x)，则f(－x)＝f(4－x)，f(x)的周期T＝4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则当x∈[－2，0)时，f(x)＝－1，即可画出函数f(x)的图象，如图．函数y＝3sin πx的周期是2，最大值为3，把函数y＝3sin πx在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即可得到y＝3|sin πx|的图象．由图可知y＝f(x)与y＝3|sin πx|的图象在区间[－1，5]内一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线x＝2对称，所以g(x)在区间[－1，5]内的所有零点的和是20.
9．AB　解析　由题意可得解得－610．BD　解析　对于A，当x<0时，f′(x)＝4x ln 4－ln 4＝(4x－4－x)ln 4<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，故A错误；对于B，f(x)的定义域为R，f(－x)＝4－x＋＋2＝＋4x＋2＝f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称，故B正确；对于C，因为f(x)＋f(－x)＝2＋4>2，故函数f(x)的图象不关于点(0，1)对称，故C错误；对于D，由f(x＋1)＝4x+1＋＋2<，得(4x+1)2－×4x+1＋1<0，则<4x+1<4，可得－111．AD　解析　对于A，|f(x)|<，即－<<，即－<1－<，即<<，即<2x＋1<3，即<2x<2，所以－11，y＝1－在u>1时单调递增，所以f(x)在R上单调递增，故C错误；对于D，记y＝f(x)＝1－，显然y≠1，则2x＝，由2x>0得，>0，解得－112．2－log32　解析　因为3x＝，y·log33＝1，所以x＝log3＝1－log32，y＝1，所以x＋y＝2－log32.
13．(－1，0)∪(0，1)　解析　当b＝0时，f(x)＝－ln x＋1，令f(x)＝0得x＝e (1，e)；当b≠0时，易知f(x)在(0，＋∞)上单调，所以f(1)·f(e)＝(b＋1)·<0，即－114．24　解析　由f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是奇函数，所以f(x)是周期函数，周期为8.作出函数f(x)在[0，12]上的大致图象趋势如图所示，作出直线y＝m，由图可知，若f(x)的图象与直线y＝m在[0，12]上有4个交点，则f(2)15．ACD　解析　对于A，由题知ex1＋2x1－2＝0，2ln x2＋x2－2＝0，所以ex1＋2x1＝2ln x2＋x2＝2，即ex1＋2ln ex1＝2ln x2＋x2＝2，所以ex1＝x2，故2x1＋x2＝2x1＋ex1＝2，故A正确；对于B，由f(x)＝0，g(x)＝0得ex＝－2x＋2，ln x＝－x＋1，故函数y＝ex与y＝－2x＋2的图象交点的横坐标和y＝ln x与y＝－x＋1的图象交点的横坐标即为函数f(x)和g(x)的零点x1，x2，如图，由图象性质可知0>，故C正确；对于D，由A，B得ex1＝x2，0　　　
16．　解析　令y＝，则＝107，整理得x＝107ln 2，即CQ1＝107ln 2，令y＝，则＝107，整理得x＝107ln 4，即CQ2＝107ln 4，所以＝＝.(共32张PPT)
微练(三十)　基本初等函数、
函数与方程
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