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离散型随机变量的数字特征
单 元 框 架
单 元 框 架
1．通过具体实例，理解并掌握离散型随机变量的数字特征，并能够根据分布列计算数学期望和方差，培养数学运算的核心素养；
2．通过实例，能自主推导出两个具有线性关系的随机变量之间均值、方差的关系，培养学生逻辑推理的核心素养；
3．能够运用数字特征解决实际生活中的决策问题，培养数学建模的核心素养.
学 习 目 标
课 前 导 学
中国射击队在2024年巴黎奥运会上的亮眼表现，掀起了一波“射击热”。某校甲、乙两名射击运动员经过专业训练，射中靶标的环数可能为6环、7环、8环、9环、10环，概率分别为：
甲：0.09、0.24、0.32、0.28、0.07；
乙：0.07、0.22、0.38、0.30、0.03.
课 前 导 学
情境与问题
首先比较射中的平均环数，再看稳定性.
思考：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？
甲、乙两名射击运动员射中靶标的环数的分布列如表所示.
如何比较他们射击水平的高低呢？
环数 6 7 8 9 10
甲射中的概率 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
乙射中的概率 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
问 题 探 究
单 元 回 顾
算术平均值
复习回顾1：样本数据 的平均数为
复习回顾2：如果样本数据 出现的频数为 ，
那么所有数据的平均数为
分别为 出现的频率，若分别记为 ，则
由于
加权平均值
单 元 回 顾
问 题 探 究
问题探究1：假设甲射击次，射中6环、7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为，，，，求甲射击次射中的平均环数.
问 题 探 究
问题探究2：根据大数定律，当足够大时，频率稳定于概率，
即 ，则此时 稳定于何值？
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为8，
这个平均值的大小可以反映甲运动员的射击水平.
甲、乙两名射击运动员射中靶标的环数的分布列如表所示.
环数 6 7 8 9 10
甲射中的概率 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
乙射中的概率 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
=6×0.09+7×0.24+8×0.32+9×0.28+10×0.07=8.
问 题 探 究
6×0.07+7×0.22+8×0.38+9×0.30+10×0.03=8.
甲、乙两名射击运动员射中靶标的环数的分布列如表所示.
追问：当足够大时，乙射击次射中的平均环数稳定于何值？
环数 6 7 8 9 10
甲射中的概率 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
乙射中的概率 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
问 题 探 究
问题探究3：上述两个平均值都是通过怎样的计算得到的？
随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数.
稳定于6×0.09+7×0.24+8×0.32+9×0.28+10×0.07=8.
稳定于6×0.07+7×0.22+8×0.38+9×0.30+10×0.03=8.
从平均值的角度比较，甲、乙射击水平相当.
结论：
概 念 形 成
离散型随机变量的均值
概念生成
一般地，如果离散型随机变量 的分布列如下表所示.
则称
为离散型随机变量 的均值或数学期望(简称为期望)，也可以记为 ，它反映了随机变量取值的平均水平.
概 念 形 成
抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 ，求 的均值．
X 1 2 3 4 5 6
P
【巩固练习】
分析：先求出 的分布列，再根据定义计算 的均值．
解： 的取值范围为 .
则 的分布列如下：
归纳总结求随机变量均值的一般步骤
求离散型随机变量 的均值的步骤：
(3)列出分布列，利用公式 求出均值.
(1)确定随机变量 的所有可能的取值；
(2)求出随机变量取各个值时对应的概率；
总 结 提 升
问 题 探 究
随机模拟这个试验，重复50次、重复200次和重复500次各做7次，观测出现的点数并计算平均数．根据观测值的平均数（样本均值）绘制统计图.
观察图形，在三组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
试验探究
掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数 的均值为3.5．
问 题 探 究
问 题 探 究
问题探究4：观察比较三组试验结果，你有什么发现？
问 题 探 究
【结论】　　
随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动．随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．
因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值．
问题探究4：观察比较三组试验结果，你有什么发现？
情境与问题
二者射击环数的均值相等
甲、乙两名射击运动员射中靶标的环数的分布列如表所示.
如何比较他们射击水平的高低呢？
环数 6 7 8 9 10
甲射中的概率 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
乙射中的概率 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
问 题 探 究
除平均中靶环数以外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.
问 题 探 究
下图分别是甲射中环数 和乙射中环数 的概率分布图.
比较两个图形，哪一名同学的射击成绩更稳定
乙同学
问题探究5：怎样定量刻画随机变量的离散程度？
复习回顾3：
称为这组数据的方差；
设在一组数据 中, 是它们的平均数，则方差公式为：
称为这组数据的标准差.
样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.
单 元 回 顾
问 题 探 究
思考：能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？
设离散型随机变量 的分布列如表所示:
考虑 所有可能取值 与 的偏差的平方:
因为 取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量 取值与其均值 的偏离程度.
X x1 x2 ... xk ... xn
P p1 p2 ... pk ... pn
一般地，若离散型随机变量 的分布列如下表所示.
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量 的方差，并称 为随机变量 的标准差，记为
离散型随机变量的方差
概念生成
概 念 形 成
说明：
（1）随机变量的方差和标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量；
（2）随机变量的方差和标准差的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
总 结 提 升
问 题 探 究
甲、乙两名射击运动员射中靶标的环数的分布列如表所示.
环数 6 7 8 9 10
甲射中的概率 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
乙射中的概率 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平.
因为 ，所以随机变量 的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
典 例 分 析
例题：某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为 ．
(1)求随机变量 的分布列、期望和方差；
(2)若参与一次抽奖需要花费60元，设每次抽奖的收益为 元，求随机变量 的期望．
典 例 分 析
例题：某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为 ．
(1)求随机变量 的分布列，期望和方差；
解：（1）依题意， 的取值范围为 ，
所以 的分布列为：
X 0 1 2
P
期望： ;
方差：
典 例 分 析
例题：某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为 ．
(2)若参与一次抽奖需要花费60元，设每次抽奖的收益为 元，求随机变量 的期望．
解：（2）依题意， 的取值范围为 ，
所以 的分布列为：
Y -60 -10 40
P
期望： ;
辨 析 理 解
已知随机变量 满足线性关系 ，
分布列如下表所示:
X x1 x2 ... xk ... xn
Y ax1+b ax2+b ... axk+b ... axn+b
P p1 p2 ... pk ... pn
辨 析 理 解
已知随机变量 满足线性关系 ，
由 与 之间分布列的关系可知：
即
原式
问题探究6：
满足线性关系 的随机变量
的方差之间有什么联系？
X x1 x2 ... xk ... xn
Y ax1+b ax2+b ... axk+b ... axn+b
P p1 p2 ... pk ... pn
的分布列如下表所示：
问 题 探 究
问题探究6：
满足线性关系 的随机变量
的方差之间有什么联系？
问 题 探 究
典 例 分 析
例题：某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X．
(1)求随机变量X的分布列，期望和方差；
(2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，直接写出随机变量Y的期望和方差．
(2)依题意，每次抽奖的收益
期望：
方差：
学 以 致 用
一等奖金×一等奖概率+二等奖金×二等奖概率+...+六等奖金×六等奖概率
学 以 致 用
期望的应用
保险定价
计算投保人平均理赔金额，确定保费.
游戏设计
预测玩家长期收益，保证庄家盈利.
学 以 致 用
方差的应用
投资决策
高方差代表风险，用于权衡收益与风险.
质量控制
方差小说明生产稳定性高.
学 以 致 用
7
2
8
课 堂 小 结
巩固型作业:完成离散型随机变量的数字特征课时作业；
实践型作业：设计一个简单的游戏（如掷骰子、抽奖），计算参与者 收益的期望和方差，并分析游戏是否公平或有风险.
课 后 导 学

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