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华东师大版·八年级数学下册
16.1 变量与函数
第16章 函数及其图象
第1课时 变量与函数
新课导入
世界处在不停的运动变化中，如何研究这些运动变化规律呢？数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
新课探究
如图是某地一天内的气温变化图.
问题 1
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-4
2
4
6
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12
14
16
18
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24
T/℃
t/h
这张图告诉我们哪些信息？
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4
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T/℃
t/h
看图回答：
（1）这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.
-1℃
2℃
5℃
0
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8
-2
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T/℃
t/h
（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
5℃
-4℃
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T/℃
t/h
（3）这一天中，哪些时段的气温在逐渐升高？哪些时段的气温在逐渐降低？
温度升高
温度降低
从图中我们可以看到，随着时间 t (h) 的变化，气温 T (℃) 也随之变化.
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-2
-4
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T/℃
t/h
温度升高
温度降低
问题 2
小蕾在过 14 岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：
周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重/kg 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9
观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？
随着年龄的增长，小蕾的体重也逐渐增长，且在 1~2 岁增加较快.
周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重/kg 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9
问题 3
收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的. 下面是一些对应的数值：
波长 λ/m 300 500 600 1000 1500
频率 f /kHz 1000 600 500 300 200
波长 λ/m 300 500 600 1000 1500
频率 f /kHz 1000 600 500 300 200
细心的同学可能会发现：每一列 λ 与 f 的对应值的乘积是一个定值，即：
λ f = 300 000，
或者说
300 000
λ
f =
可以看出：波长 λ 越大，频率 f 就_______.
越小
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用 r 表示圆的半径，用 S 表示圆的面积，则 S 与 r 之间满足下列关系：
S =________．
问题 4
πr2
半径r/cm 1 1.5 2 2.6 3.2 …
圆面积S/cm2 …
利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表：
π
2.25π
4π
6.76π
10.24π
S = πr2
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.
概括
例如问题1 中，刻画气温变化规律的量是时间 t 和气温 T，气温 T 随着时间 t 的变化而变化，它们可以取不同的数值.
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T/℃
t/h
像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量.
在其他三个问题中，有哪些变量？
问题2 年龄和体重是变量；
问题3 波长 λ 和频率 f 是变量；
问题4 面积 S 和半径 r 是变量.
上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数．
表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法. 如问题 3 中的 ，问题 4 中的 S = πr2，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式.
300 000
λ
f =
（2）列表法. 如问题 2 中小蕾的体重表，问题 3 中波长与频率关系表．
周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重/kg 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9
波长 λ/m 300 500 600 1000 1500
频率 f/kHz 1000 600 500 300 200
（3）图象法. 如问题 1 中的气温曲线图.
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T/℃
t/h
在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量.
300 000、π 都是常量
例如问题3 中的 ，
问题4 中的 S = π r2.
300 000
λ
f =
在研究函数时，必须注意自变量的取值范围. 实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.
例如，上述问题 4 中，自变量 r 表示圆的半径，所以不能为负数和 0，即它的取值范围是一切正实数.
r
1. 举出 3 个日常生活中遇到的变量与函数的例子.
练 习
2.下表是某市 2021 年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：
年龄组/岁 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
平均身高/cm 124 130 135 141 145 151 159 165 168 170 171 172
观察此表，回答下列问题：
（1）该市 14 岁男学生的平均身高是多少？
年龄组(岁) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
平均身高(cm) 124 130 135 141 145 151 159 165 168 170 171 172
（2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始增加特别迅速？
6
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年龄组(岁) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
平均身高(cm) 124 130 135 141 145 151 159 165 168 170 171 172
（3）这里反映了哪些变量之间的函数关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？
反映了该市中小学男学生年龄与平均身高之间的关系；年龄是自变量，平均身高是因变量.
课堂小结
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数．
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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