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16.3.1 一次函数
华东师大版八年级数学下册
16.3 一次函数
新课导入
暑假里小明的爸爸带
领全家去北京自驾游. 汽车驶
上A地的高速公路后，小明发现
汽车匀速行驶的速度是95km/h. 已知A地直达北京的高速公路全程为285km，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自已距北京的路程.
问题 1
暑假里小明的爸爸带领全家去北京自驾游. 汽车驶上A地的高速公路后，小明发现汽车匀速行驶的速度是95km/h. 已知A地直达北京的高速公路全程为285km，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自已距北京的路程.
新课探索
解：设汽车在高速公路上的行驶时间为 t h，汽车距北京的路程为 s km，则不难得到 s 与 t 之间的函数关系式：
s = 285 – 95t
问题 2
弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长. 弹簧的长度 y(cm) 是所挂重物质量 x(kg) 的函数. 已知一根弹簧在不挂重物时长 6 cm. 在一定的弹性限度内，每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm. 求这个函数关系式.
解：因为每挂 1 kg重物弹簧伸长 0.3 cm，所以挂 x kg 重物时弹簧伸长 0.3x cm. 又因为不挂重物时弹簧的长度为 6 cm，所以挂 x kg 重物时弹簧的长度为（0.3x + 6）cm，即有
y = 0.3x + 6
圆的周长 C 随着半径 r 的变化而变化. 写出圆的周长 C 与半径 r 的函数关系式.
解：C 与 r 的函数关系式为：
C = 2πr
问题 3
s = 285 – 95t
y = 0.3x + 6
思考：问题中得到的函数关系式有什么共同特点？
C = 2πr
（1）等号两边的代数式都是整式；
（2）自变量的最高次数是1，且一次项系数不为 0.
上述函数的关系式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数.
一次函数通常可以表示为 y = kx + b 的形式，其中 k、b 是常数，k ≠ 0.
特别地，当 b = 0 时，一次函数 y = kx（常数 k ≠ 0）也叫做正比例函数.
s = 285 – 95t
y = 0.3x + 6
C = 2πr
练习
1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y = – 8x； （2）y = ；
（3）y = 5x2 + 6； （4）y = – 0.5x – 1
解：一次函数：（1）（4）
正比例函数：（1）
归纳总结：
1.判断一个函数是一次函数的条件：
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为0
自变量是一次整式，一次项系数不为0，常数项为0
正比例函数是特殊的一次函数
2.已知 是关于 x 的一次函数，求 m 的值.
解：∵ 是关于 x 的一次函数
∴
m2 – m ≠ 0，
m2 = 1，
∴m = – 1.
练习
思考
前两节(16.1节和16.2节)所出现的函数中，哪些是一次函数？
（1）有人发现，在 20 25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数 C 与温度 t（单位：℃）有关，即 C 的值约是 t 的 7 倍与 35 的差.
思考下列问题，写出对应的函数关系式：
C = 7t – 35 (20 ≤ x ≤ 25).
（2） 一种计算成年人标准体重 G（千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值 h，h 再减常数 105，所得的差就是 G 的值.
G = h – 105
（3）把一个长 10 cm，宽 5 cm 的长方形的长减小 x cm，宽不变，长方形的面积 y（单位：cm2）随 x 的值而变化.
y = – 5x + 50 (0 ≤ x ≤ 10).
归纳总结：
根据条件列一次函数关系式的一般步骤：
（1）认真分析，理解题意；
（2）找出等量关系；
（3）写成一次函数关系式y=kx+b（k，b为常数，k≠0)的形式.
注意：对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义。
随堂演练
【教材P47 练习 T1】
1.仓库内原有粉笔 400 盒. 如果每个星期领出 36 盒，求仓库内余下的粉笔盒数 Q 与星期数 t 之间的函数关系式.
解：Q=400－36t (0 ≤ t ≤ 11，且 t 为整数).
【教材P47 练习 T2】
2.今年植树节，同学们种的树苗高约 1.80 m. 据介绍，这种树苗在 10 年内每年长高约 0.35 m. 求树高(m)与年数之间的函数关系式，并算一算 4 年后这些树约有多高.
解：设n年后树高约为 h m，则
h=0.35n+1.80(0 ≤ n ≤ 10，且n为整数).
当n=4时，h=0.35×4+1.80=3.20.
故4年后这些树约有 3.20 m高.
3.小敏的爸爸为小敏存了一份教育储蓄. 首次存入 1万元，以后每个月存入 500 元，存满 3 万元为止. 试用函数关系式刻画存款增长的规律，并求经过多少个月可存满全额.
【教材P47 练习 T3】
解：设 x 个月后存款数为 y 元，则y=500x+10000.
当y=30000时，500x+10000=30000，
解得x=40.
即40个月后可存满全额.
4.以上 3 道题中的函数都是一次函数吗？为什么？
【教材P47 练习 T4】
y=500x+10000(0 ≤ x ≤ 40，且x为整数)
h=0.35n+1.80(0 ≤ n ≤ 10，且n为整数)
Q=400－36t (0 ≤ t ≤ 11，且 t 为整数)
解：以上3道题中的函数都是一次函数.
因为这些函数关系式都是用自变量的一次整式表示的.
课堂小结
一次函数通常可以表示为 y = kx + b 的形式，其中 k、b 是常数，k ≠ 0.
特别地，当 b = 0 时，一次函数 y = kx（常数 k ≠ 0）也叫做正比例函数.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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