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16.5 实践与探索
第1课时 一次函数与一次方程（组）、不等式
华东师大·八年级数学下册
复习导入
回顾与思考
对于一次函数y1=4x－ 7和y2=2x－ 5
1. x取哪些值时，函数值y1 = y2？
2. x取哪些值时，函数值y1＞y2？
3. x取哪些值时，函数值y1＜y2？
令4x-7=2x-5，x=1
令4x-7＞2x-5，x＞1
令4x-7＜2x-5，x＜1
你能用曾经学过的知识解决这些问题吗？
将函数问题转化为方程或不等式问题.
还有其它方法吗？
进行新课
探索
你能把二元一次方程x+y=3改写成一次函数的形式吗？
x+y=3
y=-x+3
二元一次方程
一次函数
画出一次函数y=-x+3的图象
y
O
1
2
3
4
5
-1
-1
1
2
3
4
5
x
y=-x+3
思考：
(1)以方程 x+y=3 的解为坐标的点都在一次函数 y=-x+3 的图象上吗？
(2)在一次函数 y = -x+3 的图象上任取一点，点的坐标都是方程 x+y=3 的解吗？
(3)以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y= -x+3 的图象相同吗？
一次函数与二元一次方程有什么关系？
☆一次函数与二元一次方程的关系:
二元一次方程
kx-y+b=0(k≠0)
一次函数
y = kx+b(k≠0)
相互转化
解
一条直线
y
O
x
y=kx+b
以解为坐标的点组成的图象
直线上点的坐标是方程的解
问题1
y/千元
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
x/千本
甲
乙
某单位准备印制一批证书. 当地有甲、乙两个印刷厂，它们的印制质量都很好. 甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不收制版费，直接按印刷数量收费，当印刷证书超过2千本时单价有优惠. 甲、乙两厂的收费y(千元)关于印制的证书数量x(千本)的函数图象如图所示.
(1)根据图象回答：
①甲厂的制版费及印刷费单价各是多少？
甲厂的制版费：当x=0时，y的值，
y/千元
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
x/千本
甲
乙
从图上怎么看出来？
从图中可以看出甲厂的制版费是1千元.
甲厂的印刷费：
=0.5(千元/千本)
(1)根据图象回答：
②印制证书多少本时，两厂实际收费相同？
y/千元
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
x/千本
甲
乙
“收费相同”在图象上怎样反映出来
“收费相同”是指当x取相同的值时，y相等，即两个函数图像的交点．
当印制证书1千本和6千本时，两厂实际收费相同.
(1)根据图象回答：
③当印制证书8千本时，选择哪个印刷厂比较划算？
y/千元
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
x/千本
甲
乙
如何在图象上看出收费的多少
当印制证书8千本时，选择乙印刷厂比较划算.
作一条x轴的垂线，此时x的值相同，它与哪个函数图象的交点较低，就表示对应函数值较小，收费就较低.
(2) 如果甲厂想把8千本证书印制的订单争取到手，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少？
y/千元
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
x/千本
甲
乙
设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.
甲厂：y甲=0.5x+1.
乙厂：
y乙=
1.5x (0≤x≤2)
0.25x +2.5 (x＞2)
当x=8时，y甲=5，y乙=4.5 .
0.5-=0.0625(千元/千本)
印刷费部分的单价至少应降低：
归纳小结
我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式. 而这两个函数关系式可以看成关于x、y的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解.
y/千元
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
x/千本
甲
乙
二元一次方程组的解
两个一次函数图象的交点坐标
对应
解方程组本质上是当两个函数的值相等时，求函数的自变量和对应的函数值．
数
形
☆一次函数与二元一次方程组的关系：
例如，图中的两条直线y=2x-5和y=-x+1，它们的交点坐标(2，-1)就是方程组 的解
y=2x-5
y=-x+1
x
y
O
1
2
3
4
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
例 利用一次函数的图象，求二元一次方程组
的解.
分析：方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式： .
如图，分别作出一次函数y=x+5和 的图象，得到它们的交点坐标(-4，1)，即方程组的解为
x
y
O
1
2
3
4
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
4
y=x+5
【教材P63 练习 T1】
1. 在 16.3 节问题 1 中，已知小明由 A 地乘车前往北京，汽车距北京的路程与行驶时间之间的函数关系式为 s = 285 – 95t，若另有小亮同时从北京乘车沿同一路线回A地，其函数关系式为 s = 105t. 这里 t (h) 表示汽车行驶的时间，s (km) 表示汽车距北京的路程. 在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并说明交点的实际意义.
练习
t/h
s/km
O 1 2 3 4
285
190
95
s=285-95t
s=105t
解：图象如图所示，交点说明小明与小亮相遇，交点横坐标是两车相遇时刻，纵坐标是相遇时距北京的路程.
x
y
O
1
2
-6
-5
-1
-2
1
-3
-4
-5
-4
-1
-2
-3
2
x
y
O
1
2
3
4
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
4
2.利用图象解下列方程组：
【教材P63 练习 T2】
问题2
画出函数 的图象，根据图象，说明：
（1）x取什么值时，函数值y等于0？
当函数值y=0时，直线 与x轴相交于点(-2，0)，这时的横坐标就是所求的x的值.
所以，当x=-2时，y=0.
问题2
画出函数 的图象，根据图象，说明：
（2）x取什么值时，函数值y大于0？
因为在x轴上方的函数图象每一点的纵坐标都大于0，横坐标都大于-2.
所以，当x＞-2时，y＞0.
想一想：一元一次方程 的解与函数 的图象有什么关系？
一元一次方程 x+3=0的解就是函数y = x+3的图象与 x 轴交点的横坐标．
思考
想一想：不等式 的解集与函数 的图象有什么关系？
思考
不等式 x+3＞0的解集就是函数y= x+3的图象在x轴上方时所对应x的取值范围．
☆一次函数与一元一次方程的关系:
一元一次方程kx+b=0的解
一次函数y=kx+b，当y=0时，x的值
直线y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标
“数”的角度
“形”的角度
☆一次函数与一元一次不等式的关系:
不等式 kx+b＞0(或 kx+b ＜0)的解集
一次函数y=kx+b，当y＞0(或y＜0)时，x的取值范围
直线y=kx+b在x 轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围
“数”的角度
“形”的角度
【教材P64 练习 T1】
练习
3.不等式 的解集与函数 的图象有什么关系？
解：不等式 x+3≤0的解集就是函数y= x+3的图象在x轴下方及和x轴相交时所对应的x的取值范围．
4.一次函数y=(a-2)x-3+a的图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围.
x
y
O
解：依题意得
解得2＜a＜3.
【教材P64 练习 T2】
随堂练习
1.画出函数y=-x-2的图象，根据图象，指出：
(1) x 取什么值时，函数值 y 等于0？
(2) x 取什么值时，函数值 y 始终大于0？
解：过(-2，0)，(0，-2)作直线，如图：
(1)当x=-2时，y=0；
(2)当x＜-2时，y＞0．
2.利用图象解不等式
(1)2x – 5 > – x + 1，
(2)2x – 5 < – x + 1.
解：设 y1 = 2x – 5，y2 = – x + 1，在直角坐标系中画出这两条直线，如图所示.
两条直线的交点坐标是(2，– 1)，由图可知：
(1)2x–5>–x+1的解集是y1>y2时x的取值范围，为x>2；
(2)2x–5<–x+1的解集是y1【教材P64 练习 T3】
3.编制一道相关的练习题，继续探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.
课堂小结
一次函数与一次方程(组)、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 .
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大(小)于0时，函数在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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