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章末复习
华东师大·八年级数学下册
知识结构
实际问题
变量与函数
函数的图象
平面直角坐标系
一次函数(图象、性质)
反比例函数(图象、性质)
其他函数
实数与数轴
运动变化
相依关系
知识回顾
一、变量与函数
变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量.
常量：变化过程中取值始终保持不变的量.
1.常量与变量
函数：如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.
2.函数
3.函数的表示方法
300 000
λ
f =
S = πr2
(1)解析法
函数关系式
(2)列表法
波长 λ/m 300 500 600 1000 1500
频率 f /kHz 1000 600 500 300 200
(3)图象法
4.自变量的取值范围
类型 举例 取值范围
整式型 y=x2+1 全体实数
分式型 使分母不为0的实数
根式型 使“被开方数≥ 0”的值
全体实数
零指数幂(或负整数指数幂)型 y=(x+1)0-2(x-3)-1 使底数不为0的实数
①使含自变量的代数式有意义；②使实际问题有意义.
练习
1.函数 y = 的自变量 x 的取值范围为( )
A. x≠3 B. x≠-1 C. x≥3 D. x≥-1
A
二、函数的图象
1.平面直角坐标系及点的坐标
-3
-2
-1
O
1
2
3
x
1
2
3
-1
-2
y
-3
x轴(或横轴)
水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；
y轴(或纵轴)
竖直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；
平面直角坐标系的原点
两条数轴的交点 O (即公共的原点)
P
M
N
(3, 2)
横坐标
纵坐标
平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的
2.象限及点的坐标特征
-3
-2
-1
O
1
2
3
x
1
2
3
-1
-2
y
-3
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
象限顺序是按“逆时针”方向排列的
坐标轴上的点不属于任何一个象限.
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
x轴正半轴
x轴负半轴
y轴正半轴
y轴负半轴
原点
+
+
－
+
－
－
+
－
+
0
－
0
0
+
0
－
0
0
对称点的坐标特征：
关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标相等,纵坐标互为相反数
（横同纵反）
关于y轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标互为相反数,纵坐标相等
（横反纵同）
关于原点对称的点的坐标的特点是:
横坐标与纵坐标都互为相反数
（横反纵反）
3.函数的图象
一般来说, 函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的.
图象上每一点的坐标 (x， y) 表示函数的一对对应值，它的横坐标 x 表示自变量的某一个值，纵坐标 y 表示与该自变量对应的函数值.
描点法画函数图象
1.列表
2.描点
3.连线
列出自变量与函数的对应值表.
注意：自变量的值应满足取值范围，并且取值要适当，以便画图.
建立平面直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.
按照横坐标从小到大的顺序把描出的点用平滑曲线依次连接起来.
注：函数图象可能是曲线，也可能是直线，也可能是线段或射线，函数图象的形状取决于函数关系和自变量的取值范围.
练习
2.如图，点A、B的坐标分别为(2，4)、(6，0)，点P在x轴上，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为______________.
设点P的坐标为(x，0)
|6-x|×4=6
解得x=3或x=9
(3，0)或(9，0)
在不确定B、P两点相对位置时，用含绝对值的式子表示两点之间的距离
3.如图，点A的坐标是(-4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是( )
A.(4，6)
B.(6，4)
C.(-6，-4)
D.(-4，-6)
O
x
y
A
B
M
N
△AOM≌△OBN(AAS)
4
6
6
4
B
练习
三、一次函数
1.一次函数及其相关概念
一次 函数 用自变量的一次整式表示的函数关系式称为一次函数. 一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b是常数，k≠0
正比例函数 特别地，当b=0时，一次函数y=kx(常数k≠0)也叫做正比例函数
2.一次函数的图象及性质
一次函数y=kx+b k＞0 b＞0 b=0 b＜0
图象
经过的象限
性质 第一、二、三象限
第一、三象限
第一、三、四象限
y随着x的增大而增大
一次函数y=kx+b k＜0 b＞0 b=0 b＜0
图象
经过的象限
性质 第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
y随着x的增大而减小
2.一次函数的图象及性质
3.一次函数图象的平移
一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)的图象可以由正比例函数 y = kx (k ≠ 0)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移 |b| 个单位长度得到.
简记为：上加下减
直线y=kx+b向上平移m个单位长度，得到直线__________；
直线y=kx+b向下平移m个单位长度，得到直线 __________.
y=kx+b+m
y=kx+b-m
4.待定系数法确定一次函数表达式
1
2
3
4
设：
代：
解：
写：
设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)；
将图象上的点的坐标代入一次函数的表达式，组成关于系数k，b的二元一次方程组；
解二元一次方程组得k，b；
把k，b代回所设表达式中，写出表达式.
练习
4.已知y是x的函数，且y=(m+1)x+2m-1.
(1)若该函数为正比例函数，则m =____，此时函数的图象经过第_________象限.
(2)若将该函数的图象向上平移2个单位长度后经过点(1，8)，求出此时m的值.
一、三
解：∵函数y=(m+1)x+2m-1的图象向上平移2个单位长度，
∴平移后所得直线的函数表达式为y=(m+1)x+2m-1+2.
∵平移后所得的直线经过点(1，8)，
∴8=(m+1)+2m-1+2，解得m=2.
4.已知y是x的函数，且y=(m+1)x+2m-1.
(3)当m=1时，
①当-1②设该函数图象与x轴、y轴的交点分别为点A、B，点O为坐标原点，求△AOB的面积.
-1＜y ≤5
解：当m=1时，y=2x+1.
令y=0，即2x+1=0，解得x=-.
令x=0，得y=1. ∴A(-，0)，B(0，1).
∴OA= ，OB=1. ∴S△AOB= OA·OB= ××1= .
5. 如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上). 现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图②所示. 根据图象提供的信息，解答下列问题：
练习
(1)图②中折线ABC表示_____槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示_____槽中水的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”或“乙”)，点B的纵坐标表示的实际意义是____________________________；
甲
乙
乙槽中铁块的高度为14cm
(2)观察图②，写出AB段与DE段对应的函数表达式，并求出注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；
(3)若乙槽底面积为36cm (壁厚不计)，求乙槽中铁块的体积.
解：(2)设AB段与DE段对应的函数表达式分别为y=k1x+b1，y=k2x+b2.
把(0，2)和(4，14)代入y=k1x+b1，得
b1 =2，4k1+b1=14，解得k1=3.
所以AB段对应的函数表达式为y=3x+2.
把(0，12)和(6，0)代入y=k2x+b2，得
b2=12，6k2+b2=0，解得k2=-2.
所以DE段对应的函数表达式为y=-2x+12.
令3x+2=-2x+12，解得x=2.
所以当注水2 min时，甲、乙两个水槽中水的深度相同.
解：(3)由图象可知，当乙槽中的水完全没过铁块前，4min上升了12cm，即1min上升3cm.
当水面没过铁块后，2min上升了5cm，即1min上升2.5 cm.
设铁块的底面积为acm . 依题意，得
1×3×(36-a)=1×2.5×36，解得a=6.
所以乙槽中铁块的体积为6×14=84(cm3).
四、反比例函数
1.反比例函数的概念
一般地，形如 y= （k 是常数，k ≠ 0）的函数叫做反比例函数. 其中 x 是自变量，y 是函数.
反比例函数的三种表达形式（k≠0）：
【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0.
2.反比例函数的图象及性质
函数 图象形状 图象位置 图象变化
趋势 函数值
增减规律
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随 x 的增大而增大
第一、三象限
第二、四象限
在每个象限内，曲线从左向右下降
在每个象限内，曲线从左向右上升
k＞0
k＜0
练习
6. 如图，y关于x的函数y=的图象与直线y =kx+b(k≠0)交于A(2，4)、B(-4，n)两点.
(1) m的值为______，n 的值为______.
(2)该反比例函数的图象位于第_________象限，当x<0时，函数值у随x的增大而______；
(3)直接写出关于x的不等式kx+b- >0的解集；
7
-2
一、三
减小
-4＜x＜0或x＞2
(4)如图，连接OA，在第一象限的反比例函数上取点C(4，2)，连接AC并延长，交x轴于点D，连接OC. 求 S△OAC·
解：由A(2，4)、C(4，2)，易得直线AC的函数表达式为y=-x+6，则D(6，0).
∴S△OAC= S△OAD -S△OCD
=×6×4- ×6×2=6.
五、一次函数与一次方程(组)、不等式
1.一次函数与二元一次方程的关系
二元一次方程
kx-y+b=0(k≠0)
一次函数
y = kx+b(k≠0)
相互转化
解
一条直线
y
O
x
y=kx+b
以解为坐标的点组成的图象
直线上点的坐标是方程的解
2.一次函数与二元一次方程组的关系
二元一次方程组的解
两个一次函数图象的交点坐标
对应
解方程组本质上是当两个函数的值相等时，求函数的自变量和对应的函数值．
数
形
3.一次函数与一元一次方程的关系
一元一次方程kx+b=0的解
一次函数y=kx+b，当y=0时，x的值
直线y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标
“数”的角度
“形”的角度
4.一次函数与一元一次不等式的关系
不等式kx+b＞0(或kx+b ＜0)的解集
一次函数y=kx+b，当y＞0(或y＜0)时，x的取值范围
直线y=kx+b在x 轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围
“数”的角度
“形”的角度
7.一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象相交于点P(n，-4)，则关于x的不等式组的解集为___________.
练习
y=-x-2
y=2x–8
-2＜x＜2
课堂小结
谈谈你在这节课中，有什么收获？
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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