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华东师大版·八年级数学下册
数学活动
探索函数增减性的证明
复习回顾
还记得一次函数y = kx + b(k≠0)的图象及性质吗？
k>0
b>0
b<0
b=0
图象变化趋势：
性质：
从左向右上升
y随x的增大而增大
k<0
b>0
b<0
b=0
图象变化趋势：
性质：
从左向右下降
y随x的增大而减小
如何证明这一性质？
新课探究
思考：如何比较a，b两个数的大小？
作差法
可以先求出它们的差a-b.
若a-b<0，则a若a-b=0，则a=b；
若a-b>0，则a>b.
反之也正确.
设一次函数y=kx+b(k≠0)，当自变量x分别取x1、x2，且x1y2-y1=(kx2+ b)-(kx1+b)=kx2-kx1 =k(x2-x1).
由假设x10，这样，我们就得到如下结论：
(1)当k>0时，k(x2-x1)>0，即y2-y1>0，亦即y2>y1. 也就是说，у随x的增大而增大.
(2)当k<0时，k(x2-x1)<0，即y2-y1<0，亦即y2这就是一次函数的增减性.
试用类似的方法证明反比例函数的增减性.
请你证明反比例函数у= (k为常数，k≠0)的增减性.
证明：(1)对于函数，当x>0时，在函数图象上任意取两点A、B.
设A(x1，)，B(x2，)，且0则.
∵00.
又∵k>0，∴<0. ∴.
这说明：当0因此，当x>0时，y随x的增大而减小.
同理可得，当x<0时，y随x的增大而减小.
(2)对于函数，当x<0时，在函数图象上任意取两点A、B.
设A(x1，)，B(x2，)，且x1∵x10.
又∵k<0，∴>0. ∴.
这说明：当x1因此，当x<0时，y随x的增大而增大.
同理可得，当x>0时，y随x的增大而增大.
练 习
证明函数的增减性.
对于函数，当自变量取x1、x2时，对应的函数值分别为y1、y2.对于自变量取值范围内任意的x1、x2，如果x1y2，那么函数值y随x的增大而减小. 已知函数y=ax +bx+c(a>0)，求证：当x>时，函数值у随x的增大而增大.
证明：在函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象上任意取A、B两点.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且所以y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c，
所以y1-y2=a(x1-x2)(x1+x2)+b(x1-x2)=(x1-x2)[a(x1+x2)+b].
因为所以ax1+ax2>-b，所以a(x1+x2)+b>0.
所以(x1-x2)[a(x1+x2)+b]<0，即y1-y2<0，所以y1所以当所以当x>时，函数值y随x的增大而增大.
课堂小结
谈谈你在这节课中，有什么收获？
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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