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第1课时 分式方程及其解法
华师大版 八年级数学下册
15.3 可化为一元一次方程的分式方程
情境导入
要装配 30 台机器，在装配好 6 台后，采用了新的技术，工作效率提高了一倍，结果总共只用 3 天就完成了任务. 原来每天能装配机器多少台？
想一想，该怎么计算？
设原来每天能装配机器 x 台，可列出方程：
观察这个方程，它与我们学过的一元一次方程有什么不同？
要装配 30 台机器，在装配好 6 台后，采用了新的技术，工作效率提高了一倍，结果总共只用 3 天就完成了任务. 原来每天能装配机器多少台？
新课推进
轮船在顺水中航行 80 km 所需的时间和逆水中航行 60 km 所需的时间相同. 已知水流的速度是 3 km/h，求轮船在静水中的速度.
分 析
设轮船在静水中的速度为 x km/h，根据题意，得
概 括
①
方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
①
思 考
怎样解分式方程呢？
有没有办法去掉分式方程中的分母，把分式方程转化为整式方程呢？
试动手解一解方程①.
方程①可以解答如下：
方程两边都乘以 (x + 3)(x – 3)，约去分母，得
80(x – 3) = 60(x + 3).
解这个整式方程，得 x = 21.
所以轮船在静水中的速度为 21 km/h.
①
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边都乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解. 所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
概 括
解方程：
例1
解：方程两边都乘以 (x2 – 1)，约去分母，得
x + 1 = 2.
解这个整式方程，得 x = 1.
思考：x = 1是不是原分式方程的解（或根）呢？
当 x = 1 时，原分式方程左边和右边的分母 (x – 1) 和 (x2 – 1) 都是 0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x = 1 不是原分式方程的解，应当舍去. 所以原分式方程无解.
在解分式方程时，产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.
概 括
如何判定一个值是否为这个分式方程的根呢？分式方程如何检验呢？
分式方程的检验
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为 0. 有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为 0. 如果为 0，即为增根.
解方程：
例2
解：方程两边都乘以 x(x – 7)，约去分母，得
100(x – 7) = 30x.
解这个整式方程，得 x = 10.
检验：把 x = 10 代入 x(x – 7)，得
10×(10 – 7) ≠ 0.
所以， x = 10 是原方程的解.
解分式方程的基本思路
分式方程
去分母
转化
整式方程
解整式方程
验根
解分式方程的一般步骤
一去
二解
三验
四答
去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程
解这个整式方程
将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则它是原分式方程的解；否则，这个根是原分式方程的增根
写出答案
A. 2 – (2 – x) = 1 B. 2 + (2 – x) = 1
C. 2 – (2 – x) = x – 1 D. 2 + (2 – x) = (x – 1)
1.把分式方程 两边同乘
(x – 1)，约去分母后，得（ ）
D
随堂练习
2.在方程 中，分式方程有（ ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
C
3.分式方程 的解是（ ）
A. x = 1 B. x = – 1
C. x = – 14 D. 无解
D
4.解方程：
解：方程两边都乘以 (x – 1)，约去分母，得
4 = x – 1，
解这个整式方程，得 x = 5.
检验：把 x = 5 代入 (x – 1)，得
x – 1 = 4 ≠ 0.
所以 x = 5 是原方程的解.
解：方程两边都乘以 (x + 1)(x + 3)，约去分母，得
3(x + 3) = 5(x + 1)，
解这个整式方程，得 x = 2.
检验：把 x = 2 代入 (x + 1)(x + 3) ，得
(x + 1)(x + 3) = 15 ≠ 0.
所以 x = 2 是原方程的解.
5. 解方程：
解：方程两边都乘以 (x – 1)(2x + 1)，约去分母，得
2(2x + 1) = 3(x – 1) ，
解这个整式方程，得 x = – 5.
检验：把 x = – 5 代入 (x – 1)(2x + 1)，得
(x – 1)(2x + 1) = 54 ≠ 0.
所以 x = – 5 是原方程的解.
解：方程两边都乘以 (x – 2)，约去分母，得
1 + 3(x – 2) = x – 1，
解这个整式方程，得 x = 2.
检验：把 x = 2 代入 (x – 2)，得
x – 2 = 0.
所以 x = 2 是增根，所以原方程无解.
课后小结
分式方程
整式方程
x = a
x = a 是分式方程的解
x = a 不是分式方程的解
最简公分母不为 0
最简公分母为 0
去分母
解整式方程
检验
解分式方程的一般步骤：
1.从教材习题中选取.
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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