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(共28张PPT)
第一单元　数与式　第3讲　分式
课标
要求 1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约 分和通分.
2.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.
知识
导图
分式的有关概念
分
式
的
有
关
概
念
分式有意义：分母≠0
分式值为0：分母≠0，且分子＝0
最简分式：分式的分子、分母没有
① ，这样的分式叫最简分式
公因式　
分式的基本性质
分
式
的
基
本
性
质
基本性质：分式的分子、分母同时乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变
约分
定义：把分式的分子、分母中的② 约去，这种
运算叫约分
公因式　
步骤：(1)找(公因式)；(2)写(乘积式)；(3)约(约分)
(1)系数：找各项系数的③ ；
(2)相同字母：找④ ；
(3)只在一个分母中的字母连同指数作为一个因式
通分
定义：把异分母分式根据分式的基本性质化成同分母分式的过程叫通分
最简公
分母找
法
最小公倍数　
最高次幂　
分式的运算
分
式
的
运
算
加减
同分母：分母不变，把分子相加减
异分母：先⑤ ，变为同分母的分式，再加减
乘除
乘法：分式的分子相乘作为积的分子，分母相
乘作为积的分母
除法：除以一个分式，等于乘这个分式的倒数
乘方：分式的乘方等于分子、分母分别⑥
通分　
乘方　
概念型问题
B
x≠－3　
－2　
A. ±2 B. －2
C. 2 D. 不存在
B
1　
A. 扩大为原来的2倍
B. 扩大为原来的4倍
C. 不变
D. 不能确定
A
3　
C
B
A
D. 1
A
6x2　
3x(x＋1)(x－
1)［或3x(x2－1)］　
计算型问题
C. xy D. 1
2. 分式的加减：一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完 成，则两人一起完成这项工程需要 　 小时.
B
方法型问题
A. x B. y
D
A. 6 B. 3 C. 1 D. －3
B
建模型问题
A. x B. y C. x＋y D. x－y
A

C
(4)若T(m，n)＝0(n≠－2)，当n取s，t时，m对应的值为c，d，当t ＜s＜－2时，c＜d；
(5)若T(kx，y)＝T(ky，x)对任意有理数x，y都成立［这里T(x，y)和 T(y，x)均有意义］，则k＝0.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
探究型问题

创新型问题：代数推理
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4(共43张PPT)
第1讲　实数的概念及运算
第一单元　数与式　
课 标
要 求 1.理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有 理数，能比较有理数的大小.
2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数 和绝对值的方法.
3.理解乘方的意义；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单 的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运 算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单问题.
4.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实 数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能比较实 数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的 相反数和绝对值.
5.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的 平方根、算术平方根、立方根.
课 标
要 求 6.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方 数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整 数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根.
7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算； 会按问题的要求进行简单的近似计算.
8.会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).
知 识
导 图
负数的意义及实数的分类
负数
的意
义及
实数
的分
类
负数的意义：先规定某一种意义的量为正，则与它意义相反的量为负，负的量用负数表示
实数的
分类
按定
义分
有理数
整数：正整数、① 、负整数
0　
统称自然数.
分数：正分数、②
有限小数或
负分数　
③ 小数
无限循环　
按性质分：正实数、⑤ 、负实数(⑥ 既不是正数也不
是负数)
不循环　
0　
0　
无理数
正无理数
负无理数
无限④ 小数
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
实数的相关概念
实数
的相
关概
念
数轴
三要素：原点、正方向、单位长度(如图)
作用
(1)比较两个数的大小：数轴上，右边的点比左边
的点表示的数大
(2)表示A，B两点间的距离：AB＝｜xA－xB｜
实数
的相
关概
念
相反数
0　
－a　
定义：只有符号不同的两个数互为相反数；
a，b互为相反数 a＋b＝⑦
非零实数a的相反数是⑧ ；0的相反数是0
绝对值
定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫
这个数的绝对值
非负性：｜a｜≥0；双重性：如当｜x｜＝3，
则x＝⑨
规律：正数的绝对值是它本身；
　　 0的绝对值是0；
　　 负数的绝对值是它的相反数.　　　
±3　
a(a＞0)，
0(a＝0)，
－a(a＜0)
即｜a｜＝
实数
的相
关概
念
非零实数a的倒数是⑩ ；倒数等于本身的数是
实数a，b互为倒数 ab＝
±1　
1　
倒数
近似数与科学记数法
近似数
与科学
记数法
近似数：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位
科学
记数
法
形式：
a×10n
(1)确定a：1≤｜a｜＜10
(2)确定n
｜原数｜≥10时：n为正整数，等于原数的整数位数减1；0＜｜原数｜＜1时：n为负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非零数前面0的个数(含整数部分的0)
平方根、算术平方根、立方根
a(a≥0) a(a＜0) 特殊情况
平方根 没有 0的平方根是
正数的平方根有两个，且互为相反数.
算术平 方根 没有 0的算术平方根是 ；算术平方根 等于本身的数是
立方根 0的立方根是 ；立方根等于本身 的数是
0　
正数的平方根有两个，且互为相反数.
0　
0，1　
0　
0，±1　
任意实数都有一个立方根，且与原数同号.

实数的大小比较
实
数
的
大
小
比
较
数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的
类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而
差值比较法：a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b
大　
小　
实数的运算
实
数
的
运
算
常见
运算
＋，－：减去一个数，等于加上这个数的相反数
×，÷：除以一个数，等于乘这个数的倒数
乘方：a·a·…·a ＝an.如－24＝ ；
n个a
(－2)4＝
开方：开方与乘方互为逆运算，如开平方、开立方
0次幂：a0＝1(a≠0)(任何非零数的0次幂都等于1)
－16　
16　
遇“0”，结果写1，前提条件是底数a不为0.
→0没有倒数.
实
数
的
运
算
常见
运算
［注意：指数的符号与结果的正负无关］
［规律：遇“偶”为1，遇“奇”为－1］
实
数
的
运
算
加法交换律：a＋b＝b＋a　　
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
乘法交换律：ab＝ba　　　乘法结合律：(ab)c＝a(bc)
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
运算律
运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号时先计算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行运算
概念型问题
A. －2 B. 0 C. 2
3　
A
A. 2
C
A. 0 C. 3.14
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
B
A. 2－2π B. π－2
C. 5－2π D. 2－π
D
(2)如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是－ 16，12，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且 到点B的距离为8，则点C表示的数是 .
－6或2　
A. 2 026 B. －2 026
(2)已知3a－5与1－2b的值互为相反数，则2 026＋9a－6b的值为 .
B
2 038　
B. 5 C. －5
(2)已知｜x｜＝5，｜y｜＝3，且｜x－y｜＝y－x，则x＝ ， y＝ .
B
－5　
±3　
A. －2 025 B. 2 025
C
m－1　
A. 130×105 B. 13×106
C. 1.3×107 D. 0.13×108
C
(2)(2025 南开)2025年6月，《Nature》报道中国科学家研究成果：通过 亚晶格重构提升光子雪崩非线性，成功使得直径27 nm(相当于0.000 000 027 m)的纳米颗粒的光学非线性阶数从40跃升至156，为低成本超分辨 成像奠定关键技术基础.将数据0.000 000 027用科学记数法可表示 为 .
2.7×10－8　
A. －2是－4的平方根
B. 8的平方根是±2
C. (－2)2的平方根是2
D. 2是(－2)2的算术平方根
D
A. 正数有两个立方根
B. 立方根等于它本身的数只有0
C. 负数的立方根是负数
D. 负数没有立方根
C
计算型问题
1. 计算：
解：原式＝－1＋1－9－8
＝0－9－8
＝－17.
解：原式＝4＋1－2＋1
＝4.
解：原式＝－1－3＋1－(－8)
＝－1－3＋1＋8
＝5.
A. 0 B. 2 C. －2 D. －3
B
＞　
1　
9　
±5　
C. a3 (－a)2＝a4 D. (－a2)3＝a6
(2)若a3＝8，(b－1)2＝9，则a－b的值为 .
(3)－64的立方根是 .
B
－2或4　
－4　
方法型问题
1. 估算大小：
A. 1和2之间 B. 2和3之间
C. 3和4之间 D. 4和5之间
A
3　
2. 进位制：
(1)2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二 进制”逻辑芯片相比，“三进制”逻辑芯片在特定的运算中具有更 高的效率.
二进制数的组成数字为0，1.十进制数22化为二进制数：
22＝1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20＝(10110)2.
三进制数的组成数字为0，1，2.十进制数22化为三进制数：
22＝2×32＋1×31＋1×30＝(211)3.
A
A. (102)3 B. (101)3 C. (110)3 D. (12)3
(2)远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如 图，一位母亲在依次排列的绳子上从右到左打结，满七进一，用来记录 孩子自出生后的天数.由图可知，孩子自出生后的天数是 .
461　
建模型问题
1. 平方与绝对值的“非负模型”：
A. 8 B. ±8
C
A. 9 B. 3 C. －3 D. 0
B
(2)求3a＋2b＋2c的平方根.
探究型问题
1. 绝对值化简探究：
(1)(2024 巴蜀)如图，a，b，c是数轴上的点表示的有理数.计算：｜a ＋b｜－｜a－c｜－｜b－1｜＝ .
(2)有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简｜b－a｜＋｜b ＋c｜－｜2b－a｜的结果为 .
－c－1　
－c　
2. 规律探究：(2024 南岸区)计算：
(1)999＋(－999)×(－999)＋999－999 999；
解：(1)原式＝999＋999×999＋999－999×1 001
＝999×(1＋999＋1－1 001)
＝0.
创新型问题：代数推理
(2025 渝中区)在一组互不相等的正整数a1，a2，a3，…，an中任意提取 m(1＜m＜n)个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和， 则称这样的提取为完美提取.
例如：在1，2，3，4，5中，因为1＋2＋3＋4＋5＝15，(1＋2＋4)＋ 1×2×4＝15，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取.若要在1，2， 3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字可 以是 (写一种情况即可)，共有 种完美提取(注：提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取).
6，7(或1，4，10或1，2，3，7)　
3　(共32张PPT)
第一单元　数与式　第4讲　二次根式
课标
要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下 仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则 运算.
2.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
知识
导图
二次根式
二
次
根
式
相关
概念
最简二
次根式
(1)被开方数不含① (也就是说最终结果中分
母不含根号)
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
性质
分母　

a　

加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
二
次
根
式
运算
无理数的估值
无
理
数
的
估
值
在哪两个相
邻整数之间

3　
无
理
数
的
估
值

概念型问题
1. 二次根式的定义：
A. 10
D
5　
x≠1　
6(答案不唯一)　
4　
5　
2　
A
A. 16 B. 0
C. 2 D. 任意实数
2　
B
计算型问题
1. 二次根式的乘法：
6　
1　
C
2　
D
C
方法型问题
1. 含二次根式的实数混合运算：
解：原式＝2＋1－3＝0.
A. a≥0 B. 0＜a＜1
C. 1＜a＜2 D. a＞2
50　
B
A. 6和7之间 B. 7和8之间
C. 8和9之间 D. 9和10之间
A. 6和7之间 B. 7和8之间
C. 8和9之间 D. 9和10之间
C
C
②x2－y2.
建模型问题
1. 绝对值与二次根式：
－2b＋c　
1－2a　
A. 0 B. 1
C. 2 023 D. 2 024
D
B
探究型问题
5 050　
B. 8 D. 16
A
创新型问题：近似计算算术平方根
【阅读理解】同学们，我们来学习利用完全平方公式：(a±b)2＝ a2±2ab＋b2近似计算算术平方根的方法.(共44张PPT)
第一单元　数与式　
第2讲　代数式及整式运算与因式分解
课 标
要 求 1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.
2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特 定的问题查阅资料，找到所需的公式；会把具体数代入代数式进行 计算.
3.了解整数指数幂的意义和基本性质.
4.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单 的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于 一次式之间和一次式与二次式的乘法).
课 标
要 求 5.理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2， 了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理.
6.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分 解(指数为正整数).
7.了解代数推理.
知 识
导 图
代数式及其求值
代
数
式
及
其
求
值
代数式：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、
乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式
列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运
算符号的式子表示出来
代数式
求值
直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式进行计算
整体代
入法
(1)观察已知条件和所求代数式的关系；
(2)将所求代数式变形后与已知代数式成倍数或分
数关系，一般会用提 公因式法、平方差公式法、完全平方公式法进行变形；
(3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式求值
整式的相关概念
整
式
的
相
关
概
念
单项式
定义：数与① 的积叫单项式
注意 单独一个数或一个② 也是单项式，
如－a，0都是单项式.
系数：单项式中的数字因数
次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数
字母　
字母　
对于单独的一个非零的数，规定它的次数为0.
整式：单项式和多项式统称为整式　
3　
整
式
的
相
关
概
念
多项式
定义：几个单项式的和叫多项式
项：多项式中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项
次数：多项式中次数最高项的次数叫这个多项式的次数，如a＋2ab2＋25的次数是③ 　
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类
项.几个常数项也是同类项
　　　
［“两个无关”：与系数无关，与字母的顺序无关］
整式的运算
整
式
的
运
算
加减
合并同类项：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变
［口诀：“－”都变，“＋”不变］
去(添)括号：a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c)
＝a－b－c
同底数幂的乘法：am an＝④ ，底数不变，
指数⑤
同底数幂的除法：am÷an＝⑥ ，底数不变，
指数⑦
幂的乘方：(am)n＝⑧ ，底数不变，指数⑨
积的乘方：(ab)n＝⑩ ，各因式分别乘方的积
am＋n　
相加　
am－n　
相减　
amn　
相乘　
anbn　
幂的
运算
单×单：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
乘法
整
式
的
运
算
单×多：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
多×多：(a＋b)(m＋n)＝
am＋an＋bm＋bn　
a2－b2　
a2±2ab＋b2　
乘法
公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝
完全平方公式：(a±b)2＝
单÷单：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
多÷单：(am＋bm)÷m＝
a＋b　
整
式
的
运
算
除法
(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算
括号里面的；
(2)同级运算按照从左到右的顺序进行计算
混合运算
因式分解
因
式
分
解
定义：把一个多项式化成几个 的形式，这种变形叫因式分解，与整式乘法互为逆运算
［注意：若多项式第一项的符号是“－”，则公因式的符号一般为负］
口诀：一提(公因式)，二数(数项数)，三用(用公式)，四分组
方法
整式的积　
m(a＋b＋c)　
可能含有多项式.
提公因
式法
公因式
的确定
系数：取各项系数的最大公因数
字母：取各项相同字母的最低次幂
ma＋mb＋mc＝ 　
十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝
(如图)
分组分解法：四项可以二、二分组，也可以三、一分组
(a＋b)(a－b)　
(a±b)2　
(x＋a)(x＋b)　
因
式
分
解
方法
公式法
概念型问题
1. 代数式：
C. m×7 D. x＋y人
A
A. 只有甲的正确
B. 只有乙的正确
C. 甲、乙的都正确
D. 甲、乙的都不正确
B
2. 列代数式：冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山 楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦 需要的山楂总个数用代数式表示为 .
5m＋3n　
－3　
0.02　
A. 4 B. 3 C. 2 D. 5
D
A. xy B. －xy
C. 5x2y2 D. －2xy2
(2)化简：－x2＋2x2＝ .
D
x2　
A. a－(b＋c)＝a－b＋c
B. a＋2(b＋c)＝a＋2b＋c
C. a＋ab－b＝a＋(ab＋b)
D. a－3b＋3c＝a－3(b－c)
D
C. 2 D. 4
D
A. －2a2b与5ab2是同类项
B. 多项式2a3b－ab是四次二项式
C. 多项式3ab3－5a2－1的常数项是1
B
A. 0 C. x－2y D. xy
B
计算型问题
1. 整式的加减：
(1)计算3x－x－5x的结果为 .
(2)对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交 换它们的位置，称为“换系数操作”.
例如，对3x2－2x－3进行“换系数操作”后，所有可能的结果为2x2－ 3x－3，3x2－2x－3，3x2＋3x＋2，则将(x＋1)8展开得到多项式a8x8 ＋a7x7＋a6x6＋…＋a2x2＋a1x＋a0，对它进行“换系数操作”后的所 有多项式的常数项和为 .
－3x　
20　
A. 2a7 B. a7
C. 2a4 D. a12
(2)若2x＝4，2y＝8，则x＋y＝ .
B
5　
A. 3a2 B. 2a3
C. a5 D. a6
(2)若2x＝3，则22x＋1的值为 .
D
18　
A. a a3＝a3 B. a6÷a2＝a3
C. (ab)2＝a2b2 D. (a3)2＝a5
(2)计算：0.252 025×(－4)2 025＝ .
C
－1　
A. a2＋a3＝a5 B. a2 a3＝a6
C. (－a2)3＝a6 D. a12÷a3＝a9
D
B. 3m(2m2－5mn)＝6m3－15m2n
D. (b＋a)(b－a)＝a2－b2
D
7. 完全平方公式：
(1)多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么 加上的单项式可以是 (填一个即可).
(2)若关于x的二次三项式x2＋(2k＋4)x＋k2是完全平方式，则k的值 是 .
4x　
－1　
A. 3 B. 6 C. 9 D. －9
C
9. 因式分解：
(1)已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝ .
(2)分解因式：
①a2b－4b3；
解：①a2b－4b3＝b(a2－4b2)＝b(a＋2b)(a－2b).
②(x2＋9)2－36x2.
解：②(x2＋9)2－36x2＝(x2＋9＋6x)(x2＋9－6x)＝(x＋3)2(x－3)2.
4　
10. 整式的化简与求值：
　(1)化简：(x＋1)2－x(x＋2).
解：原式＝x2＋2x＋1－x2－2x＝1.
　(2)化简求值：x(5－x)＋x2＋3，其中x＝2.
解：原式＝5x－x2＋x2＋3＝5x＋3.
当x＝2时，原式＝5×2＋3＝13.
方法型问题
1. 完全平方公式的几何背景：
A　　　 B　 C　　　　 D
A
C
A. a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C. (a－b)2＝(a＋b)2－4ab
D. a2＋ab＝a(a＋b)
2. 平方差公式的几何背景：
A
A. (a＋b)(a－b)＝a2－b2
B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
C. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D. a2＋ab＝a(a＋b)
A B
C D
D
建模型问题
A. 64 B. 16 C. 4 D. 1
C
3. 中国数学史：【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下 《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a＋b)n2展开式的系数规 律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a＋b2)4＝a4＋4a3b＋ 6a2b2＋4ab3＋b4.
【应用体验】已知(x＋2)4＝x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，
则m的值为 .
8　
探究型问题
1. 数列规律探究：
A. (2n－1)a B. (2n＋1)a
C. (n＋1)a D. 2 025a
A
A. 7 B. 8 C. 9 D. 11
C
A. 26 B. 30 C. 34 D. 38
B
创新型问题：代数推理
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C

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