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美丽的数学心
我们熟悉了分式的运算，那分母里藏着未知数的方程是什么？今天走进分式方程，探索它的定义，解锁 “转化” 解法，揭开分式方程的神秘面纱！
18.5.1 分式方程
学习目标
学习重点
了解分式方程的概念, 和产生增根的原因；
掌握分式方程解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验是不是原方程的增根.
理解解分式方程时可能无解的原因；
解分式方程的基本思路和解法.
情境导入
一元一次方程、二元一次方程
　　1．前面我们学习了什么方程？
　　2．什么是一元一次方程？
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
它们都是整式方程
赞扬
补
充
疑
问
发言
新知探究
问题1 一艘轮船在静水中的最大航速为，它沿江以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？
解：设江水的流速为
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
分母中含有未知数
方程的分母中含未知数 ，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的概念
注意：
我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中
练习1：下列方程①，②，③，④中，是关于x,y的分式方程的是 ．
①②
分母中含有未知数的方程是分式方程，等是字母，不是未知数.
新知探究
1.如何解分式方程呢？
想一想
　　①我们已经会解哪些方程？能否将分式方程转化为熟悉的方程去求解呢？
　　②如何去分母？
分式方程
整式方程
去分母
两边同时乘
最简公分母
两边同时乘
(30＋υ)(30－υ)
90(30－υ)＝60(30＋υ)
依据是等式的性质2.
1.如何解分式方程呢？
即
解得
解：方程两边同乘各分母的最简公分母
检验：代入上述分式方程 中，左边右边
将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？
是原分式方程的解吗？
因此是分式方程的解.
解题思考
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”.
简记为：“一化二解三检验”
解分式方程的步骤
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
4.写出原方程的根.
知识应用
2.运用“去分母化为整式方程”的方法解分式方程，
你发现了什么问题？
解：方程两边同乘，得
解得5
5是原分式方程的解吗？为什么？
检验:将5代入原方程中，分母和的值都为0，相应的分式无意义
因此5虽是整式方程的解，但不是原分式方程的解.
∴这个分式方程无解.
知识辨析
提问：去分母后所得整式方程的解就是分式方程的
解吗，为什么？
是
因为解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）．方程两边乘 ，得到整式方程，它的解是．当 时， ，这就是说，去分母时，分式方程两边乘了同一个不为 0 的式子，因此所得整式方程的解与分式方程的解相同．
提问：为什么去分母后所得整式方程的解却不是分式方程的解呢？
因为分式方程两边乘，得到整式方程，它的解是5．当5时，，这就是说，去分母时，分式方程两边乘了同一个等于 0 的式子，这时所得整式方程的解使出现分母为 0 的现象，因此这样的解不是分式方程的解．
不是
知识归纳
总结：
（1）解分式方程时，去分母后化为整式方程，然后解整式方程，接着整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；若最简公分母的值为0，则这个解就是分式方程的增根，它不是原分式方程的解.
（2）产生增根的原因:分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程的时候，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原分式方程的分母为0.
（3）解分式方程的步骤:一化二解三检验
例题解析
（1）分析：
例1.解下列方程
x(x－3)
2x＝3(x－3)
找最简公分母
方程两边同乘最简公分母
解整式方程
检验
例题解析
　　解：(1)方程两边同乘，得
　　　
　　　解得
　　　检验：当时，
　　　所以，原分式方程的解为
例1.解下列方程
反思：先确定最简公分母，再解整式方程，最后检验．
例题解析
（2）分析：
例1.解下列方程
(x－1)(x＋2)
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3
找最简公分母
方程两边同乘最简公分母
解整式方程
检验
常数项也要乘最简公分母
例题解析
例1.解下列方程
　　解：(2)方程两边同乘，得
　　　
　　　解得
　　　检验：当时，
　　　因此，不是原分式方程的解
　　　所以原分式方程无解
知识归纳
分式方程
整式方程
是分式方程的解
不是分
式方程的解
去分母
解整式方程
检验
最简公分母不为0
最简公分母为0
目标
解分式方程的一般步骤
是分
式方程的增根
巩固练习
　　解下列方程：
　　（1）　　　　　　　　　　 （2）
（3） ；　　　　　 （4）
　　解下列方程：
　　（1）　　　　　　　　　　 （2）
　　解：方程两边乘 x(x－2)，得
5(x－2)＝7x．
　　解得
x＝－5．
　　检验：当 x＝－5 时，x(x－2)≠0，
因此，原分式方程的解为 x＝5 ．
　　解：方程两边乘(x＋3)(x－1)，得
2(x－1)＝x＋3．
　　解得
x＝5．
　　检验：当 x＝5 时，(x＋3)(x－1)≠0，因此，原分式方程的解为 x＝5 ．
　　解：方程两边乘 2x(x＋3)，得
　　　x＋3＝4x．
　　解得
x＝1 ．
　　 检验：当 x＝1 时，2x(x+3)≠0，
因此，原分式方程的解为 x＝1 ．
　　解：方程两边乘 3(x+1)，得
3x＝2x＋3(x+1)．
　　解得
．
　　检验：当　　 时，3(x+1)≠0，
因此，原分式方程的解为 ．
　　解下列方程：
　　（3）　　　　 ；　　　　　 （4）
　　解下列方程：
　　（5） 　　　　 ；　　 （6）
解：(5)原方程可化为
　　　
　解得
检验：当时，
所以，是增根，原分式方程无解
　方程两边同乘，得
(6)原方程可化为
因此无论取何值，都不能使等式成立
所以原分式方程无解
方程两边同乘，得
拓展延伸
若关于的分式方程
（1）有解，则的取值范围为 ；
（2）无解，则的取值范围为 ；
（3）解为非负数，则的取值范围为 .
分析：原分式方程可化为
方程两边同乘得
解得
整式方程无解这种情况不存在
故只讨论产生增根的情况.
分类：1.整式方程无解 2.产生增根
且
归纳小结
回顾本节课所学的主要内容，思考并回答以下问题：
（1）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？
（2）解分式方程应该注意什么？
（3）为什么解分式方程时要检验？
课外作业
必做题：
教科书第169页 习题 18.5 第 1 题．
选做题：
配套练习册
大美数学
解分式方程的核心，是通过去分母把陌生的分式方程转化为熟悉的整式方程，却绝不能忘了最后检验根的有效性 —— 这像极了生活里解决难题：把复杂的困境拆解成熟悉的场景，却要在行动后反思复盘。就像去分母可能引入增根，我们做选择时也可能因一时疏忽偏离方向，检验便是及时修正的智慧。
生活中，你有没有过把棘手问题转化为熟悉的小事解决，还不忘回头检查的经历？比如解复杂应用题时分步拆解，或是做完手工后核对细节？分式方程的解法，藏着面对未知的处世思路。

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