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美丽的数学心
第六章 几何图形初步
小结与复习
1.梳理本章知识，建立完善的知识结构；
2.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，发展空间观念；
3.在解决一些有关线段及角的问题中，体会数形结合、分类讨论和方程思想。
1.建立完善的认知结构，体会一些数学思想方法的应用．
2.建立和发展空间观念；直线、射线、线段的表示方法及几何语言；角的度量和运算．
知识结构
立体图形
平面图形
几何图形
从不同方向看立体图形
展开立体图形
平面图形
直线、射线、线段
角
角的度量
角的比较与运算
余角和补角
角的平分线
两点确定一条直线
两点之间，线段最短
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等
1、立体图形：有些几何图形的各部分 .如长方体、正方体、圆柱等.
2、平面图形：有些几何图形的各部分 .如长方形、正方形、圆等.
3、点、线、面、体： ， ， 。
4、 直线事实： .
线段事实： .
5、两点间的距离：连接两点的 ，叫做两点间的距离.
6、尺规作图工具： 和 .
7、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
基础知识
不都在同一平面内
都在同一平面内
点动成线
线动成面
面动成体
两点确定一条直线
两点之间，线段最短
无刻度的直尺
圆规
线段的长度
.
A
B
C
∵ B是线段AC的中点
∴AB=BC=AC=2AB=2BC
8、角：（1）静态定义：有 组成的图形叫做角.
（2）动态定义：
9、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
公共端点的两条射线
∵ OC是∠AOB的平分线
∴∠AOB
∠AOB=2 ∠AOC= 2∠BOC
10、余角: 补角:
注：只考虑数量关系，和位置无关.
11、余（补）角的性质:同角（等角）的余角相等;同角（等角）的补角相等.
∠1+∠2=90°
∠3+∠4=180°
注：这是构建角相等的依据.
考点1 从不同方向看几何体
知识运用
1. 如图是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，从上面看到的平面图形是( )
C
2. 如图是从左面，上面看一个长方体得到的平面图形及相关数据，则从正面看得到的平面图形的面积为 .
3. 用小正方体搭成的几何体，从正面和上面看到的图形如图所示，则组成该几何体需要的小正方体最多是 块，最少是 块.
考点2 几何体的展开图
4. 如图是正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则标有数字-2的面与其对面上的数字之积是 .
5. 如图是一个长方体表面展开图，其中四边形ABCD是正方形，根据图中标示的数据可得原长方体的体积是 .
考点3 与线段有关的计算
6. 如图，线段AB被点C、D分成了3∶4∶5的三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，则AB的长是 .
7.如图，点C在线段BA的延长线上，且AC=AB. 若点D是BC的中点，AD=3，则AB的长是 .
8.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点.若AB=12，则线段BD的长
为 .
9.点A，B，C是数轴上的三个点，且BC=2AB. 若点A表示的数是-1，点B表示的数是
3，则点C表示的数是 .
10. 已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动(点A在点B左侧，点C在点D左侧)，且|m-12|+(6-n)2=0. 若点M，N 分别为线段AC，BD的中点，BC=4，求线段MN的长.
注意：当涉及几何图形却题目中没有图形时,需要分类讨论.
解 ∵|m-12|+(6-n)2=0，
∴m=12，n=6，即AB=12，CD=6.
①当点C在点B的右侧时(如图)，
∵M为AC的中点
∴AM=AC= (AB+BC)=8
∴AM=AC= (AB-BC)=4
∵N为BD的中点
∴DN=BD= (CD+BC)=5
又∵AD=AB+BC+CD=12+4+6=22
∴MN=AD-AM-DN=22-8-5=9
②当点C在点B的左侧时(如图)
∵M为AC的中点，
∵N为BD的中点
∴DN=BD= (CD-BC)=1
∴MN=MC+CB+BN=4+4+1=9
∴综上所述：MN=9
11. 数轴上点A表示的数为10，点M、N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度的速度沿数轴匀速运动，a、b满足|a-5|+(b-6)2=0.
(1)请直接写出a = ，b= .
(2)如图①，点M从点A出发沿数轴向左匀速运动，到达原点后立即返回向右匀速运动；同时点N从原点O出发沿数轴向左匀速运动，运动时间为t秒，点P为线段ON的中点.若MP=MA，求t的值.
5
6
（2）解： ①当点M未到达点O，即0＜t＜2时，
NP=OP=3t，AM=5t，OM=10-5t
即3t+10-5t=5t
解得t=
②当点M到达点O返回，即2≤t≤4时，
OM=5t-10，AM=20-5t
即3t+5t-10=20-5t
解得t=
③当点M到达点O返回，即t＞4时，不成立.
∴综上所述，t的值为或.
(3)如图②，若点M从原点O向右匀速运动，同时点N从原点O向左匀速运动，运动时间为t秒.当以M、N、O、A为端点的所有线段的长度和为109时，求此时点M表示的数.
解：①当点M在OA之间时，
NO+OM+AM+MN+OA+AN=6t+20+11t+10+6t=109
解得t=＞2，不符合题意，舍去.
②当点M在点A右侧时，
NO+OA+AM+AN+OM+MN=6t+5t+11t+10+6t+5t=109
解得t=3，点M表示的数为15.
∴综上所述，此时点M表示的数为15.
考点4 与角有关的计算
12. 如图，A、O、B三点在同一条直线上，∠DOE=90°.
(1)∠AOD的补角是 ，∠DOC的余角是 ；
(2)若OE平分∠BOC，∠DOC=36°，则∠AOE度数是 .
13. 如图，已知∠AOC=∠BOD=100°，且∠AOB∶∠AOD=2∶7，则∠BOC的度数
是 .
14. 已知∠AOB=3∠BOC，射线OD平分∠AOC，若∠BOD=30°，则∠BOC的度数
为 .
15. 已知O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE.
(1)如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为 ，∠COF与∠DOE的数量关系为 .
解: (1)互余，∠COF=∠DOE.
(2)若将∠COE绕点O旋转至如图②所示的位置，射线OF仍然平分∠AOE，请写
出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由.
解：∠COF=∠DOE，理由如下：
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=∠AOE，
∵∠COE=90°，
∴∠COF=90°-∠EOF
=90°-∠AOE，
又∵∠AOE=180°-∠DOE，
∴∠COF=90°-(180°-∠DOE)
= ∠DOE.
(3)若将∠COE绕点O旋转至如图③所示的位置，射线OF仍然平分∠AOE，请直接写
出∠COF和∠DOE之间的数量关系.
∠COF=180°-∠DOE.
如图，平面内一定点A在直线MN的上方，点O为直线MN上一动点，作射线OA、OP、OA′，当点O在直线MN上运动时，始终保持∠MOP=90°，∠AOP=∠A′OP，将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB.
拓展提升
(1)当点O运动到使点A在射线OP的左侧，OB平分∠A′OP时，求∠AOP的度数.
（1）解 ：∵OB平分∠A′OP，
∴∠A′OB=∠POB=x，
∵∠AOP=∠A′OP，
∴∠AOP=2x
∵∠AOB=60°，
∴x+2x=60°，
∴x=20°，
∴∠AOP=2x=40°.
(2)当点O运动到使点A在射线OP的左侧，∠AOM=3∠A′OB时，求的值.
(3)当点O运动到某一时刻时，∠A′OB=150°，请直接写出∠BOP的度数.
(3)105或135或75或45.
今天你收获了哪些数学思想和方法？
课堂小结
课外作业
　　教科书第 187 页，复习题 6 第 8，9 题，第 188 页，第 12 题．

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