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第一章　1.4　线段的垂直平分线
初中数学北师大版（2024）八年级下册
第1课时　线段垂直平分线的
性质与判定
1.经历利用逻辑推理验证线段的垂直平分线的性质及判定的过程，理解逻辑证明的重要性.(重点)
2.掌握线段垂直平分线的性质及判定，并能灵活应用进行推理证明.(重点、难点)
学习目标
如图所示，有一块三角形田地，AB=AC=10 m，作AB的垂直平分线ED交AC于点D，交AB于点E，量得△BDC的周长为17 m，你能帮测量人员计算BC的长吗？
情境引入
01
线段的垂直平分线的性质定理
问题1　我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流.
提示　已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
线段的垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段 的距离相等.
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两个端点的距离相等.
几何语言：如图，∵MN⊥AB，AO=BO，点P在MN上，
∴PA=PB.
作用：可用来证明两线段相等.
两个端点
知识梳理
例1　如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点F，AC与EF交于点O，连接AF.
(1)求证：∠3=∠ABF；
证明　∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵AD的中垂线交AB于点E，交BC的延长线于点F，
∴AF=DF，
∴∠ADF=∠DAF=∠2+∠3，
∵∠ADF=∠1+∠B，
∴∠3=∠ABF.
例1　如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点F，AC与EF交于点O，连接AF.
(2)连接OD，求证：OD∥AB.
证明　∵EF是AD的中垂线，
∴OA=OD，
∴∠2=∠ODA，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ODA，
∴OD∥AB.
跟踪训练1　(1)如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AB，下列说法不一定正确的是
A.AE=BE
B.∠AED+∠EBC=90°
C.∠DAE=∠EBC
D.∠BAE=∠CAE
√
解析　∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠ABE，
∴∠ABE+∠AED=90°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AED+∠EBC=90°，∠DAE=∠EBC，故A，B，C正确；
只有AE平分∠BAC时，∠BAE=∠CAE，故D不一定正确.
(2)如图，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，已知AC=6，BD=5，求△ACE的周长.
解　∵D是斜边BC的中点，BD=5，
∴BC=2BD=10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=????????2?????????2=102?62=8，
∴BE+AE=AB=8，
又∵DE⊥BC，BD=DC，
∴DE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，
∴CE+AE=8，
∴△ACE的周长为CE+AE+AC=8+6=14.
?
线段的垂直平分线的判定
2
问题2　“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是真命题吗？请证明自己结论的正确性.
提示　是真命题.已知：如图，线段AB外一点P，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：如图，过点P作PO⊥AB于点O，
则∠POA=∠POB=90°，
在Rt△POA和Rt△POB中，????????=????????,????????=????????,
∴Rt△POA≌Rt△POB(HL)，∴AO=BO，
∵PO⊥AB，AO=BO，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
?
线段的垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上.
条件：这个点到线段两个端点的距离相等；
结论：这个点在线段的垂直平分线上.
几何语言：如图，∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
作用：①作线段的垂直平分线的依据；
②可用来证线段垂直、相等.
相等
知识梳理
例2　(课本P29例1)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明　∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).
反思感悟
证明线段外两个点到线段两个端点距离相等，则这两个点所在的直线是线段的垂直平分线.
跟踪训练2　(1)如图，线段AB=8，分别以点A、点B为圆心，以5为半径作弧，两弧交于点C、点D，连接CD.则CD的长为　　　.?
6
解析　如图，设AB，CD交于点O，
由作图可知，CA=CB=DA=DB=5，
∴CD是AB的垂直平分线，且AB是CD的垂直平分线，
∴OA=12AB=4，AB⊥CD，
∴在Rt△AOC中，OC=????????2?????????2=52?42=3，
∴CD=2OC=6.
?
(2)如图，在△ABC中，∠B=∠C，点P，Q，R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC.
求证：点Q在PR的垂直平分线上.
证明　如图，连接PQ，RQ，
在△BQP和△CRQ中，????????=????????,∠????=∠????,????????=????????,
∴△BQP≌△CRQ(SAS)，
∴QP=RQ，
∴点Q在PR的垂直平分线上.
?
课堂小结
1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，若△ABD的周长等于12，则AB+BC等于




A.12 B.18 C.20 D.24
课堂练习
√
随堂演练
解析　∵AC的垂直平分线交BC于点D，
∴AD=CD，
∵△ABD的周长等于12，
∴AB+BD+AD=12，
∴AB+BD+CD=12，
∴AB+BC=12.
课堂练习
2.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在线段
A.AB的垂直平分线上
B.AC的垂直平分线上
C.BC的垂直平分线上
D.不能确定
随堂演练
√
解析　∵BC=BD+AD=BD+CD，
∴AD=CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
课堂练习
3.如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=5，BC=8，则△ABD的周长是　　　　.?
随堂演练
解析　∵DE是边AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴BD+AD=BD+CD=BC，
∵AB=5，BC=8，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=5+8=13.
13
课堂练习
4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD.
随堂演练
证明　在△AOB与△COD中，∠????=∠????,??????????????????????=????????,??????????????∠????????????=∠????????????,
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD.
?
课堂练习
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