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第一章　1.5　角平分线
初中数学北师大版（2024）八年级下册
第1课时　角平分线的性质与判定
1.经历探究角平分线的性质定理和判定定理的过程.
2.掌握角平分线的性质定理和判定定理，并能灵活应用进行推理证明.(重点、难点)
学习目标
如图，在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路.
猜想：怎样修建道路最短？往哪条路走更近呢？
情境引入
01
角平分线的性质
问题1　已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
提示　∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∵∠1=∠2，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
2.几何语言：
如图，∵OP平分∠AOB(一平分)，
PD⊥OA，PE⊥OB(二垂直)，
∴PD=PE(三相等).
相等
知识梳理
例1　把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由.
解　过点M作MH⊥AB于点H，如图，
∵∠BAD=30°，∠BAC=60°，
∴∠CAM=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°，
∴AM平分∠BAC，
∵MC⊥AC，MH⊥AB，
∴MH=MC.
即MC的长度等于点M到AB的距离.
跟踪训练1　(1)如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为5.点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为
A.PN<5 B.PN>5
C.PN≥5 D.PN≤5
√
解析　如图，过点P作PE⊥OA于点E，PM⊥OB于点M，
则PM是点P到OB的最短距离，PE=5，
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，
∴PM=PE=5，
∴PN≥5.
(2)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=6 cm，∠CAD=28°，求CD的长度及∠B的度数.
解　∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE=6 cm，∠BAD=∠CAD=28°，
∴∠BAC=2∠CAD=56°，
∴∠B=90°-∠CAB=34°.
角平分线的判定
2
问题2　“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是真命题吗？你能证明自己结论的正确性吗？
提示　是真命题.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠ODP=∠OEP=90°.
∵PD=PE，OP=OP，
∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
1.角平分线的判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的 上.
2.几何语言：
如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠1=∠2).
3.角平分线的判定所具备的条件：
(1)位置关系：点在角的内部；
(2)数量关系：点到角两边的距离相等.
平分线
知识梳理
4.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
注意点：由于到角两边距离相等的点不一定在角的平分线上，可能在角平分线的反向延长线上，或在角的邻补角的平分线上，所以存在条件“角的内部”.
知识梳理
例2　(课本P37例1)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解　∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴DE=AD=×10=5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
跟踪训练2　(1)如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上.
其中正确的是
A.①②③④ B.①②③ C.④ D.②③
解析　∵点P到AE，AD，BC的距离相等，
∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，
∴正确的是①②③④.
√
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF.求证：AD是△ABC的角平分线.
证明　∵D是BC的中点，∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，∴AD平分∠BAC，
即AD是△ABC的角平分线.
课堂小结
1.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(1)点：角平分线上的点；
(2)距离：点到角两边的距离；
(3)相等：两条垂线段相等.
2.角平分线判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3.辅助线添加方法：过角平分线上一点向角的两边作垂线段.
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=30，BD∶CD=3∶2，则点D到AB的距离为
A.18 B.12
C.15 D.16
课堂练习
√
解析　如图，作DE⊥AB于E，
∵BD∶CD=3∶2，BC=30，
∴CD=12，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=12.
即点D到AB的距离为12.
课堂练习
2.如图所示，小明将两把完全相同的长方形直尺放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2 cm，5 cm，则OC的长度是___cm.
随堂演练
3
课堂练习
随堂演练
解析　如图，过P作PN⊥OB于点N，
由题意得PM=PN，且PM⊥OA，
∴PO平分∠AOB，
∴∠COP=∠NOP，
∵PC∥OB，∴∠CPO=∠NOP，∴∠COP=∠CPO，∴OC=PC，
∵C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2 cm，5 cm，
∴PC=5-2=3(cm)，
∴OC的长度是3 cm.
课堂练习
3.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于点D，BC⊥OA于点E.
求证：AC=BC.
随堂演练
证明　∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB，BC⊥OA，
∴CE=CD，∠AEC=∠BDC=90°，
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(ASA)，
∴AC=BC.
课堂练习
4.如图，已知BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
随堂演练
证明　∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC.
课堂练习
5，　(1)如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径
解析　如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N.
由作图可知CG平分∠ACB，∴GM=GN.
∵S△BCG=BC·GN=8，BC=6，∴GN=.
∴GM=GN=.∴S△AGC=AC·GM=×9×=12.
作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G.若AC=9，BC=6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为　　.
12
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE，若AB=12，CD=3，则△BDE的面积为　　　　.
解析　如图，过D作DF⊥AB于F，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD=3，
∴DF=CD=3，
∵点E为AB的中点，AB=12，∴BE=6，
∴△BDE的面积=BE·DF=×6×3=9.
9
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