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初中数学北师大版（2024）八年级下册
第2课时　三角形三个内角平分线的性质
第一章　1.5　角平分线
1.进一步熟悉角平分线的性质与判定的应用.
2.能推理论证归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质.(重点)
3.能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题.(难点)
学习目标
某校园内有一块由三条路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭给师生小憩，使小亭中心到三条路的距离相等，请你确定小亭中心的位置.
你能解决这个问题吗？
情境引入
01
三角形内角平分线的性质
1.三角形内角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
2.三角形的三条角平分线相交于一点，该点在三角形的内部.
知识梳理
例1　(课本P38例2)如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
解　∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=CD=4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC(等边对等角).
∵∠C=90°，
∴∠B=×90°=45°.
例1　(课本P38例2)如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
解　∴∠BDE=90°-45°=45°.
∴BE=DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中，
BD==4(cm)(勾股定理).
∴AC=BC=CD+BD=(4+4)cm.
例1　(课本P38例2)如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(2)求证：AB=AC+CD.
证明　由(1)的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等).
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
例2　(课本P38例3)已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P.
求证：∠A的平分线经过点P.
证明　如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理，PE=PF.
∴PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
即∠A的平分线经过点P.
跟踪训练　(1)如图，△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的面积为
A.48 B.63
C.21 D.42
√
解析　如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接OA，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OM=OD=2，
同理可得ON=OD=2，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=AB·OM+BC·OD+AC·ON
=AB·2+BC·2+AC·2
=AB+BC+AC
=21.
(2)如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=　　　　.
125°
解析　∵点O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，∴OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×110°=55°，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°.
课堂小结
三角形内角平分线的性质定理：
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
1.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在
A.△ABC三边中线的交点
B.△ABC三个角的平分线的交点
C.△ABC三边高线的交点
D.△ABC三边垂直平分线的交点
课堂练习
√
随堂演练
解析　因为三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等，所以度假村应该修在△ABC内角平分线的交点处.
课堂练习
2.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为30，则△ACO的面积为
A.18 B.20 C.22 D.24
随堂演练
√
解析　∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴S△AOB∶S△AOC=AB∶AC=10∶8=5∶4，
∵△ABO的面积为30，
∴△ACO的面积为24.
课堂练习
3.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路的距离相等，且到公路的距离为1.5 cm.
(1)在图上标出仓库G的位置；
随堂演练
解　如图，∵其仓库G在A区，到公路和铁路的距离相等，
∴利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上，再用刻度尺量出到OQ的距离为1.5 cm即可得出G点.
课堂练习
3.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路的距离相等，且到公路的距离为1.5 cm.
随堂演练
解　仓库到铁路的图上距离为1.5 cm，
则实际距离为1.5×10 000=15 000(cm)=150 m.
∴仓库到铁路的实际距离为150 m.
(2)求出仓库G到铁路的实际距离(比例尺为1∶10 000，用尺规作图).
课堂练习
4.如图，已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：PE=PF；
证明　如图，过点P作PD⊥BC于点D，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PE=PF.
课堂练习
4.如图，已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(2)若∠BAC=60°，连接AP，求∠EAP的度数.
随堂演练
解　∵PE=PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAP=∠BAC=×60°=30°.
课堂练习
5.　(1)如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24 cm，面积为36 cm2，则点P到边BC的距离是
A.8 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
解析　过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F(图略)，
∵点P是△ABC的内角平分线的交点，
∴PE=PF=PD，
又∵△ABC的周长为24 cm，面积为36 cm2，
∴S△ABC=AB·PD+BC·PE+AC·PF=PE(AB+BC+AC)=×24PE=36，
∴PE=3 cm.
√
(2)如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°.
①求∠ACE的度数；
解　∵∠ACB=100°，∴∠ACD=180°-100°=80°.
∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°.
∵∠CEH=50°，∴∠ECH=90°-50°=40°.
∴∠ACE=80°-40°=40°.
(2)如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°.
②若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求△ABE的面积.
解　如图，过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N.
∵BE平分∠ABC，∴EM=EH.
∵∠ACE=∠ECH=40°，∴CE平分∠ACD.
∴EN=EH.∴EM=EN=EH.
∵AC+CD=14，S△ACD=21，
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=AC·EN+CD·EH=(AC+CD)·EM=21，
即×14EM=21，解得EM=3.
∵AB=8.5，∴S△ABE=AB·EM=×8.5×3=.
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