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初中数学知识点总复习（提分必备）
第一章 有理数
1、有理数的基本概念
(1)正数和负数
定义：大于 0 的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。
0 既不是正数，也不是负数。
(2)有理数
正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。
2、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
3、相反数
代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
一般地，a 和-a 互为相反数。0 的相反数是 0。
a =-a 所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。
4、绝对值
定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。
即：如果 a >0，那么|a|=a；
如果 a =0，那么|a|=0；
如果 a <0，那么|a|=-a。
a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。
5、倒数
定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。即：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。
a 1= 所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。
a
6、数的大小比较
法则：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。
7、乘方定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。
如： an = a a a读作 a 的 n 次方（幂），在 an中，a 叫做底数，n 叫做指数。
n个a
性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
正数的任何次幂都是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
8、科学记数法
定义：把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式(其中 a 大于或等于 1 且小于 10，n 是正整数)，这种
记数方法叫做科学记数法。小于-10 的数也可以类似表示。
用科学记数法表示一个绝对值大于 10 的数时，n 是原数的整数数位减 1 得到的正整数。
用科学记数法表示一个绝对值小于 1 的数（a×10-n）时，n 是从小数点后开始到第一个不是 0 的数为
止的数的个数。
9、近似数
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十
分位——精确到 0.1；精确到百分位——精确到 0.01；···。
10、有理数的加法
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对
值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0
相加，仍得这个数。
加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。
11、有理数的减法
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。
12、有理数的乘法
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，都得 0。
乘法运算律：①交换律 ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律 a(b+c)=ab+ac。
13、有理数的除法
1
除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。即： a b = a × 。
b
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
14、有理数的混合运算
混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括
号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
第二章 实数
1、平方根
定义 1：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。a 的
算术平方根记作 a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数。即 x = a 。
规定：0 的算术平方根是 0。
定义 2：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根。即如果 x2=a，
那么 x 叫做 a 的平方根。即 x = a 。
定义 3：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
2、立方根
定义：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根。即如果 x3=a，那
么 x 叫做 a 的立方根，记作 3 a 。即 x = 3 a 。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0。
3、无理数
无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如 5, 3 2 等；
π
（2）有特定意义的数，如圆周率π ，或化简后含有π的数，如 1等；
3
（3）有特定结构的数，如 0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如 sin60°等
4、实数
有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。
备注：最小的正整数是 1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是 0。
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
5、实数的分类
正有理数
分法一： 有限小数或
有理数 0
无限循环小数
负有理数实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
分法二：
正实数

实数 0

负实数
6、实数的比较大小
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设 a、b 是实数，
a b 0 a b ，
a b = 0 a = b ，
a b 0 a b
a a a
（3）求商比较法：设 a、b 是两正实数， 1 a b; =1 a = b; 1 a b;
b b b
（4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则 a b a b 。
2 2
（5）平方法：设 a、b 是两负实数，则 a b a b。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
7、实数的运算
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数
范围内仍然成立
1、加法交换律 a b = b a
2、加法结合律 (a b) c = a (b c)
3、乘法交换律 ab = ba
4、乘法结合律 (ab)c = a(bc)
5、乘法对加法的分配律 a(b c) = ab ac
6、实数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。实数范围内混合运算的顺序：
①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小
括号、中括号、大括号依次进行。
第三章 整式
1、定义
(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也
是代数式。
(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次
数。
1 2
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如 4 a b ，这种表
3
13
示就是错误的，应写成 a2b。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如
3
5a3b2c是 6 次单项式
(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常
数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式与多项式统称整式。
(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
2、整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
(2)整式的乘除运算
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一
个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的
每一项，再把所得的积相加。
⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一
项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式
叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方
和，加上(或减去)它们积的 2 倍。这两个公式叫做完全平方公式。
⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。
⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除
式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的
商相加。
注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
(3)添括号法则
同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
3、因式分解
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也
叫做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以尝试运用公式
法分解因式；3 项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4 项式及 4 项式以上的可以尝试分组分
解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
第四章 分式
1、分式的定义
A
一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式。
B
注：A、B 都是整式，B 中含有字母，且 B≠0。
2、分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
A A ×C A A C
= ； = （C≠0）。
B B ×C B B C
3、分式的约分和通分
定义 1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义 2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义 3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫
做分式的通分。
定义 4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
4、分式的乘除
a c a ×c
①乘法法则： × = 。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
b d b × d
a c a d a × d
②除法法则： = × = 。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相
b d b c b ×c
乘。
a n an
③分式的乘方： ÷ = n 。分式乘方要把分子、分母分别乘方。è b b
a n 1④整数负指数幂： = 。
an
5、分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
a b a b
①同分母分式的加减： = ；
c c c
a c ad bc ad bc
②异分母分式的加法： = = 。
b d bd bd bd
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
第五章 二次根式
1、二次根式的定义
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性质
2
① ( a ) = a (a≥0)； a2② = a (a≥0)； ③ a2 = a (a 取全体实数)。
3、二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法：① a × b = ab ； ② ab = a × b (a≥0， b≥0)。
a a a a
(2)二次根式的除法：① = ； ② = (a≥0， b＞0)。
b b b b
4、最简二次根式
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5、二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
第六章 一次方程(组)
1、定义
定义 1：含有未知数的等式叫做方程。
定义 2：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方
程，它的一般形式是 ax b = 0 a 0 。
定义 3：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
定义 4：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程，它的一般形
式是 ax by c = 0 a 0,b 0 。
定义 5：把两个方程合在一起，就组成了方程组。
定义 6：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个方程，这样的
方程组叫做二元一次方程组。
定义 7：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
定义 8：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
2、等式的性质
性质 1：若 a=b，则 a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
a b
性质 2：若 a=b，则 ac=bc； = (c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果
c c
仍相等。
3、解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1。
4、解二元一次方程组的方法
①代入消元法；②加减消元法。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代
入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入
法。
加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两
边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加
减法。
5、方程(组)与实际问题
解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：
第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第 3 步：列方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第 4 步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第 5 步：答。
第七章 分式方程
1、定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的解法
①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为 1 或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的
根。
3、分式方程与实际问题
解有关分式方程的实际问题的一般步骤：
第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第 3 步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第 4 步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第 5 步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第 6 步：答。
第八章 一元二次方程
1、定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0)。其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b
是一次项系数；c 是常数项。
2、一元二次方程的解法
直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p 或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式 a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为 1；②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成 x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形
式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
2 2 x b b
2 4ac
(3)公式法。当 b -4ac≥0 时，方程 ax +bx+c=0 的实数根可写为： = 的形式，这个
2a
式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根。
b b2 4ac b b2x1 = ， x
4ac
=
2a 2 2a
②b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根。
x b1 = x2 = ，③b2-4ac＜0 时，方程无实数根。2a
定义：b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用字母 Δ 表示，即 Δ=b2-4ac。
(4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。
3、一元二次方程与实际问题
解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第 3 步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第 4 步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第 5 步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第 6 步：答。
第九章 不等式(组)
1、定义
定义 1：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式
子也是不等式。
定义 2：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
定义 3：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
定义 4：求不等式的解集的过程叫做解不等式。
定义 5：含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为 1。
定义 6：几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集，当任何数 x 都不能使
不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、不等式的性质
性质 1：若 a＞b，则 a±c＞b±c。不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
a b
性质 2：若 a＞b，c＞0，则 ac＞bc， ＞ 。不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不
c c
变。
a b
性质 3：若 a＞b，c＜0，则 ac＜bc， ＜ 。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改
c c
变。
对于不等式组，应先求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，找出解集的公共部分。
3、不等式(组)与实际问题
解有关不等式(组)实际问题的一般步骤：
第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第 3 步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第 4 步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第 5 步：答。
第十章 函数及其图象
1、坐标与象限
定义 1：我们把有顺序的两个数 a 与 b 所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义 2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数轴称为 x 轴或横轴，
取向右方向为正方向；竖直的数轴称为 y 轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐
标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一
象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
2、函数与图象
定义 1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
定义 2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。如果当 x=a 时，y=b，那么 b 叫做当自
变量的值为 a 时的函数值。
定义 3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么
坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义 4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子
叫做函数的解析式。
表示函数的方法：解析式法、列表法和图象法。
解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：
第 1 步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第 2 步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值
对应的各点；
第 3 步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
第十一章 一次函数
1、定义
定义 1：一般地，形如 y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。
定义 2：一般地，形如 y=kx+b(k，b 是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
当 b=0 时，y=kx+b 即 y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2、一次函数的图象及其性质
正比例函数的图象及性质：正比例函数 y=kx(k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直
线 y=kx。
y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性
k＞0 三、一 从左向右上升 y 随着 x 的增大而增大
k＜0 二、四 从左向右下降 y 随着 x 的增大而减小
一次函数的图象及性质：一次函数 y=kx+b(k、b 是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线 y=kx+b。
当 k＞0 时，直线 y=kx+b 从左向右上升，即 y 随着 x 的增大而增大；
当 k＜0 时，直线 y=kx+b 从左向右下降，即 y 随着 x 的增大而减小。
y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性
k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y 随着 x 的增大而增大
k＞0，b＜0 三、四、一
k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y 随着 x 的增大而减小
k＜0，b＜0 二、三、四
3、待定系数法
定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做
待定系数法。
函数解析式 满足条件的两定点 一次函数的图象
y=kx+b (x1，y1)与(x2，y2) 直线 l
4、一次函数与方程(组)及不等式(组)
方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，
反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
5、函数与实际问题(适用于一次函数、二次函数、反比例函数)
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法：
第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第 2 步：设自变量。根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
第 3 步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第 4 步：求解。求出满足题意的数值。
第十二章 二次函数
1、定义：一般的，形如 y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中 x 是自变量，
a、b、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中 x1，x2是图象与 x 轴交点的横坐标 ．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与 x 轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式
的这三种形式可以互化.
2、二次函数的图象是一条抛物线。当 a＞0 时，抛物线开口向上；当 a＜0 时，抛物线开口向下。|a|
越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
b
对称轴 y 轴 y 轴 x=h x=h x =
2a

b , 4ac b
2
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) ÷
è 2a 4a ÷
a>0 时，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
顶点
a<0 时，顶点是最高点，此时 y 有最大值。
4ac b2
最小值(或最大值)为 0(k 或 )。
4a
b b
x<0(h 或 )时，y 随 x 的增大而减小；x>0(h 或 )时，y 随 x 的增大而增大。
a>0 2a 2a
增
即在对称轴的左边，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大。
减
b b
x<0(h 或 )时，y 随 x 的增大而增大；x>0(h 或 )时，y 随 x 的增大而减小。
性 a<0 2a 2a
即在对称轴的左边，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右边，y 随 x 的增大而减小。
3、二次函数的平移：
方法一：在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k 可以由抛物线 y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
y = ax 2⑴ bx c 沿 y 2轴平移:向上（下）平移m 个单位， y = ax bx c 变成 y = ax 2 bx c m
2
（或 y = ax bx c m ）
⑵ y = ax 2 bx c 沿 x 轴平移：向左（右）平移m 个单位， y = ax 2 bx c 变成
y = a(x m)2 b(x m) c （或 y = a(x m)2 b(x m) c）
4、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．
b
2、b 的符号的判定：对称轴 x = 在 y 轴左边则 ab 0，在 y 轴的右侧则 ab 0，概括的说就是
2a
“左同右异”
3、c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下
b＝0 对称轴为 y 轴
b
ab＞0(a 与 b 同号) 对称轴在 y 轴左侧
ab＜0(a 与 b 异号) 对称轴在 y 轴右侧
c＝0 经过原点
c c＞0 与 y 轴正半轴相交
c＜0 与 y 轴负半轴相交
5、二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
a＞0
二次函数 y＝ax2＋bx
＋c(a≠0)与 x 轴的交点
a＜0
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等 有两个相等的
没有实数根
的实数根 的实数根 x1，x2 实数根 x1＝x2
当 b2－4ac＜0 时
1' 当 a 0时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ；
2' 当 a 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0．
第十三章 反比例函数
1、定义
k 1
一般的，形如 y = (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式： y = kx 或 xy = k 。
x
因为 x≠0，k≠0，相应地 y 值也不能为 0，所以反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴，但与 x 轴、y
轴永不相交 ．
2、反比例函数的图象及其性质
k
反比例函数 y＝ (k 为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受 k 的符号的影
x
响.
k
y＝ (k 为常数，k≠0) k>0 k<0
x
图　象
所在象限 一、三(x，y 同号) 二、四(x，y 异号)
在每个象限内，y 随 x 的增大而减 在每个象限内，y 随 x 的增大而增
性　质
小 大
3、反比例函数的 k 的几何意义
k
由 y＝ (k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .
x
如图①和②，S 矩形 PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
1 1
同理可得 S△OPA＝S△OPB＝ |xy|＝ |k|.2 2
第十四章 图形初步认识
1、直线、射线、线段
(1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。
(2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的
交点。
(3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
(4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。
(5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量；射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量；
线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。
2、角
(1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两
条边。
(2)角的度量
1°=60′ 1′=60″ (°、′、″分别是：度、分、秒)
(3)角的分类
①锐角(0°< α < 90°)
②直角(α = 90°)
③钝角(90°< α < 180°)
④平角(α =180°)
⑤周角(α =360°)
(4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
(5)角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
(6) 余角与补角
余角：一般地，如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互为余角。
补角：如果两个角的和等于 180°(平角)，就说这两个角互为补角。
性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。
第十五章 命题、定理与证明
1、命题与定理
定义 1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可
以写成“如果……，那么……”的形式。“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义 2：如果题设成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫做真命题。
定义 3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义 4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义 5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原
命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明
一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
3、证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
第十六章 相交线与平行线
1、邻补角与对顶角
邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。
对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶
角。
注：对顶角相等。 1 2
3 O
如：∠1 和∠2 互为邻补角，∠2 和∠3 互为对顶角。
2、垂线
(1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一
条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
(2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3、同位角、内错角、同旁内角
1
如图，∠1 和∠4 是同位角，∠3 和∠4 是内错角，∠2 和∠4 是同旁内角。 3 2
4、平行线 4
(1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。
(2)平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
(3)平行线的性质
两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(4)平行线的判定
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
第十七章 图形的变换
1、平移
(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线
上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移 a 个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；
点（x，y）向左平移 a 个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；
点（x，y）向上平移 a 个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；
点（x，y）向下平移 a 个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称
(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图
形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标是（x，-y）；
点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标是（-x， y）；
3、旋转
(1)旋转
定义：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转。点 O 叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角。如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③
旋转前后的图形全等。
(2)中心对称
定义：把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的
对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形。
(3)中心对称图形
定义：如果一个图形绕一个点旋转 180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫
做它的对称中心。
(4)关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点 O 的对称点为 P′(-x，-y)。
第十八章 投影与视图
1、投影
(1)投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。
(2)平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。
(3)中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。
(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
2、视图
(1)视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。
视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。
(2)主视图、俯视图、左视图
对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视
图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视
图，叫做左视图。
主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等。
第十九章 三角形
1、三角形的基本概念
(1)三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
(3)三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
(4) 三角形的高、中线、角平分线
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形
的角平分线。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形
的高）。
(5) 三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应
用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
(6)三角形的角
①三角形的内角和等于 180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它
不相邻的内角。
三角形的外角和等于 360°。
(7)三角形的面积
1
三角形的面积= ×底×高
2
2、特殊三角形
(1)等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中
线、底边上的高重合。
推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°。
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
b
③等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则 2
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
180 A
2
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判
定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(3)直角三角形
①在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
③勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2。
④勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
第二十章 全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对
应角。
2、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3、三角形全等的判定
(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
4、全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
第二十一章 图形的相似
1、比例线段的相关概念
a m
如果选用同一长度单位量得两条线段 a，b 的长度分别为 m，n，那么就说这两条线段的比是， =
b n
或写成 a：b=m：n
在两条线段的比 a：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简
称比例线段
a c
若四条 a，b，c，d 满足 = 或 a：b=c：d，那么 a，b，c，d 叫做组成比例的项，线段 a，d 叫做比
b d
例外项，线段 b，c 叫做比例内项，线段的 d 叫做 a，b，c 的第四比例项。
a b
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 = 或 a：b=b：c，那么线段 b 叫做线段 a，c 的比例中
b c
项。
2、比例的性质
（1）基本性质
①a：b=c：d ad=bc
②a：b=b：c b2 = ac
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
a b
= （交换内项）
c d
a c d c
= = （交换外项）
b d b a
d b
= （同时交换内项和外项）
c a
a c b d
（3）反比性质（交换比的前项、后项）： = =
b d a c
（4）合比性质：
a c a b c d
= =
b d b d
（5）等比性质：
a c e m (b d f n 0) a c e m a= = = = =
b d f n b d f n b
3、黄金分割
把线段 AB 分成两条线段 AC，BC（AC>BC），并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB
5 1
黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC= AB 0.618AB
2
4、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：
（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平
行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
5、相似多边形
定义 1：形状相同的图形叫做相似图形。
定义 2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多
边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
6、相似三角形的判定
定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
定理：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
判定 1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定 2：三边成比例的两个三角形相似。
判定 3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定 4：两角分别相等的两个三角形相似。
7、相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形对应线段的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
8、相似三角形模型
模型一：A、8 模型
模型二：共边共角型
模型三：一线三角型
模型四：相似与旋转
模型五：垂直相似
如图，在 Rt 三角形 ABC 中，∠C=90°，CD 为斜边 AB 上的高
结论： ACD ∽ BCD ∽ ABC
2
AC = AD AB
BC 2 = BD AB
CD2 = AD BD
9、位似图形
定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，
这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
第二十二章 锐角三角函数
1、锐角三角函数
1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角 A 的正弦记作__sinA_.
2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角 A 的余弦记作_cosA_ .
3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角 A 的正切记作__tanA_.
sin A A的对边 a正弦： = =
斜边 c B
c
斜边 a
余弦： cos A A的邻边 b= = ； 对边
斜边 c
A b 邻边 C
tan A A的对边 a正切： = = 。
A的邻边 b
常见三角函数值：
锐角 α
30° 45° 60°
三角函数
1
sin 2 3
2 2 2
cos 3 2 1
2 2 2
tan 3 1 3
3
2、解直角三角形
解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共 5 个元素(三
边、两锐角)，若知道其中 2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余 3 个未知元素。
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c
2 2 2
（1）三边之间的关系： a b = c （勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
sin A a= , cos A b= , tan A a= ;sin B b= , cos B a= , tan B b=
c c b c c a
3．解直角三角形的类型
已知条件 解　法
a
两直角边(如 a，b) 由 tan A＝ ，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝ a2＋b2
b
a
斜边、一直角边(如 c，a) 由 sin A＝ ，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝ c2－a2
c
b
一锐角与邻边(如∠A，b) ∠B＝90°－∠A；a＝b·tan A；c＝
cos A
a a
一锐角与对边(如∠A，a) ∠B＝90°－∠A；b＝ ； c＝
tan A sin A
斜边与一锐角(如 c，∠A) ∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A； b＝c·cos A
4、锐角三角函数的实际应用
1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有
较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：
(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的
已知条件，画出它的平面图或截面示意图．
(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．
(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分
割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行 解决．
(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．
(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．
5、锐角三角函数实际应用中的相关概念
(1)仰角、俯角
如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做
俯角．
(2)坡度(坡比)、坡角
h
如图②，坡面的高度 h 和水平距离 l 的比叫坡度(或坡比)，即 i＝tan α＝ ，坡面与水平面的夹角 α 叫
l
坡角．
(3)方向角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA 是表示北偏
东 60°方向的一条射线．注意：东北方向指北偏东 45°方向，东南方向指南偏东 45°方向，西北方向指北
偏西 45°方向，西南方向指南偏西 45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。
(4)方位角
从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.
6、三角函数常见模型
图 1 图 2
如图 1 是基本图形，若 B、C、D 在同一直线上，且∠ABC 等于 90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，
x x a
AB=x，则有 x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴ = a ， x =
tan tan 1 1
tan tan
a
变式为图 2，则结论为 x = 1 1

tan tan
第二十三章 平行四边形
1、四边形
定义 1：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
按照组成多边形的线段的条数可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形、···。三角形是最简
单的图形。
如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫做 n 边形。
定义 2：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边
形的外角。
定义 3：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
定义 4：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
n(n 3)
n 边形内角和等于(n-2)×180°，对角线条数为 。
2
多边形的外角和等于 360°。
2、平行四边形
(1)定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形 ABCD 记
作“□ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”。
(2)平行四边形的性质
平行四边形的对边平行且相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分。
(3) 平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
（5）平行四边形的面积
S 平行四边形=底×高
(6)中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3、矩形
(1)定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
(2)矩形的性质
矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(4) 矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形。
4、菱形
(1)定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。
(3)菱形的判定
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形。
（4）菱形的面积
S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
5、正方形
正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。
第二十四章 圆
1、圆
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定
的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径，以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆 O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧
都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
2、弧、弦、圆心角之间的关系
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么
其余各组量也分别相等
4、圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系
设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 OP=d，则有：
点 P 在圆外 d＞r ；
点 P 在圆上 d=r ；
点 P 在圆内 d＜r 。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三
条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
6、直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。
设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离 d，则有：
直线 l 和⊙O 相交 d＜r ；
直线 l 和⊙O 相切 d=r ；
直线 l 和⊙O 相离 d＞r 。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切
线的夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三
角形的内心。
7、正多边形和圆
定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多
边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
8、弧长和扇形面积
n R
n°的圆心角所对的弧长 l 为： l = 。
180
n R2 1
圆心角为 n°的扇形面积 S 为： S = ； S扇形 = lR扇形 360 2
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 l，高为 h 的圆锥的侧面积为 Rl ，全面积为
Rl R2 2 2 2，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 R h = l ．
n l 2
圆锥与侧面展开图的等量关系： Rl = ,2 R n l r= ， n = ×360
360 180 l
第二十五章 数据的收集、整理、描述与分析
1、全面调查与抽样调查
全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查。
抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查方法叫做
抽样调查。
2、总体、个体及样本
总体是要考察的全体对象。其中每一个考察对象叫做个体。当总体中个体数目较多时，一般从总体中
抽取一部分个体，这部分个体叫做总体的样本。样本中个体的数目叫做样本容量。
3、常见统计图表
直方图、扇形图、条形图、折线图。
4、平均数
1
平均数： x = (x1 x2 xn )n
x k x
加权平均数： x = 1 1 2k2 xnkn （ x 、 x … x
k k k 1 2 n
的权分别是 k1、 k2 … kn ）
1 2 n
新数据的平均数：当所给数据都在某一常数 a 的上下波动时，一般选用简化公式： x = x' a 。
其中，常数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， x'1 = x1 a ， x'2 = x2 a，…， x'n = xn a 。
x' 1= (x'1 x'2 x'n )是新数据的平均数（通常把 x1 , x2 , , xn ,叫做原数据， x'1 , x'2 , , x'n ,叫做新n
数据）。
5、众数与中位数
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位
置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
6、方差
2 1
方差： s = [(x 2 21 x) (x2 x) (xn x)
2 ]
n
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
第二十六章 概率初步
1、随机事件
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件。
不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。
必然事件和不可能事件统称确定性事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2、概率
(1)概率的性质：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0＜P(不确定事件)＜1。
(2)一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包括其中
m
的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率 P(A) = 。
n
3、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，
通常采用列表法。
4、树状图法求概率
通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，
通常采用树状图法求概率。
5、利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这
个事件发生的概率。
在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为
模拟实验。
6、随机数
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称
为随机数。
第二十七章 尺规作图
1、尺规作图的要求
只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图不一定要写作图步
骤，但必须保留作图痕迹.
2、五种基本尺规作图
步骤：
作一条线段等
1.作射线 OP；
于已知线段
2.在 OP 上截取 OA=a，OA 即为所求线段
步骤：
1.以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 N、M；
作角的平分线 1
2.分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，
2
相交于点 P；3.画射线 OP,OP 即为所求角平分线
步骤：
作线段的垂直 1
1.分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径，在 AB 两侧作弧；
平分线 2
2.连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线
步骤：
1.在∠α 上以点 O 为圆心、以适当的长为半径作弧，交∠α 的两边于点 P、
Q；
作一个角等于
2.作射线 O′A；
已知角
3.以 O′为圆心、OP 长为半径作弧，交 O′A 于点 M；
4.以点 M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点 N；
5.过点 N 作射线 O′B，∠BO′A 即为所求角
步骤：
1.在直线另一侧取点 M；
2.以 P 为圆心，以 PM 为半径画弧,交直线于 A、B 两点；
3.分别以 A、B 为圆心，以大于 12AB 长为半径画弧，交 M 同侧于点 N；
过一点作已知 4. 连接 PN,则直线 PN 即为所求垂线
直线的垂线 步骤：
1.以点 O 为圆心，任意长为半径向点 O 两侧作弧，交直线于 A、B 两点；
1
2.分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 长为半径向直线两侧作弧，交点
2
分别为 M、N；
3.连接 MN，MN 即为所求垂线

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