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2026年中考一轮复习
1.4 二次根式
数与式
第1章
“—”
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
1．二次根式的相关概念
（1）二次根式：形如的式子叫作二次根式（即一个数的算术平方根叫作二次根式）．
（2）最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数不含________；
②被开方数中不含____________的因数或因式．
分母
开得尽方
2．二次根式的性质：
（1）具有_____________，一是，二是．
（2） ．
（3）．
（4） ．
（5） ．
双重非负性
3．二次根式的运算
（1）加减法运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是__________________．
（2）二次根式的乘法法则：．
（3）二次根式的除法法则：．
合并同类二次根式
（4）运算顺序：先算乘方，再算________，最后算________，如果有________，就先算________里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
注意：运算结果中的二次根式，一般都要化成_____________或整式．
乘除
加减
括号
括号
最简二次根式
4．方法技巧
（1）记清公式，如．
（2）在运用分母有理化法计算时要考虑分母的有理化因式不能为0．
（3）性质公式逆用：如性质．
逆用：；；．
从而使根式的分子分母出现“公因式”，便于约分。
（4）善于挖掘隐含条件，会用二次根式被开方数非负这一性质。
■考点一 二次根式有意义的条件
◇典例1：(2025·四川省绵阳市·中考)若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
A
◆变式训练
1．(2025·宁夏银川市第十八中学·三模)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
2．(2025·黑龙江·一模)若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ．
且
（答案不唯一）
■考点二 二次根式的性质及化简
◇典例2：(2025·广西·一模)化简： ．
◆变式训练
1．(2025·江西吉安·二模)若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ．
C
或
■考点三 最简二次根式
◇典例3：(2025·云南省丽江·三模)下列二次根式：，是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
◆变式训练
1．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．(2025·宁夏银川市阅海第二中学·模拟)最简二次根式能与进行合并，则 ．
A
■考点四 二次根式的运算
◇典例4：(2025·安徽·押题)下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
◆变式训练
1．(2025·南京·中考)计算的结果是 ．
2
2．(2025·甘肃·模拟)计算下列各题：
(1)；(2)．
解：（1）
；
（2）原式
．
■考点五 二次根式的化简求值
◇典例5：(2025·黑龙江省大庆市·三模)先化简，再求值：，其中．
解：
，
，
，
；
当时，原式．
◆变式训练
1．(2025·云南省楚雄彝族自治州禄丰市·一模)若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
B
2．(2025·甘肃省定西市·模拟)化简求值：，其中，
解：
，
当，时，原式．
■考点六 二次根式的应用
◇典例6：(2025·河北省邯郸市·四模)已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ）
A． B． C． D．
A
◆变式训练
1．(2025·吉林省长春市·三模)如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是 ．
12
2．(2025·河北省邯郸市广平县·三模)现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为_______，B的边长为______，C的边长为______；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
2
解：（2）∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，
∴长方形木板①的长为，宽为，
∴阴影部分面积为；
（3）不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
A 基础达标练
1．(2026·江苏省徐州市·模拟)如果有意义，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
B
2．(2025·山东省东营市·中考)下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
3．(2025·湖南·三模)估计的值应在（ ）
A．与之间 B．与之间
C．与之间 D．与之间
A
4．(24-25九下·广东韶关浈江区行之实验学校·二模)若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
5．(2025·陕西省西安市·模拟)下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
6．(2025·宁夏银川市·三模)实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．
2
7．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)计算：．
解：原式
．
8．(2025九·四川省广元市·学业水平监测)先化简，再求值：，其中．
解：,
,
,
,
，
代入，原式．
B 强化提升练
9．(2025·甘肃省定西市·模拟)观察下列计算：
，
，
，
……
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ．
10．(2025·江苏省宿迁市·二模)通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）．
（构造图形），
（三角形任意两边之和大于第三边）．
，，（勾股定理），．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
D
解：（2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段．
∵两点之间，线段最短，
∴．
∵，，
，，
∴．
∴；
【拓展探究】
（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________．
（要求：直接写出结果，并在图3中，
画出所构造的图形）
38
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第一章 数与式
1.4 二次根式
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
1．二次根式的相关概念
（1）二次根式：形如的式子叫作二次根式（即一个数的算术平方根叫作二次根式）．
（2）最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数不含分母；
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
2．二次根式的性质：
（1）具有双重非负性，一是，二是．
（2） ．
（3）．
（4） ．
（5） ．
3．二次根式的运算
（1）加减法运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是合并同类二次根式．
（2）二次根式的乘法法则：．
（3）二次根式的除法法则：．
（4）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
注意：运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
4．方法技巧
（1）记清公式，如．
（2）在运用分母有理化法计算时要考虑分母的有理化因式不能为0．
（3）性质公式逆用：如性质．
逆用：；；．
从而使根式的分子分母出现“公因式”，便于约分。
（4）善于挖掘隐含条件，会用二次根式被开方数非负这一性质。
■考点一 二次根式有意义的条件
◇典例1：(2025·四川省绵阳市·中考)若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键．
逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可．
【详解】解：选项A：，故一定有意义；
选项B：当时，，故不一定有意义；
选项C：当时，，故不一定有意义；
选项D：，故仅在时有意义，
故选：A．
◆变式训练
1．(2025·宁夏银川市第十八中学·三模)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题考查了二次根式与零指数幂有意义的条件，熟练掌握两者的概念是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件和零次幂有意义的条件求解即可．
【详解】解：要使 在实数范围内有意义，需满足 ，即 ；
要使 在实数范围内有意义，需满足底数，即，
综上，实数的取值范围为且，
故答案为：且．
2．(2025·黑龙江·一模)若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得，
∴的值可以是 ．（答案不唯一）
■考点二 二次根式的性质及化简
◇典例2：(2025·广西·一模)化简： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键．
应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根．
【详解】；
故答案是：．
◆变式训练
1．(2025·江西吉安·二模)若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与能合并，
∴，
解得：．
故选：C
2．实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出的值，分为直角边和为斜边两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴当为直角边时，第三边的长为；
当为斜边时，第三边的长为；
故答案为：或．
■考点三 最简二次根式
◇典例3：(2025·云南省丽江·三模)下列二次根式：，是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
【详解】解：下列二次根式：中，
是最简二次根式的有，，
其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式，
，
，
，
故选：B．
◆变式训练
1．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意；
B、 ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2．(2025·宁夏银川市阅海第二中学·模拟)最简二次根式能与进行合并，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，先根据二次根式的性质化简，进而根据同类二次根式，列出方程，解出m即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
∴，
故答案为：．
■考点四 二次根式的运算
◇典例4：(2025·安徽·押题)下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了积的乘方、负分数次幂、合并同类项、二次根式的乘法等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．
根据积的乘方、负分数次幂、合并同类项、二次根式的乘法法则逐项判断即可．
【详解】解：A． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
B． ，故该选项正确，符合题意；
C． 与不是同类项，不能进行加减运算，故该选项错误，不符合题意；
D． ，原计算错误，故该选项不符合题意．
故选B．
◆变式训练
1．(2025·南京·中考)计算的结果是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减．
【详解】解：
．
故答案为：2．
2．(2025·甘肃·模拟)计算下列各题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再计算加减即可；
（2）先计算平方差公式、绝对值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】（1）（1）解：
；
（2）解：
．
■考点五 二次根式的化简求值
◇典例5：(2025·黑龙江省大庆市·三模)先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查分式的运算 ，二次根式的化简求值；先根据分式的运算法则再结合完全平方公式和平方差公式进行化简，再把代入计算即可．
【详解】解：
，
，
；
当时，原式．
◆变式训练
1．(2025·云南省楚雄彝族自治州禄丰市·一模)若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求代数式的值，完全平方公式因式分解及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式因式分解，然后代入求解即可．
【详解】，
当时，原式，
故选：B．
2．(2025·甘肃省定西市·模拟)化简求值：，其中，
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
■考点六 二次根式的应用
◇典例6：(2025·河北省邯郸市·四模)已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
依据题意，有一个长方形面积是，宽是，则它的长为：，进而得解．
【详解】解：由题意，一个长方形面积是，宽是，
它的长为：，
故选：A．
◆变式训练
1．(2025·吉林省长春市·三模)如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了正方形的性质和三角形的面积，先根据正方形的面积公式和已知条件，求出和，从而求出，然后根据阴影部分的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可．
【详解】解：∵大正方形面积为32，小正方形的面积为8，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积的面积的面积
．
故答案为：12．
2．(2025·河北省邯郸市广平县·三模)现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】(1)2，，
(2)阴影部分面积为；
(3)不能截出；理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为，
∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，
故答案为：2，，；
（2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，
∴长方形木板①的长为，宽为，
∴阴影部分面积为；
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
A 基础达标练
1．(2026·江苏省徐州市·模拟)如果有意义，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，即可求解．
【详解】解： 有意义，
，
．
因此，的取值范围是，
故选：B．
2．(2025·山东省东营市·中考)下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确，
【详解】解：A、，A错误．
B、和不是同类二次根式，， B错误．
C、， C正确．
D、， D错误．
故选C
3．(2025·湖南·三模)估计的值应在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式的化简与求值与根式的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
化简运算，再根据根式的大小估算即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
4．(24-25九下·广东韶关浈江区行之实验学校·二模)若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：
在数轴上表示为：
故选：D．
5．(2025·陕西省西安市·模拟)下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根，立方根，二次根式性质解答即可．
本题考查了算术平方根，立方根，二次根式性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：A. ，原式计算错误，不符合题意；
B. ，原式计算错误，不符合题意；
C. ，原式计算错误，不符合题意；
D. ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
6．(2025·宁夏银川市·三模)实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键．
先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可．
【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得，
∴，
∴
．
故答案为：2．
7．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式性质及加减乘除混合运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键．
根据二次根式的性质化简，结合二次根式乘除法运算法则计算后，再利用二次根式加减运算法则计算，即可解题．
【详解】解：原式
．
8．(2025九·四川省广元市·学业水平监测)先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及知识点：分式的混合运算、完全平方公式、因式分解。解题方法是先对分式约分、通分，将除法转化为乘法后化简，再代入求值；解题关键是正确进行因式分解与分式运算，易错点是通分或符号处理错误。先分解分子分母的因式，通分计算括号内的减法，再将除法转乘法化简，最后代入的值计算．
【详解】解：
，
代入，
原式．
B 强化提升练
9．(2025·甘肃省定西市·模拟)观察下列计算：
，
，
，
……
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．(2025·江苏省宿迁市·二模)通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）．
（构造图形），
（三角形任意两边之和大于第三边）．
，，（勾股定理），．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键．
（1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解；
（2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解；
（3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想．
故答案为：D；
（2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段．
∵两点之间，线段最短，
∴．
∵，，
，，
∴．
∴；
（3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，
∴，
，
．
又∵是A关于的对称点，
∴．
又根据两点之间线段最短，，
∴．
∴．
∴当P在F时，取最小值为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴当时，取最小值为．
故答案为：．
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第一章 数与式
1.4 二次根式
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
1．二次根式的相关概念
（1）二次根式：形如的式子叫作二次根式（即一个数的算术平方根叫作二次根式）．
（2）最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数不含________；
②被开方数中不含________的因数或因式．
2．二次根式的性质：
（1）具有________，一是，二是．
（2） ．
（3）．
（4） ．
（5） ．
3．二次根式的运算
（1）加减法运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是________．
（2）二次根式的乘法法则：．
（3）二次根式的除法法则：．
（4）运算顺序：先算乘方，再算________，最后算________，如果有________，就先算________里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
注意：运算结果中的二次根式，一般都要化成________或整式．
4．方法技巧
（1）记清公式，如．
（2）在运用分母有理化法计算时要考虑分母的有理化因式不能为0．
（3）性质公式逆用：如性质．
逆用：；；．
从而使根式的分子分母出现“公因式”，便于约分。
（4）善于挖掘隐含条件，会用二次根式被开方数非负这一性质。
■考点一 二次根式有意义的条件
◇典例1：(2025·四川省绵阳市·中考)若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．(2025·宁夏银川市第十八中学·三模)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
2．(2025·黑龙江·一模)若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ．
■考点二 二次根式的性质及化简
◇典例2：(2025·广西·一模)化简： ．
◆变式训练
1．(2025·江西吉安·二模)若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ．
■考点三 最简二次根式
◇典例3：(2025·云南省丽江·三模)下列二次根式：，是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．(2025·宁夏银川市阅海第二中学·模拟)最简二次根式能与进行合并，则 ．
■考点四 二次根式的运算
◇典例4：(2025·安徽·押题)下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．(2025·南京·中考)计算的结果是 ．
2．(2025·甘肃·模拟)计算下列各题：
(1)；
(2)．
■考点五 二次根式的化简求值
◇典例5：(2025·黑龙江省大庆市·三模)先化简，再求值：，其中．
◆变式训练
1．(2025·云南省楚雄彝族自治州禄丰市·一模)若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．(2025·甘肃省定西市·模拟)化简求值：，其中，
■考点六 二次根式的应用
◇典例6：(2025·河北省邯郸市·四模)已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．(2025·吉林省长春市·三模)如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是 ．
2．(2025·河北省邯郸市广平县·三模)现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
A 基础达标练
1．(2026·江苏省徐州市·模拟)如果有意义，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．(2025·山东省东营市·中考)下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．(2025·湖南·三模)估计的值应在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
4．(24-25九下·广东韶关浈江区行之实验学校·二模)若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．(2025·陕西省西安市·模拟)下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．(2025·宁夏银川市·三模)实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．
7．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)计算：．
8．(2025九·四川省广元市·学业水平监测)先化简，再求值：，其中．
B 强化提升练
9．(2025·甘肃省定西市·模拟)观察下列计算：
，
，
，
……
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ．
10．(2025·江苏省宿迁市·二模)通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）．
（构造图形），
（三角形任意两边之和大于第三边）．
，，（勾股定理），．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
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