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小结与复习
第一章 三角形的证明
一、三角形内角和与外角
1. 三角形的内角和定理与外角的性质
(1) 三角形的内角和等于______；
(2) 三角形的一个外角____和它不相邻的两个内角的和；
180°
等于
大于
(3) 三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.
2.多边形的内角和与外角和
多边形的内角和等于 (n - 2)×180°
多边形的外角和等于 360°
正多边形每个内角的度数是
正多边形每个外角的度数是
(4) _____________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.
顶角平分线
(3) 两个_______相等，简称“等边对等角”；
底角
(2) 轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴；
二、等腰三角形的性质及判定
1. 性质
(1) 两腰相等；
2. 判定
(1) 有两边相等的三角形是等腰三角形；
(2) 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 (简写成“____________”).
等角对等边
三、等边三角形的性质及判定
1. 性质
(1) 等边三角形的三边都相等；
(2) 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角
都等于______；
(3) 是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线；
(4) 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高
互相重合，简称“三线合一”.
60°
2. 判定
(1) 三条边都相等的三角形是等边三角形；
(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3) 有一个角是 60° 的____________是等边三角形.
等腰三角形
(5) 在直角三角形中，30° 的角所对的直角边等于斜边
的一半.
直角三角形的性质定理1
直角三角形的两个锐角______.
互余
直角三角形的判定定理1
有两个角______的三角形是直角三角形.
互余
四、直角三角形
勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，
.
勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a，b (且a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝________；当 a 是斜边时，第三边 c＝________.
五、勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的　 .
即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　.
平方
a2 ＋b2 ＝ c2
[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．
六、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2 ＋b2 ＝ ，那么这个三角形是直角三角形．
c2
利用此定理判定直角三角形的一般步骤：
(1) 确定最大边；
(2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ；
(3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若
相等，则说明这个三角形是　 　三角形．
平方和
直角
到目前为止判定直角三角形的方法有：
(1) 说明三角形中有一个角是　 ，或者有两个角______；
(2) 说明三角形中有两边互相　 ；
(3) 用勾股定理的逆定理．
直角
垂直
[注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出 a2 ＋ b2 ＝ c2 之类的错误．
互余
1. 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的　 　 ，而第一个命题的结论是第二个命题的　 　，那么这两个命题叫做互逆命题．
2. 逆命题
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成
　 　，并将结论改成　 　，便可以得到原命题的逆命题．
结论
条件
结论
条件
七、逆命题和互逆命题
3. 逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 　定理．
[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．
逆
1. 线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
2. 逆定理：
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
八、线段的垂直平分线
3. 常见的基本作图
(1) 过已知点作已知直线的　 　；
(2) 作已知线段的垂直　 　线．
垂线
平分
4. 三角形的三边的垂直平分线的性质：
三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.
1. 性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
2. 判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3. 三角形的三条内角平分线的性质：
三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的
距离相等.
九、角平分线的性质与判定
例1 如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠BAC = 63°，求∠DAC 的度数．
解：设∠1 =∠2 = x，则∠4 =∠3 = 2x.
∵∠BAC = 63°，
∴∠2 +∠4 = 117°，即 x + 2x = 117°.
∴ x = 39°.
∴∠3 = ∠4 = 78°，
∠DAC = 180° - ∠3 - ∠4 = 24°.
考点一 多边形的内角和与外角和
【练一练】1.∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
(1) ∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2) ∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4.
解：(1)∵∠C＝54° ，∴∠A＋∠B＝180°－54°＝126° ①.
∵∠A－∠B＝16° ②，由 ①② 解得∠A＝71°，∠B＝55°.
(2) 设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x，
则 2x + 3x + 4x = 180° ，
解得 x＝20°.
∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°.
例2 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.
解： 设此多边形的每个外角的度数为 x，则每个相邻内角的度数为 4x.
则有 x + 4x = 180°，解得 x = 36°.
∴ 这个多边形的边数为 360°÷36° = 10.
考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
例3 如图所示，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC 于 D. 求证：∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，来获取角的数量关系.
证明：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，
则
∵ AB = AC， ∴ AE⊥BC.
∴∠2 +∠ACB = 90°.
∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠ACB = 90°.
∴∠2 =∠DBC.
∴∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是 30° 的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段.
方法总结
例4 在 △ABC 中，已知 BD 是高，∠B ＝ 90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，且 a ＝ 3，b ＝ 4，求 BD 的长．
解：∵∠B＝90°，∴ b 是斜边.
则在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得
又∵S△ABC＝ b BD ＝ ac，
考点二 勾股定理
例5 已知在 △ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，a ＝ n2 －1，b ＝ 2n，c ＝ n2 ＋1 (n＞1)，判断△ABC 是否为直角三角形．
解：由于 a2 ＋ b2 ＝ (n2－1)2 ＋ (2n)2 ＝ n4＋2n2＋1，
c2 ＝ (n2＋1)2 ＝ n4 ＋2n2＋1，
从而 a2 ＋b2 ＝ c2，
故可以判定 △ABC 是直角三角形．
考点三 勾股定理的逆定理
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：① 先判断哪条边最大；
② 分别用代数方法计算出 a2 ＋ b2 和 c2 的值( c 边最大)；③ 判断 a2 ＋ b2 和 c2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
方法总结
例6 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假：(1) 如果 a＝0，那么 ab＝0；
(2) 如果点 P 到线段 AB 两端点的距离相等，那么 P在线段 AB 的垂直平分线上．
解：(1) 原命题是真命题．
其逆命题是：如果 ab＝0，那么 a＝0. 逆命题为假命题.
(2) 原命题是真命题．
其逆命题是：如果 P 在线段 AB 的垂直平分线上，那么点 P 到线段 AB 点的距离相等. 逆命题是真命题.
考点四 命题与逆命题
解：∵ AD 是 BC 的垂直平分线，
∴ AB = AC，BD = CD.
∵ 点 C 在 AE 的垂直平分线上，
∴ AC = CE. ∴ AB = AC = CE.
∴ AB + BD = CE + CD = DE.
例7 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
考点五 线段的垂直平分线
例8 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E， F.
求证：EB = FC.
A
B
C
D
E
F
【分析】先利用角平分线的性质定理得到 DE = DF，再利用“HL”证明 Rt△BDE≌Rt△CDF.
考点六 角平分线的性质与判定
证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线，
DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
DE = DF，
BD = CD，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
∴ EB = FC.
A
B
C
D
E
F
考点七 本章的数学思想与解题方法
例7 等腰三角形的周长为 20 cm，其中两边的差为 8 cm，求这个等腰三角形各边的长.
【分析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.
解：若腰比底边长，设腰长为 x cm,则底边长为(x -8)cm，
由题意得 2x + x - 8 = 20，解得 x = ， ∴ x - 8 = ；
若腰比底边短，设腰长为 y cm，则底边长为 (y+8) cm,
由题意得 2y + y + 8 = 20，解得 y = 4，∴ y + 8 = 12，
但 4 + 4 = 8 < 12，不符合题意.
故此等腰三角形的三边长分别为
分类讨论思想
例9 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC＝
6 cm，BC＝8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕是 DE，求 CD 的长．
【分析】 欲求的线段 CD 在Rt△ACD 中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解．
方程思想
解：由折叠知：DA ＝ DB，△ACD 为直角三角形．
在 Rt△ACD 中，AC 2 ＋CD 2 ＝ AD 2 ①，
设CD ＝ x cm，则 AD ＝ BD ＝ ( 8－x ) cm，
代入①式，得 6 2＋x 2 ＝ (8－x) 2，
化简，得 36 ＝ 64－16x，
所以 x ＝ ＝1.75，
即 CD 的长为 1.75 cm.
三角形的证明
等腰三角形
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
等边三角形的性质
等边三角形的判定
直角三角形
直角三角形的性质
直角三角形全等的判定方法(HL)
直角三角形的判定
等边三角形
三角形的证明
等腰三角形
勾股定理
直角三角形
等边三角形
勾股定理的逆定理
垂直平分线的性质
角平分线的性质

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