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1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明
第3课时 多边形的内角和
问题1 上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗 与同伴交流，
1
多边形的内角和
问题2 小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和，你知道他们是怎样做的吗
五边形的内角和
＝3个三角形内角和之和
＝180°×3＝540°.
五边形的内角和
＝5个三角形内角和之和－周角
＝180°×5－360°＝540°.
你还有其他方法吗？
按照 问题2 的方法一，六边形能分成多少个三角形 n 边形呢 你能确定 n 边形的内角和吗
想一想
4个
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
···
0
n - 3
1
2
3
1
2
3
4
n - 2
(n - 2)×180°
1×180°=180°
2×180°=360°
3×180°=540°
4×180°=720°
···
···
······
···
由特殊到一般
定理 n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°
( n 是大于或等于 3 的自然数).
总结归纳
按照 问题2 的方法二再试一试？
多边形的内角和公式
例4 在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°，那么 ∠B 与 ∠D 有什么关系？
B
A
D
C
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
典例精析
解：∵∠A +∠B +∠C +∠D
= (4 - 2)×180° = 360°，
∴∠B +∠D
= 360°－(∠A +∠C) = 180°.
想一想：正 n 边形的一个内角是 度.
想一想
正三角形 (等边三角形) 、正四边形 (正方形) 、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度
60°
108°
90°
120°
135°
【练一练】 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为 n，则
(n－2) ·180＝360＋720，
解得 n＝8.
∵ 这个多边形的每个内角都相等，
(8－2)×180°＝1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8＝135°.
议一议
剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流.
540°
360°
180°
多边形的内角和
内角和计算公式
(n - 2) ×180°(n≥3的整数)
正多
边形
内角=
1. 判断对错：
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )
2. 一个正多边形的内角和为 720°，则这个正多边形的每一个内角等于_____．
120°
3. 一个多边形的内角和为 1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵ 1800÷180 ＝ 10，
∴ 原多边形边数为10＋2 ＝ 12.
∵ 一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，
即新多边形的边数可能是 11，12，13，
∴ 新多边形的内角和可能是 1620°，1800°，1980°.

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