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1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明
第4课时 多边形的外角和
如图 ，小刚沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角 在图上标出这些角.
1
多边形的外角和
跑步方向改变的角分别是 ∠1 、∠2 、∠3 、∠4、 ∠5.
(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个 它们的和是多少
小刚是这样思考的，
∵∠1 +∠EAB = 180°，
∠2 +∠ABC = 180°，
∠3 +∠BCD = 180°，
∠4 +∠CDE = 180°，
∠5 +∠DEA = 180°，
∴∠1 + ∠EAB + ∠2 + ∠ABC + ∠3 +∠BCD
+ ∠4 + ∠CDE + ∠5 + ∠DEA = 900°.
∵五边形的内角和为 (5 - 2)×180° = 540°.
∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5
= 900° - 540° = 360°.
即 ∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE +∠DEA = 540°，
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
归纳总结
多边形的外角与外角和
想一想
如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样
6×180°－ (6－2)×180° = 360°
8×180°－(8－2)×180° = 360°
定理 多边形的外角和都等于 360° .
问题：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个
内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
典例精析
例5 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？
解：设这个多边形是 n 边形，则它的内角和等于 (n - 2) · 180° ，外角和等于 360°.
根据题意，得 (n - 2)·180 = 3× 360°，
解得 n = 8.
所以，这个多边形是八边形.
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是 x°，外角是 y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是 360°，
则该正多边形的边数为 360÷120 = 3.
故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是 3.
多边形的外角和
外角和
多边形的外角和等于 360°.
特别注意：与边数无关.
正多
边形
外角=
1. 一个正多边形的内角和为 720°，则这个正多边形的每一个内角等于_____．
120°
2. 一个多边形的内角和为 1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵ 1800÷180 ＝ 10，
∴ 原多边形边数为10＋2 ＝ 12.
∵ 一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，
即新多边形的边数可能是 11，12，13，
∴ 新多边形的内角和可能是 1620°，1800°，1980°.

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