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1.5 角平分线
第一章 三角形的证明
第2课时 三角形三条内角的平分线
问题：角平分线的性质和判定是什么？
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
三角形的内角平分线
1
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
例2 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DE = CD = 4 cm ( 角平分线上的点到
这个角的两边的距离相等 )。
∵ AC=BC，∴∠B=∠BAC(等边对等角).
∵∠C = 90°，
∴∠B = ×90° = 45°.
在等腰Rt△BDE 中，
∴ BE = DE ( 等角对等边 )。
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
【练一练】 1. 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线.
证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°.
在 △BDF 和 △CDE 中，
∠BFD = ∠CED，
∠BDF = ∠CDE，
BD = CD，
∴△BDF≌△CDE (AAS).
∴ DF = DE.
又 DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD 是∠BAC 的平分线.
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形三个角的平分线相交于一点.
怎样证明这个结论呢
试一试
例 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P.
求证：∠A 的平分线经过点 P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
分析：要证明∠A 的平分线经过点 P，需要什么条件？已知的两条角平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？
∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即∠A 的平分线经过点 P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：如图，过点 P 分别作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D，E，F.
∵BM 是 △ABC 的角平分线，
∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
归纳总结
【练一练】 2. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
D. △ABC 三条高所在直线的交点
C
三角形内角
平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
应用：位置的选择问题
1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( )
A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点
B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点
C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点
D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点
B
2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB，
∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = cm.
C
A
B
E
D
6
3. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF.
求证：CF = EB.
证明：∵ AD 平分∠CAB，
DE⊥AB，∠C = 90° (已知)，
∴CD＝DE (角平分线的性质).
在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，
　　 CD = ED (已证)，
DF = DB (已知)，
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
∴ CF = EB (全等三角形的对应边相等).
C
F
A
E
D
B
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
4. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.

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