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第二十章 勾股定理
八下数学 RJ
第2课时
20.1 勾股定理及其应用
会用勾股定理进行简单的计算.
利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是将实际问题抽象成数学模型，构造直角三角形，再利用勾股定理进行求解.
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3m、宽 2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线 AC 的长度是木板斜着能通过的最大长度.求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3m、宽 2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：连接 AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC = AB + BC = 1 + 2 = 5，
AC = ≈ 2.24.
因为AC大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过.
例2 如图，一架长为 2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7m.如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗？
解：当梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动到点 D，顶端由点 A 下滑到点 C.可以看出，AC = OA - OC.
在 Rt△AOB 中，根据勾股定理，
OA = AB - OB = 2.5 - 0.7 = 5.76，
OA = 2.4.
例2 如图，一架长为 2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7m.如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗？
在 Rt△COD 中，根据勾股定理，
OC = CD - OD = 2.5 - (0.7 + 0.8) = 4，
OC = 2.
所以，AC = OA - OC = 2.4 - 2 = 0.4.
因此，当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，而是下滑 0.4 m.
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
一画：根据题意，画出相应图形；
二转：将问题和条件转化到直角三角形中；
三算：在直角三角形中利用勾股定理构建方程，进行计算.
勾股定理应用的常见类型：
(1)已知直角三角形的任意两边长求第三边长；
(2)已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长；
(3)证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；
(4)求解几何体表面上的最短路程问题；
(5)构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题.
跟踪训练 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后他又将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子拉直后末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）.
解：如图，记旗杆顶端为点A，旗杆底端为点D，绳子末端为点C，过点C作CB⊥AD于点B.
设旗杆的高度为x m，则AC=AD=x m,
AB=(x-2) m，BC=8 m.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,
即(x-2)2+82=x2，解得x=17.
答：旗杆的高度为17 m.
跟踪训练 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°, AB=3, BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上的点B'处，AE为折痕，则EB′=____.
解析：在 Rt△ABC 中，AC = = 5.
由折叠的性质，得 AB' = AB，B'E = BE，
∠AB'E = ∠B = 90°.
∴ B'C = 5-3 = 2.
设 B'E = BE = x，则 CE = 4 - x.
在 Rt△B'CE 中，CE = B'E + B'C ，
∴ (4 - x) = x + 2 ，解得 x = .
也可用面积法求解：
∵S△AEC = CE·AB = AC·EB，
∴ (4 - x) × 3 = 5x，
解得 x = .
折叠问题的求解技巧
(1)掌握折叠的本质：轴对称.由折叠前后的两个图形全等，得到对应边相等，对应角相等.
(2)折痕所在射线常作为角平分线使用.
(3)折叠后形成的新直角三角形的三边关系是利用勾股定理构建方程的关键.
1.《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题，大意是：如图，一根竹子原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子从点B处折断，其竹梢C恰好抵地，抵地处离竹子底部的水平距离AC=2尺，已知AC⊥AB，问折断处离地面的高度AB是______尺．
4.8
解析：由题意，知AB+BC=10尺，则BC=10-AB.
∵AC⊥AB，AC=2尺，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC2=AB2+AC2，
即（10-AB）2=AB2+4，
解得AB=4.8.
2.如图，A,B是池塘边上的两点，C是与BA方向成直角的方向上一点，测得BC=60m，AC=20m. 求A，B两点间的距离(结果取整数).
解：由勾股定理，得
AB =
=
= 40
≈ 57 (m).
故 A，B 两点间的距离约为 57 m.
A B
C
3. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度： 位于地面上点A处的仪器先射向楼底端B，显示AB = 23.1m； 再射向楼顶端C，显示AC = 31.9m； 最后显示楼高BC = 22m. 你能说出其中的数学道理吗？
能.道理如下：
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
BC = AC - AB = 31.9 - 23.1 = 484.
所以 BC = 22 m.
4. 电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度,通常以英寸
（ 1英寸=2.54 cm）为单位.王芳测得自家电视机屏幕宽为71 cm,高为40 cm, 这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数）？
解：≈ 81.49，
81.49 ÷ 2.54 ≈ 32.
答：这台电视机的屏幕尺寸约是 32 英寸.
勾股定理的实际应用
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
一画：根据题意，画出相应图形.
二转：将问题和条件转化到直角三角形中.
三算：在直角三角形中利用勾股定理构建方程,进行计算.

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