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第二十章 勾股定理
八下数学 RJ
第3课时
20.1 勾股定理及其应用
能构造直角三角形，会运用勾股定理在数轴上确定无理数对应的点，感悟数形结合思想，发展几何直观.
问题1 如果要证明两个直角三角形全等，可以用哪些方法？
一般三角形均可用 SSS，SAS，ASA，AAS，
还有一个是只有直角三角形可用的HL.
问题2 你还记得我们是怎么得出HL这个判定方法的吗？
我们是用尺规作图的方法，确定了一条直角边， 一条斜边的长度，画出唯一确定的直角三角形.
思考 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，
∠C = ∠C′= 90°，AB = A′B′，AC = A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，
∠C = ∠C′= 90°，
根据勾股定理，
BC = ????????2??????????2，B′C′= ????′????′2??????′????′2.
又 AB = A′B′，AC = A′C′，
∴ BC = B′C′，
∴ △ABC≌△A′B′C′ (SSS).
?
A
B C
A′
B′ C′
同学们，之前的学习我们就知道“实数都可以用数轴上的点表示”，但你有没有想过 —— 像2、13这种无理数，怎么在数轴上表示呢？
?
问题 你能在数轴上画出表示 2 的点吗？
?
1
1
2
?
2
?
探究 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，
你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
?
斜边=22+32=13.
?
构造斜边为13的直角三角形.
?
3
2
13
?
探究 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，
你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
?
13
?
如图，O为数轴原点，首先在数轴上找出表示3的点A,则OA=3.然后过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=2.最后以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示13的点.
?
B
O
A
l
C
类似地，利用勾股定理，可以画出长为2，3，5，…的线段（如图）.
?
如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长2，即1? + 1? = (2)?；当两条直角边长分别为 1，2时，斜边长为 3，即 1? + (2)? = (3)?；?以此类推，可以画出长为4，5，6， ? 的线段.
?
按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示1，2，3，4，5，…的点（如图）.
?
如图，构造两条直角边长都是1的直角三角形，用勾股定理得到斜边的长为2，再用圆规截取的方法画出2在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为2，1的直角三角形，用勾股定理得到斜边的长为3，再用圆规截取的方法画出3在数轴上的对应点…以此规律可以在数轴上表示出4，5，6，?.
?
例 在数轴上画出表示 10的点.
?
解：∵ 1? + 3? = 10，
∴ 直角边长分别为 1，3 的直角三角形的
斜边长为?10.
如图所示.
(1) 画出数轴，在数轴上找出表示 3 的点A，则OA = 3；
(2) 过点A作直线 l 垂直于数轴，在l上取点B，使AB = 1；
(3) 连接OB，以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点C，点C即为表示10的点.
?
在数轴上画表示无理数的点的步骤
一拆分：把无理数的平方拆分为两个整数的平方和.
二构造：以原点为直角三角形的锐角顶点且其中一条直角边与数轴重合，构造直角三角形.
三画弧：以原点为圆心，斜边长为半径画弧.
跟踪训练 如图，在△ABC中，∠ACB =90°，BC =2，AC = 1，BC在数轴上，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A.2- 5 B.5 C.5?2? D.2?3
?
A
1.在数轴上画出表示17的点.
?
解：如图所示.
2.如图，等边三角形ABC的边长为6，求：
(1)高AD；(2)等边三角形ABC的面积.
A
B D C
解：(1) 在Rt△ADC 中，根据勾股定理，
AD? = AC? - CD? = AC? - (12 BC)?.
∵ AC = 6，BC = 6，
∴ AD? = 6? - (12 × 6)? = 27，
∴ AD = 33.
(2) S△ABC = 12 BC·AD = 12 × 6 × 33= 93.
?
3. 如图，AD是△ABC的边BC上的高. 分别以线段AB，AC，BD，CD为边向外作正方形，正方形的面积分别为S?，S?，S?，S?.请写出关于 S?，S?，S?，S? 的等式.
解：在Rt△ACD 中，根据勾股定理，
AD? = AC? - CD? = S? - S?.
在Rt△ABD 中，根据勾股定理，
AD? = AB? - BD? = S? - S?.
所以 S? - S? = S? - S?.
解：∵AB=AD=8 cm，∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形.∴DB=8 cm.
∵∠ADC=150°,
∴∠CDB=150°-60°=90°，
∴△BCD是直角三角形.
又∵四边形ABCD的周长为32 cm，
∴CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16 (cm).
4. 如图，在四边形ABCD中 , AB=AD=8cm ,∠A=60°,∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32 cm，求△BCD的面积．
A
B
C
D
4. 如图，在四边形ABCD中 , AB=AD=8cm ,∠A=60°,∠ADC=150°，
已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．
设CD=x cm，则BC=(16-x)cm，
由勾股定理得82+x2=(16-x)2，
解得x=6.
∴S△BCD=12×6×8=24(cm2).
?
A
B
C
D
勾股定理的应用
用勾股定理验证直角三角形(HL)判定的证明
运用勾股定理在数轴上画出表示实数???? (n为大于1的整数) 的点

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