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第二十章 勾股定理
八下数学 RJ
第1课时
20.1 勾股定理及其应用
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
2.会用勾股定理进行简单的计算.
直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
3
5
4
商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分刚为9，16，25，且9+16=25. 从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
探究 如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
探究 如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
1
4
5
SA +SB =SC
S正方形-4×S直角三角形
=3×3-4××1×2=5.
探究 如图 ，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A ，B ，C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
4
9
13
SA +SB =SC
S正方形-4×S直角三角形
=5×5-4××2×3=13.
探究 如图 ，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
9
25
34
SA +SB =SC
S正方形-4×S直角三角形
=8×8-4××3×5=34.
探究 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
SA4=_________,SB4=_________,SC4=________,
面积之间的关系：
______________________________.
4
16
20
SA4+SB4=SC4
S正方形-4×S直角三角形
=6×6-4××2×4=20.
A4
B4
C4
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想（如图）：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2.
符号语言 ：
如图，在Rt△ABC中， ∠C = 90°，
∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，
则 a2+b2=c2.
a
b
c
例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理
= 100，
所以AB = 10.
例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解： (2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，，
从而，
所以DE = 8.
跟踪训练 在 Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C 的对边长分别为 a,b,c.
(1) 若 ∠C = 90°,a = 5,b = 12,求 c；
(2) 若 ∠C = 90°,a:b = 1:2,c = 5,求 b；
解：(1) ∵ ∠C = 90°，∴ c 为斜边长.
∴ 由勾股定理，得 c = = = 13.
(2) ∵ ∠C = 90°，∴ c 为斜边长.
∵ a:b = 1:2，∴ b = 2a.
∴ 由勾股定理，得 a + (2a) = 5 ，解得 a = （a = -舍去）.
∴ b = 2.
跟踪训练 在 Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C 的对边长分别为 a,b,c.
(3) 若 ∠C = 90°，∠A = 45°，c = 10，求 a 和 b；
解： (3) ∵ ∠C = 90°，∴ c 为斜边长.
∵ ∠A = 45°，∴ ∠B = 45°，∴ a = b.
由勾股定理，得 a + a = 10 ，解得a = 5（a = -5舍去）.
∴ b = a = 5.
跟踪训练 在 Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C 的对边长分别为 a,b,c.
(4) 若 a = 6，b = 8，求 c.
解：(4) 当 c 是斜边长时，由勾股定理，得
c = = = 10；
当 c 是直角边长时，由勾股定理，得
c === 2.
综上，c 为10 或 2.
未指明哪个角为直角，需分类讨论
思考 你会证明勾股定理吗？
证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约 3 世纪）的证法.
如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”. 赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
黄实
朱实
朱实
朱实
朱实
B
a
A
c
b
(1)
(2)
a
b
c
(3)
赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下：
如图 (1)，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a. 这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）.
a
(1)
(2)
a
b
c
(3)
把图 (1) 中左、右两个三角形移到图 (2) 中所示的位置，就会形成一个以 c 为边长的正方形（图 (3)），它的面积是.
因为图 (1) 与图 (3) 都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等，即a
a
在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
由图(1)得大正方形的面积 = c + 4 ×ab，
由图(2)得大正方形的面积 = a + b + 4 × ab，
联立两式易得 a + b = c .
刘徽 “青朱出入图”.
设大正方形的面积为S，则 S = c .
根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得
S = a + b ，所以 a + b = c .
加菲尔德总统拼图.
设梯形的面积为 S，则
S = (a + b)(a + b) = a + b + ab.
因为 S = ab + ab + c = c + ab，
所以 a + b = c .
跟踪训练 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.
如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ADE与Rt△AGE全等，Rt△BFE与Rt△BGE全等，BC=a，AC=b，AB=c，在正方形DEFC中，DE=EF=CF=CD=x.
例2 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ADE与Rt△AGE全等，Rt△BFE与Rt△BGE全等，BC=a，AC=b，AB=c，在正方形DEFC中，DE=EF=CF=CD=x.
小明发现了一种求正方形DEFC边长的方法：
由题意可得BF=BG=a-x，AD=AG=b-x.
∴ AB=BG+AG，
∴ a-x + b-x = c，
解得 x = .
(1) 小亮也发现了一种求正方形 DEFC 边长的方法：连接 CE，利用S△ABC= S△AEB+ S△AEC+ S△BEC可以得到x与a,b,c的关系.请根据小亮的思路完成他的求解过程.
解：（1）如图 ，连接 EC. 由题意可得，ED = EG = EF = x，
∴ S△AEB = cx，S△AEC = bx，S△BEC = ax.
∴ S△ABC= S△AEB+ S△AEC+ S△BEC，
∴ ab = cx + bx + ax，
∴ (a+b+c) x = ab，
∴ x = .
(2) 请结合小明和小亮得到的结果验证勾股定理.
(2) 由小明和小亮所得结果知，
= ，
∴ (a + b + c)(a + b - c) = 2ab，
∴ (a + b) - c = 2ab，
∴ (a + b) - 2ab = c ，
∴ a + b + 2ab - 2ab = c ，
即 a + b = c .
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知b=15，c=25，求a.
解：(1)由勾股定理,得b=====8.
（2）由勾股定理，得c=====13.
（3）由勾股定理，得a=====20.
2.如图,图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12,求最大正方形E的面积.
解： 设另两个正方形中大的为M，小的为N，
由勾股定理和正方形的面积公式，得
.
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5,0)和B(0,4).
求这两点间的距离.
解： 由题意知，△AOB为直角三角形，
OA = 5 ，OB = 4 .
由勾股定理，得.
故这两点间的距离为.
4. 如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求边BC上的高AD的长.
解：设BD= x ，则CD = 14-x .
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
同理，在Rt△ACD中，
所以，
解得 x = 5.
所以，
即AD = 12.
勾股定理
内容
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2.
证明
赵爽弦图
青朱出入图
加菲尔德总统拼图
利用勾股定理进行计算
应用

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