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第二十章 勾股定理
八下数学 RJ
第2课时
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
能综合运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，发展应用意识.
问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出勾股定理的逆定理与勾股定理的关系吗
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件
结论
关系 在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c，∠C=90°.
在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c，且a2+b2=c2.
a2+b2=c2.
△ABC为直角三角形,且∠C=90°.
1.互为逆定理.
2.勾股定理是直角三角形的性质，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定.
例1 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5h 后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.
1
2
N
E
P
Q
R
例1 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5h 后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
1
2
N
E
P
Q
R
解：根据题意，PQ = 16 × 1.5 = 24，
PR = 12 × 1.5 = 18，QR = 30.
因为 24 + 18 = 30 ，即 PQ + PR = QR ，
所以 ∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°.
因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
跟踪训练 如图，南北向MN为我国领海线，MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.
反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A,B两艇的距离是5海里，反走私艇B离走私艇C12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
分析：要求走私艇C最早何时进入我国领海，
必须首先确定走私艇C进入我国领海的最短航线.
解：设 MN 与 AC 交于点 E，则 ∠BEC = 90°.
∵ AB + BC = 5 + 12 = 13 = AC ，
∴ △ABC 为直角三角形，且 ∠ABC = 90°.
∵ MN⊥CE，
∴ 走私艇C进入我国领海的最短距离是 CE 的长.
∴ S△ABC = AB·BC = AC·BE，
∴ BE = = = (海里)，
E
∴CE =
(海里).
走私艇 C 进入我国领海所需的最短时间为
≈ 0.85 (时) = 51 (分)，
答：走私艇 C 最早进入我国领海的时间大约是 10 时 41 分.
E
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，
DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
A B
C
D
分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断 △ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD.
解：因为 AC ⊥ BC，所以 ∠ACB = 90°.
在 Rt△ABC 中，
AC = AB - BC = 5 - 3 = 16.
所以 AC = 4.
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，
DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
A B
C
D
在 △ACD 中，AC + AD = 4 + () = ，
CD = () = ，
所以 AC + AD = CD .
因此 △ACD 是直角三角形，即 AC ⊥ AD.
跟踪训练 如图，已知AB⊥BC，AB=2，BC= ，CD=5，DA=4，求四边形ABCD的面积.
解：如图，连接AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理，
得AC== =3.
在△ACD中，AC +AD =3 +4 =5 =CD .
由勾股定理的逆定理，得∠CAD=90°.
所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=×2×+×3×4=+6.
1. A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
B A
C
5 km
12 km
13 km
解：设 A，B，C 三地分别对应点
A，B，C，则在 △ABC 中，
∵ BC + BA = 5 + 12 = 169，AC = 169，
∴ BC + BA = AC ，
∴ △CBA 为直角三角形，且 ∠B = 90°.
∴ C 地在 B 地的正北方向.
2. 高师傅有 5 根长度（单位：dm）分别为 a = 6，b = 8，c = 10，
d = 24，e = 26 的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架.
请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.
解：所有可能的钢条组合为 6，8，10 和 10，24，26 两种.
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，∠B = 90°.求四边形 ABCD 的面积.
解：∵ ∠B = 90°，∴ △ABC 是直角三角形.
依据勾股定理，得AC = AB + BC = 3 + 4 = 25 = 5 ，
∴ AC = 5.
在 △ACD 中，AD = 13 = 169，
CD + AC = 12 + 5 = 169，
∴ AD = AC + CD .
∴ △ACD 是直角三角形，且 ∠ACD = 90°.
B C
A
D
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，∠B = 90°.求四边形 ABCD 的面积.
∴ S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD
= AB·BC + AC·CD
= × 3 × 4 + × 5 × 12
= 6 + 30
= 36.
∴ 四边形 ABCD 的面积为 36.
B C
A
D
4.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，
则他应该往回收线多少米？
15
25
1.6

4.（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，
CD2=BC2-BD2=252-152=400，
所以，CD=20（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米.
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4.（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
解：（2）如图，设点M是风筝下降后的位置，连接BM.
由题意得，CM=12，∴DM=8，
∴BM=DM +BD2==17（米），
∴BC-BM=25-17=8（米），
∴他应该往回收线8米．
M
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1.6
勾股定理的
逆定理的应用
应用
解决实际问题
认真审题，画出符合题意的图形，熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题.
结合勾股定理解决面积、线段长、角度等问题.
方法

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