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第二十章 勾股定理
八下数学 RJ
第1课时
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
1.能从勾股定理出发，构建直角三角形，探究勾股定理的逆定理，感悟构建图形证明定理的新方法，增强几何直观，提升推理能力.
2. 掌握勾股定理的逆定理，会用其判断一个三角形是不是直角三角形；
3.了解勾股数，会判断三个数是不是勾股数，并能用勾股数进行简单的计算和证明，发展运算能力.
由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？
图中给出了确定直角的一种方法： 把一根长绳打上等距离的13个结， 然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长， 用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
上述方法意味着： 如果围成三角形的三边长分别为3，4，5， 它们满足关系“ 32 + 42 = 52 ”， 那么围成的三角形是直角三角形.
一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？
观察
画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.5 + 6 = 6.5 ”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
由上面的尝试，我们猜想：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形.
这个猜想就是勾股定理的逆命题.
怎么证明这个猜想呢？
如图 (1)，已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a + b = c . 求证 △ABC 是直角三角形.
分析：直接证明△ABC是直角三角形比较困难.回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形.
A
B
C
c
a
b
(1)
如图 (2)，作一个Rt△A'B'C'，使 B'C' = a，A'C' = b，∠C' = 90°.
根据勾股定理，A'B' = B'C' + A'C' = a + b .
因为 a + b = c ，所以 A'B' = c.
在 △ABC 和 △A'B'C' 中，
BC = a = B'C'，
AC = b = A'C'，
AB = c = A'B'，
∴ △ABC ≌△A'B'C' (SSS).
∴ ∠C = ∠C' = 90°，
即 △ABC 是直角三角形.
A
B
C
c
a
b
(1)
C′
B′
A′
a
b
c
(2)
这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.这个定理叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形.
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a = 8，b = 15，c = 17；
(2) a = 14，b = 13，c = 15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a = 8，b = 15，c = 17；
(2) a = 14，b = 13，c = 15.
解：(1) 因为 8 + 15 = 64 + 225 = 289，
17 = 289，
所以 8 + 15 = 17 .
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形.
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a = 8，b = 15，c = 17；
(2) a = 14，b = 13，c = 15.
解：(2) 因为 14 + 13 = 196 + 169 = 365，
15 = 225，
所以 14 + 13 ≠ 15 .
根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形.
对于(2)，如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a + b = c .事实上，上式不成立.因此，这个三角形不是直角三角形.
跟踪训练 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是，请指出哪个角是直角.
(1) 在 △ABC 中，AB = 15，BC = 20，AC = 25；
解：(1) ∵ AB + BC = 15 + 20 = 625，AC = 25 = 625，
∴ AB + BC = AC ，
∴ 这个三角形是直角三角形，∠B 是直角.
跟踪训练 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是，请指出哪个角是直角.
(2) 在 △ABC 中，AB = 14，BC = 2，AC = 15；
解： (2) ∵ AB + BC = 14 + 2 = 200，AC = 15 = 225，
∴ AB + BC ≠ AC ，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
跟踪训练 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是，请指出哪个角是直角.
(3) 在 △ABC 中，a = m -n ，b = 2mn，c = m + n (m > n > 0).
解：(3) 在△ABC 中，∵ a +b = (m -n ) + (2mn) = m4+2m n +n4，
c = (m + n ) = m4 + 2m n + n4，
∴ a + b = c ，
∴ 这个三角形是直角三角形，∠C 是直角.
是一组勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在 a + b = c 中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.
9，40，41
92+402=1 681
412=1 681
92+402= 412
两个较小数的平方和等于最大数的平方.
例2 给出下列数组：
① 5, 13, 12；② 2, 3, 4；③ 2.5, 6, 6.5；④ 3 , 4 , 5 .
其中勾股数的组数是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解析： ① ∵ 5 + 12 = 13 ，且 5，12，13 均是正整数，
∴ 5，12，13 是一组勾股数.
② ∵ 2 + 3 ≠ 4 ，∴ 2，3，4 不是一组勾股数.
∵ 2.5，6，6.5 不都是正整数，∴ 2.5，6，6.5 不是一组勾股数.
∵ 3 = 9，4 = 16，5 = 25，9 + 16 ≠ 25 ，
∴ 3 ，4 ，5 不是一组勾股数.
D
勾股数的特征
(1)常见的勾股数有：
①3，4，5；②5，12，13；③6，8，10；④8，15，17；
⑤7，24，25；⑥9，12，15.
(2)勾股数有无数组.
(3)一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck (k为正整数)也是一组勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是勾股数.
1. 下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
2.已知 a，b，c 是△ABC三边的长，且满足关系式
0，则△ABC的形状是_______________．
等腰直角三角形
解析：∵0，
∴c-a=0，c2+a2-b2=0，
解得a=c，c2+a2=b2，
∴△ABC的形状是等腰直角三角形.
3. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a = 4，b = 5，c = 6； (2) a = 2.5，b = 0.7，c = 2.4；
解： (1) ∵ 4 + 5 = 16 + 25 =41，6 = 36，
∴ 4 + 5 ≠ 6 .
根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形.
(2) ∵ 0.7 + 2.4 = 0.49 + 5.76 = 6.25，2.5 = 6.25，
∴ 0.7 + 2.4 = 2.5 .
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形.
3. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(3) a = ，b = ，c = ； (4) a = 1，b = ，c = .
(3) ∵ () + () = + = ，() = ，
∴ () + () ≠ () .
根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形.
(4) ∵ 1 + () = 1 + 2 = 3，() = 3，∴ 1 + () = () .
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形.
4. 如图，以 △ABC 的三边为直径，分别画三个半圆，三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3.若 S1 + S2 = S3，判断 △ABC 是不是直角三角形，并说明理由.
解：△ABC是直角三角形.理由如下：
S1 = π () = πAB ，S2 = π () = πBC ，
S3 = π () = πAC .
∵ S1 + S2 = S3 ，∴ πAB + πBC = πAC ，
∴ AB + BC = AC .
根据勾股定理的逆定理，判断△ABC是直角三角形.
勾股定理
的逆定理
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形
内容
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在 a + b = c 中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

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