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八下数学 BSD
第二章 不等式与不等式组
章末小结
方程(组)的研究思路
不等式与不等式组
不等式
一元一次不等式
一元一次不等式组
类比
转化
特例
一、不等式
定义：一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫作不等式.
不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解.
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
解不等式：求不等式解集的过程叫作解不等式.
一、不等式
基本事实：对称性：如果a>b，那么b 传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.
基本性质1：如果a>b，那么a±c>b±c.
基本性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc，a÷c>b÷c.
基本性质3：如果a>b，c<0，那么ac不等式的基本性质
1. 下列不等式变形一定正确的是( )
A. 若m>n，则m-2n，则-4m>-4n
C. 若ac2>bc2，则a>b D. 若ac>bc，则a>b
?
C
解析：
2. 如果关于x的不等式(a-1)x>a-1的解集是x<1，那么a的取值范围是( )
A. a≤1 B. a≥1 C. a<1 D. a<0
C
不等式(a-1)x>a-1可变形为x<1
不等式两边除以a-1
不等号的方向改变
a-1<0
a<1
二、一元一次不等式
定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式
二、一元一次不等式
解法：
①去分母
②去括号
③移项
④合并同类项
⑤系数化为1
不要漏乘不含分母的项
不要忘记变号
注意系数的正负，确定不等号方向是否改变
二、一元一次不等式
实际应用：
①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答.
3. 若(m+4)x|m|-3+6>0是关于x的一元一次不等式，则m= .
4
(m+4)x|m|-3+6>0是关于x的一元一次不等式
含有一个未知数
未知数的次数为1
m+4≠0
m=4
|m|-3=1
解析：
解： 去分母，得6+2x>30-3(x-2).
去括号，得6+2x>30-3x+6.
移项，得2x+3x>30+6-6.
合并同类项，得5x>30.
系数化为1，得x>6.
解集在数轴上的表示如图所示.
4. 解不等式1+x3>5-x?22，并把解集表示在数轴上.
?
解析：去分母，得x-m>3(3-m).
去括号，得x-m>9-3m.
移项、合并同类项，得x>9-2m.
∵ 不等式的解集为x>1，
∴ 9-2m=1，解得m=4.
5. 已知关于x的不等式13(x-m)>3-m的解集为x>1，则m的值为 .
?
4
解析：解不等式3x+2≤a，得x≤a?23.
∵ 不等式 3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，
∴ 4≤a?23<5，
解得 14≤a<17.
故整数a的最小值是14.
?
6. 若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 .
14
7. 刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1 200元.
(1) 求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元?
(2) 该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件?
解：(1) 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元.
根据题意得x+2y=700，2x+3y=1 200，
解得x=300，y=200.
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元.
?
7. 刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1 200元.
(1) 求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元?
(2) 该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件?
解：(2) 设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品(200-m)件.
根据题意，得300m+200(200-m)≤50 000，
解得m≤100.
∴ m的最大值为100.
答：最多能购买100件A种湘绣作品.
三、一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数的关系.
利用一次函数的图象可解一元一次不等式，反过来通过解一元一次不等式可确定相应一次函数值的范围对应的自变量的取值范围.
直线y=ax+b在x轴上方(或
下方)时自变量的取值范围.
求ax+b>0(或<0)
(a，b是常数，a≠0)的解集.
三、一元一次不等式与一次函数
利用函数图象求不等式的解集
k1x+b1>a的解集为x>m
k1x+b1k1x+b1>k2x+b2的解集为x>n
k1x+b1O
n
x
y
y=k1x+b1
m
y=a
y=k2x+b2
8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴
的交点为A(-3，0)，与y轴的交点为B，且与正比例函数y=43x的
图象交于点C(m，4).
(1) 求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
(2) 观察函数图象，写出关于x的不等式
43x?
解：(1) ∵ 点C(m，4)在正比例函数y=43x的图象上，
∴ 4=43m，解得m=3，
∴ 点C的坐标为(3，4).
∵ 一次函数y=kx+b的图象经过点A(-3，0)，C(3，4)，
∴ 0=?3k+b4=3k+b，解得k=23b=2.
∴ 一次函数的表达式为y=23x+2.
?
(2) 方法一(图象法) 不等式43x根据图象可知此时x<3，
即不等式43x方法二(代数法)
由(1)可知，直线AC的表达式为y=23x+2，
∴ 43x<23x+2，解得x<3，
∴ 不等式43x?
9. 为落实“双减”政策，丰富课后活动的内容，某学校计划到甲、乙两个体育用品专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下.
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元
的按原价付费，超过300元的部分打7折.
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示.
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折. (1)分别求y甲，y乙关于x的函数表达式.
解：(1) 根据甲商店的优惠活动，得y甲=0.85x.
根据乙商店的优惠活动，得当0≤x≤300时，y乙=x，
当x>300时，y乙=300+(x-300)×0.7=0.7x+90.
∴ y乙=x(0≤x≤300)，0.7x+90(x>300).
?
(2) 两图象交于点A，求点A的坐标.
(2) 由图象可知，y甲=0.85x的图象与y乙=0.7x+90(x>300)的图象相交于点A，
∴ 令0.85x=0.7x+90，解得x=600.
将x=600代入y甲=0.85x，
得y甲=0.85×600=510，
即点A的坐标为(600，510).
(3) 请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.
(3) 由图象可知，当x<600时，y甲故去甲商店购买体育用品更合算；
当x=600时，y甲=y乙，
故去甲、乙商店购买体育用品一样合算；
当x>600时，y甲>y乙，
故去乙商店购买体育用品更合算.
四、一元一次不等式组
定义：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个元一次不等式组
解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集
解不等式组：求不等式组解集的过程叫作解不等式组
四、一元一次不等式组
不等式组解集的确定
解一元一次不等式组的步骤：
(1) 分别求出不等式组中各个不等式的解集；
(2) 求出各个不等式的解集的公共部分；
(3) 写出不等式组的解集.
同大取大，同小取小
大小小大中间找
大大小小无处找
数轴法
口诀法
10. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
解：解不等式①，得x≤4.
解不等式②，得 x＞-1.
∴ 不等式组的解集为-1不等式组的解集在数轴上表示如图所示.
2x+7≥?5(x?1)，?3x>x?52.?
?
①
②
2
4
-1
0
1
3
5
6
7
8
9
11. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
解：解不等式①，得x＞ 83.
解不等式②，得 x≥-1.
∴ 不等式组的解集为x＞ 83，
不等式组的解集在数轴上表示如图所示.
?
6x?5＞3(x+1)，?1?x2≤8+2x3?1.?
?
①
②
2
4
-1
0
1
3
5
6
7
8
9
83
?
12. 解不等式：3≤5?3x2<6.
分析：连写形式的不等式转化为不等式组，分开解，集中找.
解：方法一 原不等式可化为5?3x2≥3??，???????①5?3x2<6??.??????????②
解不等式①，得x≤-13.
解不等式②，得x>-73.
所以原不等式的解集为-73?
对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式，可以按照解一元一次不等式的步骤求解.
若两端部分也含有未知数，则只能用解法一求解.
12. 解不等式：3≤5?3x2<6.
方法二
对于3≤5?3x2<6，
去分母，得6≤5-3x<12.
移项，得6-5≤-3x<12-5.
合并同类项，得1≤-3x<7.
系数化为1，得-73?< x?≤??13.
?
a>-1
13. 若关于x的不等式组x+a≥0，1?2x>x?2有解，则a的取值范围是 .
解析：对于不等式组x+a≥0，?????????①1?2x>x?2.??????②?
解不等式①，得x≥-a.
解不等式②，得x<1.
∵不等式组x+a≥0，1?2x>x?2有解，
∴ -a<1，
∴ a>-1.
?
14. 若关于x的一元一次不等式组x?a>0，2x?3<1有2个负整数解，
则a的取值范围是 .
解析：x?a>0?，????①2x?3<1?.?????②
解不等式①，得x>a.
解不等式②，得x<2.
∵ 不等式组有解，∴不等式组的解集为a∵ 不等式组有2个负整数解，
∴ 这2个负整数解为-2和-1，∴ -3≤a<-2.
?
-3≤a<-2

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