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第3课时 不等式的基本性质
2.1 不等式及其基本性质
第二章 不等式与不等式组
八下数学 BSD
类比等式的基本性质，经历不等式基本性质的探索过程，能运用不等式的基本性质求不等式的解集，发展运算能力，体会类比思想.
问题 根据等式的基本性质可以对方程进行变形，进而求解方程.类似地，为了对不等式进行变形，就需要研究不等式的基本性质.
知识点 不等式的基本性质
与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实.
(1) 交换不等式两边，不等号的方向改变：如果 a>b，那么 bx，可得x<5.
(2) 不等关系可以传递：如果a>b，b>c，那么a>c.
例如，由 y>x，x>-3 ，可得 y>-3.
类比等式的性质，你能猜想不等式有哪些性质吗
知识点 不等式的基本性质
用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律：
① 5＞3 ，5+2 3+2， 5-2 3-2， 5+0 3+0 ；
② -1＜3 ，-1+2 3+2，-1-3 3-3， -1+0 3+0．
＞
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＞
＜
＜
＜
规律：当不等式两边加或减同一个数时，不等号的方向不变．
(1) 如果在不等式的两边都加或都减同一个数，那么不等式还成立吗 如果在不等式的两边都加或都减同一个代数式呢
知识点 不等式的基本性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加(或减)同一个代数式，不等号的方向不变.
符号语言：如果 a>b，那么 a±c>b±c.
知识点 不等式的基本性质
① 6＞2， 6×4 2×4， 6÷2 2÷2；
② -2＜4，-2×2 4×2，-2÷2 4÷2；
③ -4＜-2，-4×2 -2×2，-4÷2 -2÷2.
＞
＞
＜
＜
＜
＜
规律：当不等式两边乘(或除以)同一个正数时，不等号的方向不变.
(2) 如果在不等式的两边都乘同一个不等于0的数，那么不等式还成立吗 用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律：
知识点 不等式的基本性质
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
符号语言：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc， a÷c>b÷c.
知识点 不等式的基本性质
① 6＞2
6×(-4) 2×(-4)， 6÷(-2) 2÷(-2)；
② -2＜4
-2×(-2) 4×(-2)，-2÷(-2) 4÷(-2)；
③ -4＜-2
-4×(-2) -2×(-2)，-4÷(-2) -2÷(-2).
<
<
>
>
>
>
规律：当不等式两边乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变.
知识点 不等式的基本性质
注意：两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；
两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义.
不等式的基本性质3 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
符号语言：如果 a>b，c<0，那么 ac知识点 不等式的基本性质
比较不等式的性质和等式的性质，它们有什么异同
类别 不同点 相同点
不等式
等式 两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变.
两边乘(或除以)同一个负数，等式仍然成立.
(1)两边加(或减)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立；
(2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立.
思考 在前面的学习中，我们猜想，无论绳长l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即.你相信这个结论吗 你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗
相信.
易知>0，根据不等式的基本性质2，不等式两边都除以，
得.
根据不等式的基本性质2，不等式两边都乘16π，得4>π，成立.
知识点 不等式的基本性质
例1 根据不等式的基本性质解不等式，并将解集表示在数轴上：
(1) x-5>-1； (2) -2x≥3.
解：(1) 根据不等式的基本性质1，两边都加5，得
x>-1+5，
即 x>4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：　
知识点 不等式的基本性质
0
1
2
3
4
5
6
-1
例1 根据不等式的基本性质解不等式，并将解集表示在数轴上：
(1) x-5>-1； (2) -2x≥3.
解：(2) 根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得
x≤-，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：　
知识点 不等式的基本性质
-2
-1
0
1
2
3
4
-3
-
1. 已知x>y，下列不等式一定成立吗 为什么
(1) x-6(3) -2x<-2y； (4) 2x+1>2y+1.
解： (1) 不成立，根据不等式的基本性质1，不等式x>y的两边都减6，得x-6>y-6.
(2) 不成立，根据不等式的基本性质2，不等式x>y的两边都乘3，得3x>3y.
1. 已知x>y，下列不等式一定成立吗 为什么
(1) x-6(3) -2x<-2y； (4) 2x+1>2y+1.
(3) 成立，根据不等式的基本性质3，不等式x>y的两边都乘-2，得-2x<2y.
(4) 成立，先根据不等式的基本性质2，不等式x>y的两边都乘2，得2x>2y；再根据不等式的基本性质1，不等式2x>2y的两边都加1，得2x+1>2y+1.
2. 下列不等式变形错误的是 (　　)
A. 若a>b，则1-a<1-b B. 若aC. 若ac>bc，则a>b D. 若m>n，则>
C
若c为负数，除以同一个负数，
不等号方向改变
3. 解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
(1) x-1>2； (2) -x<； (3) x<3.
解：(1) 根据不等式的基本性质1，两边都加1，得x>3.
解集如图所示：
3. 解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
(1) x-1>2； (2) -x<； (3) x<3.
(2) 根据不等式的基本性质3，两边都除以-1，得x>-.
解集如图所示：
3. 解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
(1) x-1>2； (2) -x<； (3) x<3.
(3) 根据不等式的基本性质2，两边都乘2，得x<6.
解集如图所示：
0
1
2
3
4
5
6
-1
4. 已知关于x的不等式(1-a)x>2的两边都除以(1-a)，得x<，
试化简：|a-1|+|a+2|.
解：∵ 不等式的两边都除以(1-a)后不等号的方向发生了改变，
∴ 1-a<0，
∴ a>1，
∴ |a-1|+|a+2|=a-1+a+2=2a+1.
5. 利用不等式的基本性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1) 2； (2) 5x-6≤7x-4.
解：(1) 根据不等式的基本性质1，不等式两边加不等号方向不变，
所以 ，
即 x<2.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：　
2
0
解：(2)根据不等式的基本性质1，不等式两边都减7x，不等号的方
向不变，所以5x-6-7x≤7x-4-7x，即-2x-6≤-4.
根据不等式的基本性质1，不等式两边都加 6，不等号的方向不变，
所以 -2x-6+6≤-4+6，即 -2x≤2.
根据不等式的基本性质3，不等式两边都除以 -2，不等号的方向改
变，所以 ，即 x≥-1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：　
0
-1
不等式的性质
对称性：如果a>b，那么b传递性：如果a>b，b>c，那么a>c
性质1：如果a>b，那么a±c>b±c
性质2：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc(或)
性质3：如果 a>b，c<0，那么 ac基本事实
不等式性质的应用：解不等式

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