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第二章　不等式与不等式组
4 一元一次不等式组
A
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1．
下列不等式组为一元一次不等式组的是(　　)
返回
C
2．
A
返回
3．
下列不等式中，与－x>1组成的不等式组无解的是(　　)
A．x>2
B．x<0
C．x<－2
D．x>－3
4．
返回
B
若2m－1，m，4－m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是(　　)
5．
－2
【点拨】
返回
6．
返回
8对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么x的取值范围是____________.
7．
返回
8．
返回
9．
返回
A
10．
若点N的坐标为(a，2a－1)，则点N一定不在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限　
C．第三象限
D．第四象限
【点拨】
【答案】B
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11．
返回
B
要用20 kg含盐百分率较高的盐水与含盐10%的盐水
10 kg混合，使混合后的盐水的含盐百分率大于15%而小于20%，设20 kg盐水的含盐百分率为x，则x的取值范围为(　　)
A．16%B．17.5%C．19%D．18%12．
【点拨】
【答案】B
返回
13．
－17≤P<－7
【点拨】
返回
14．
4
【点拨】
返回
15．
返回
∵所有整数解的和为14，
∴不等式组的整数解为x＝5，4，3，2
或x＝5，4，3，2，1，0，－1.
∴1≤a－1＜2或－2≤a－1＜－1.
∴2≤a＜3或－1≤a＜0.又∵a为整数，
∴a＝2或a＝－1.
16．
[2025遂宁]为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
∴有三种购买方案：①购买A型号的新型垃圾桶118个，
购买B型号的新型垃圾桶82个；
②购买A型号的新型垃圾桶119个，
购买B型号的新型垃圾桶81个．
③购买A型号的新型垃圾桶120个，
购买B型号的新型垃圾桶80个．
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
【解】∵A型号的新型垃圾桶价格更低，
∴购买A型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，
即购买A型号的新型垃圾桶120个，
购买B型号的新型垃圾桶80个更省钱．
∴最低购买费用为60×120＋100×80＝15 200(元)．
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第二章　不等式与不等式组
专项培优4 一元一次不等式解法的应用
【解】去分母，得3(3x－2)－(4x＋3)≤6.
去括号，得9x－6－4x－3≤6.
移项、合并同类项，得5x≤15.系数化为1，得x≤3.
该不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
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1．
2．
(1)解关于x的不等式ax－x－2＜0；
(2)若关于x的不等式a(x－1)＞x＋1－2a的解集是x＜－1，求a的取值范围.
【解】因为a(x－1)＞x＋1－2a，所以ax－a＞x＋1－2a.
所以ax－x＞1－a.所以(a－1)x＞－(a－1)．
因为不等式的解集为x＜－1，
所以a－1＜0，解得a＜1.
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m<3
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3．
4．
【解】4y＋2m＋1＝2y＋5，
2y＝－2m＋4，y＝－m＋2.
由题知y<0，即－m＋2<0，解得m>2.
已知关于y的方程4y＋2m＋1＝2y＋5的解是负数.
(1)求m的取值范围；
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5．
x＞1
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6．
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已知不等式8－5(x－2)＜4(x－1)＋3的最小整数解也是关于x的方程2x－ax＝12的解，求关于m的不等式am－5＜0的解集.
7．
(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围.
返回
8．
在等式y＝kx＋b(k，b为常数)中，当x＝1时，y＝－1；当x＝2时，y＝－3.
(1)求k与b的值；
(2)若关于x的不等式3－4x＞n＋b无正数解，求n的最小值.
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9．
阅读理解：
例1.解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2.
例2.解不等式|x－1|＞2，在数轴上找出|x－1|＝2的解(如图)，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x－1|＝2的解为x＝－1或x＝3，因此不等式|x－1|＞2的解集为x＜－1或x＞3.
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x－2|＝3的解为________________；
(2)解不等式：|x－2|≤1；
x＝－1或x＝5
【解】在数轴上找出|x－2|＝1的解．
因为在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
所以不等式|x－2|≤1的解集为1≤x≤3.
(3)解不等式：|x－4|＋|x＋2|＞8；
【解】在数轴上找出|x－4|＋|x＋2|＝8的解．
由绝对值的几何意义知，解该方程就是求在数轴上
到4和－2对应的点的距离之和等于8的点对应的值．
因为在数轴上4和－2对应的点之间的距离为6，
所以满足方程的x对应的点在4对应的点的右边
或－2对应的点的左边．
若x对应的点在4对应的点的右边，可得x＝5；
若x对应的点在－2对应的点的左边，可得x＝－3.
所以方程|x－4|＋|x＋2|＝8的解是x＝5或x＝－3.
所以不等式|x－4|＋|x＋2|＞8的解集为x＞5或x＜－3.
(4)对于任意数x，若不等式|x＋2|＋|x－4|＞a恒成立，求a的取值范围.
【解】因为|x＋2|＋|x－4|表示在数轴上表示x的点
到－2与4对应的点的距离之和，
所以|x＋2|＋|x－4|≥6.
若要使不等式|x＋2|＋|x－4|＞a恒成立，
则a的取值范围是a＜6.
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第二章　不等式与不等式组
1 不等式及其性质
第2课时 不等式的解集
C
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1．
下列不等式的解集中，不包括－4的是(　　)
A．x≤4
B．x≥－4
C．x≤－5
D．x≥－5
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A
2．
下列说法中，正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A．x＝3是2x>3的一个解
B．x＝3是2x>3的解集
C．x＝3是2x>3的唯一解
D．x＝3是2x>3的解
x＜1
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3．
若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式的解集为________.
4．
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n≥2
若不等式x≤2的解都是不等式x≤n的解，则n的取值范围是________.
5．
返回
2x<6
(答案不唯一)
写出一个关于x的不等式，使－5，2都是它的解，这个不等式可以为________.
6．
返回
【解】不能说这个不等式的解集是x>0.理由如下：
由x＋1>0，得x>－1，即不等式x＋1>0的解集是x>－1.
∴不能说这个不等式的解集是x>0.
x取任意正数时，不等式x＋1>0都成立，能说这个不等式的解集是x>0吗？为什么？
7．
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A
8．
返回
D
设〇，□，△分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为1，则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
9．
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－3若关于x的不等式x≥m有且只有两个负整数解，则m的取值范围为_____________.
【点拨】
∵关于x的不等式x≥m有且只有两个负整数解，∴不等式的负整数解是－1，－2.∴－3＜m≤－2.
10．
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【解】由新运算的定义可得，x*a＝x－2a，
所以x－2a＜1，即x＜2a＋1.
由数轴可知，不等式x*a＜1的解集为x＜1，
所以2a＋1＝1，解得a＝0.
定义运算：a*b＝a－2b，例如：1*2＝1－2×2＝－3，若不等式x*a＜1的解集在数轴上的表示如图所示，求a的值.
11．
【解】由题意得2＋3m＝11，解得m＝3.
(2)若x的取值范围在数轴上的表示如图所示，求y的最大整数值.
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第二章　不等式与不等式组
2 一元一次不等式
第2课时
一元一次不等式的实际应用
A
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1．
如图①，一个容量为500 mL的杯子中装有200 mL的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②.设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为(　　)
A．200＋4x<500
B．200＋4x≤500
C．200＋4x>500
D．200＋4x≥500
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C
2．
采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是(　　)
A．14道　 B．13道　
C．12道　 D．11道
七五　
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3．
台灯的灯光照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款台灯进价40元，标价56元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打________折销售.
4．
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8
某市出租车的收费标准：起步价为8元(即行驶距离不超过3 km，都需付8元车费)，超过3 km后，每增加1 km，加收1.5元(不足1 km按1 km计算)．某人从甲地到乙地经过的路程是x km，出租车费为15.5元，那么x的最大值是_______.
5．
[2025湖北]某商店销售A，B两种水果．A水果标价 14元/千克，B水果标价18元/千克.
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共 3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
(2)妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果m千克.
①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围；
【解】小明买A水果m千克，则B水果购买了(m＋1)千克，
∴14m＋18(m＋1)≤50，解得m≤1.
∴结合实际可得0②小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折(注：“打七五折”指按标价的75%出售)．若小明合计付款48元，求m的值.
根据题意得14m×0.75＋18＋18m×0.75＝48，
解得m＝1.25.
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6．
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16
一只青蛙住在一口枯井里．它坐井观天，以为天只有井口那么大．后来，听说井上面还有很大的天地，外面的世界很精彩．它下决心要爬出去看看．且说这位青蛙先生，白天很努力，向上爬5 m；晚上要休息，井内壁很滑，向下滑回2 m．井深50 m，照这样的速度，这只青蛙需要________天才能到达井口.
7．
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4
每年的6月5日为世界环境日，为了提倡低碳环保，公司决定购买节省能源的新设备，某种新设备为每套3万元，凡购买两套及以上的新设备，厂家推出两种优惠方案，第一种：一套设备按原价，其余的按原价的七折优惠；第二种：全部按原价的八折销售．若该公司在购买相同数量新设备的情况下，要使第一种方案得到的优惠多，至少需要购买________套新设备.
8．
9
[2025北京第五中学期中]某校食堂为了提升学生的就餐体验，对学生就餐排队情况进行了调查：食堂窗口还未开放时，有a个人已经在排队等候打饭；窗口开放开始打饭时，排队的人数平均每分钟增加b人．假定打饭速度是每个窗口每分钟c个人，当开放2个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放3个窗口时，
20分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若食堂想5分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开放________个窗口.
【点拨】
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9．
2(200－x－y)
端午节是中国四大传统节日之一．临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋(每袋均为同一品种的粽子)，其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售．A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个.
(1)设购进小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽的个数为____________；(用含x，y的代数式表示)
【解】由题意得购进肉粽(200－x－y)袋．
∵小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，
∴购进小枣粽6x个，豆沙粽4y个．
∵A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个，
∴A套装包装了4y÷2＝2y(套)．
∴A套装需2y×4＝8y(个)小枣粽．
∵B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个，
∴B套装包装了2(200－x－y)÷2＝(200－x－y)套．
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10．
某地举行龙舟比赛，某商店看准商机，推出了A和B两款龙舟模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．已知A模型的进价为20元/个，B模型的进价为30元/个，A模型的售价为
30元/个，B模型售价为45元/个.
(1)求售完这批模型可以获得的最大利润；
(2)如果B模型的进价上调m元(0当m＝5时，y＝(45－5－30)x＋(30－20)(200－x)，
即y＝2 000，不符合题意，舍去；
当5即y＝(5－m)x＋2 000.
∵5－m<0，∴y随x的增大而减小．
∴当x＝100时，y取得最大值，
此时100(5－m)＋2 000＝2 399，解得m＝1.01(舍去)．
∴m的值为2.
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第二章　不等式与不等式组
3 一元一次不等式与一次函数
第2课时 一元一次不等式与一次函数的综合应用
C
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1．
某区准备举办“低碳生活，绿色出行”宣传活动，准备印制宣传单，现有甲、乙两家快印店可供选择．快印店的费用y(单位：元)与数量x(单位：份)
之间的函数关系如图，
则下列说法错误的是(　　)
A．若打印800份宣传单，选择甲快印店比较合算
B．若打印1 000份宣传单，甲、乙两家费用相同
C．若打印的宣传单超过1 000份，选择甲快印店比较合算
D．若总预算不超过3 000元，则宣传单打印的数量不能超过1 000份
. .
【解】方案A：函数表达式为y＝5.8x.
方案B：函数表达式为y＝5x＋2 000.
2．
某苹果基地销售优质苹果，对需要送货且购买量在 2 000 kg～5 000 kg(含2 000 kg和5 000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案)：
方案A：每千克5.8元，由基地免费送货；
方案B：每千克5元，客户需支付运费2 000元.
(1)请分别写出按方案A、方案B购买这种苹果的应付款y(单位：元)与购买量x(单位：kg)之间的函数表达式；
(2)求购买量x在什么范围时，客户选用方案A比方案B付款少.
由题意，得5.8x<5x＋2 000.解不等式，得x<2 500.
∵x≥2 000，∴当购买量x的取值范围为2 000≤x<2 500时，选用方案A比方案B付款少．
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3．
如图是小明探究拉力F与斜面高度h关系的实验装置，A，B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着重为6 N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC向上做匀速直线运动，经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F(单位：N)是高度h(单位：m)的一次函数．实验结果如图①②所示.
(1)求出F与h之间的函数表达式；
(2)如图③，若该装置的高度h为0.22 m，求拉力F；
【解】由(1)知当h＝0.22 m时，
F＝10×0.22＋1＝3.2(N)．
(3)若弹簧测力计的最大量程是5 N，求装置高度h的取值范围.
∵F≤5，∴10h＋1≤5，解得h≤0.4.
∴装置高度h的取值范围为0 m＜h≤0.4 m.
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4．
甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y(单位：米)与乙出发的时间x(单位：秒)之间的函数关系如图所示，
则下列说法中正确的个数为(　　)
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44④乙到达终点时，甲距离终点还有68米.
A．4　 B．3　
C．2　 D．1
【点拨】
【答案】B
③当乙到达终点前，且甲、乙两人之间的距离超过32米时，可得5(x－12)－4(x－12)>32，解得x>44，当乙到达终点后，甲、乙两人之间的距离超过32米时，可得4x＋12<400－32，解得x<89.综上，甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44返回
5．
[2025眉山]国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A，B两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下表：
食品 类别 能量(单 位：Kcal) 蛋白质 (单位：g) 脂肪 (单位：g) 碳水化合物
(单位：g)
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
(1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份？
(2)若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份？
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6．
如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30 ℃，流速为
20 mL/s；开水的温度为100 ℃，
流速为15 mL/s.整个接水的过程不计热量损失.
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度.
阅读并结合以上信息解决下列问题：
(1)甲同学要接一杯700 mL的水，如果他先接开水8 s，则再接温水的时间为________s；
(2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯480 mL的水，若接水的时间是27 s，则乙同学接温水所用的时间为________s，接开水所用的时间为________s；
29
15
12
(3)丙同学要接一杯700 mL的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择：
方案一：先接x s的温水，再接开水；
方案二：先接x s的开水，再接温水.
请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高.
【解】方案一：温水为20x mL，则开水为(700－20x)mL.
设混合后的温度为t1 ℃，
依题意，得(700－20x)×(100－t1)＝20x×(t1－30)，
∴t1＝100－2x.
方案二：开水为15x mL，则温水为(700－15x)mL.
设混合后的温度为t2 ℃，
依题意，得15x×(100－t2)＝(700－15x)×(t2－30)，
∴t2＝1.5x＋30.
当t1＝t2时，100－2x＝1.5x＋30，解得x＝20；
当t120；
当t1>t2时，100－2x>1.5x＋30，解得x<20.
∴当x<20时，方案一杯中水的温度会更高；
当x＝20时，两种方案杯中水的温度一样高；
当x>20时，方案二杯中水的温度会更高．
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第二章　不等式与不等式组
1 不等式及其性质
第3课时 不等式的基本性质
C
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1．
[教材P56随堂练习T1] 如果x＞y，那么下列不等式正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A．x＋5B．x－5＜y－5
C．5x＞5y
D．－5x＞－5y
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C
2．
[2025周口期中]如图，天平两边的托盘上各放三个小球，质量分别如图所示，结果天平向右侧倾斜，则下列说法正确的是(　　)
A．a>b
B．a>c
C．c<5 g
D．c>5 g
D
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3．
实数a，b，c满足a>b，且ac>bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是(　　)
4．
返回
D
嘉淇解一道不等式的过程如下：
解：◇x－2x>8，(◇－2)x>8，□x>8，x☆－2.
其中，“◇”“□”表示数字，“☆”表示不等号，则“◇”“□”“☆”分别代表(　　)
A．6，4，>　 B．6，4，<
C．－2，－4，>　 D．－2，－4，<
5．
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a>2
(1)若xa>1
6．
返回
x<1
若点P(m－1，m)在第二象限，且 (m－1)x＞m－1，则x的取值范围为________.
7．
[教材P55例 ]根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
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(2)－2x＋3<3x＋2.
8．
返回
C
9．
已知三个实数a，b，c满足a＋2b＋2c>0，a－2b＋2c＝0，则(　　)
A．b<0，b2－2ac≥0
B．b>0，b2－2ac≥0
C．b<0，b2－2ac≤0
D．b>0，b2－2ac≤0
【点拨】
【答案】B
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10．
【点拨】
【答案】B
返回
11．
＞
1.3
【点拨】
返回
12．
7
已知实数a，b，满足1≤a＋b≤4，0≤a－b≤1，当a－2b取最大值时，则7a＋2 025b的值是__________.
【点拨】
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13．
0.25
若实数m，n，p满足0【点拨】
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14．
>
在比较两个数或代数式的大小时，一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要求出差M－N；若M－N>0，则M>N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N<0，则M(2)试判断a2－3a＋7与－3a＋2的大小.
【解】a2－3a＋7－(－3a＋2)＝a2－3a＋7＋3a－2＝a2＋5.
∵a2≥0，∴a2＋5>0.∴a2－3a＋7>－3a＋2.
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15．
【阅读】
材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：K(x，y)＝ax＋by(其中a，b均为非零常数)，等式右边是通常的四则运算．例如：K(1，2)＝a＋2b，K(－2，3)＝－2a＋3B．
材料二：已知x，y均为非负数，且满足x＋y＝8，求2x＋3y的取值范围．有如下解法：
解：∵x＋y＝8，∴x＝8－y.
∵x，y均为非负数，
∴x≥0，即8－y≥0，y≥0.∴0≤y≤8.
易知2x＋3y＝2(8－y)＋3y＝16＋y.
∵16≤16＋y≤24，∴16≤2x＋3y≤24.
(1)若K(1，2)＝7，K(－2，3)＝0，求a，b的值；
(2)已知x，y均为非负数，x＋2y＝10，求4x－y的取值范围.
【解】∵x＋2y＝10，∴x＝10－2y.
∵x，y均为非负数，∴x≥0，即10－2y≥0，y≥0.∴0≤y≤5.
易知4x－y＝4(10－2y)－y＝40－9y.
∵－45≤－9y≤0，∴－5≤40－9y≤40.
∴－5≤4x－y≤40.
返回(共28张PPT)
第二章　不等式与不等式组
2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
B
返回
1．
返回
C
2．
B
返回
3．
4．
返回
3
已知(k＋3)x|k|－2＋5＜－4是关于x的一元一次不等式，则k＝________.
5．
返回
0(答案不唯一)
6．
返回
x>507　
对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于2 025”为一次操作，如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是________.
7．
返回
三
8．
返回
9．
【点拨】
【答案】A
返回
10．
【点拨】
返回
11．
1＋x
【点拨】
返回
12．
x＞－4
【点拨】
返回
13．
10
如图，在数轴上，点A，B分别表示数－2，－2x＋6.
(1)若x＝－1，则点A, B间的距离是________；
(2)求x的取值范围；
【解】∵在数轴上，点A，B分别表示数－2，－2x＋6，
且点B在点A右侧，∴－2x＋6>－2，解得x<4.
(3)请确定表示数－x＋2的点应落在点A左边？点B右边？还是线段AB上？说明理由.
【解】落在线段AB上．
理由：∵x＜4，∴－x>－4.∴－x＋2＞－2.
∵－2x＋6－(－x＋2)＝－x＋4，－x＋4＞0，
∴－2x＋6＞－x＋2.
∴表示数－x＋2的点应落在线段AB上．
返回
14．
(2)求4x＋y的值；
(3)若4x≤1，是否存在正整数m，满足m＝2x－3y？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
返回
15．
在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知识，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：
解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答.
例如：解不等式|x－3|＞2.
解：①当x－3≥0，即x≥3时，原不等式可化为x－3＞2，解得x＞5.
此时，不等式|x－3|＞2的解集为x＞5；
②当x－3＜0，即x＜3时，原不等式可化为3－x＞2，解得x＜1.
此时，不等式|x－3|＞2的解集为x＜1.
综上可知，原不等式的解集为x＞5或x＜1.
问题：请用以上方法解关于m的不等式|4m－1|－9≤0.
返回(共30张PPT)
第二章　不等式与不等式组
阶段综合培优测 一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组
C
返回
1．
如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A，B两点，则不等式
kx＋b>0的解集是(　　)
A．x>0
B．x<0
C．x>2
D．x<2
一、选择题(每题5分，共30分)
返回
C
2．
C
返回
3．
4．
【点拨】
【答案】A
返回
5．
返回
D
台州市域铁路S1线台州站至城南站，全长52 km，理论票价实行里程分段计价制，理论票价y(单位：元)与行驶里程x(单位：km)之间的函数关系如图(AB，BC为线段)，但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为
37 km时，所得理论票价为8.5元，实际票价则为9元．
经查从甲站到乙站的实际票价为10元，
则甲、乙两站的里程不可能为(　　)
A．44 km B．45 km
C．46 km D．47 km
6．
A．a<－3
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
【点拨】
【答案】C
返回
7．
返回
m≥1
二、填空题(每题4分，共20分)
8．
1
【点拨】
返回
9．
(11，1)
盲道方便了盲人的通行，保持盲道畅通是我们每个人的义务．盲道一般由带有凸起的方形地砖铺设而成(图①)，在部分盲道建立平面直角坐标系，如图②，每个正方形的边长都为相同的整数个单位长度，则图中点P的坐标为________.
【点拨】
返回
10．
n>1
【点拨】
返回
11．
－6
【点拨】
返回
12．
三、解答题(共50分)
【解】由①得x≥－2，由②得x<1，
∴原不等式组的解集为－2≤x<1.
∴原不等式组的非正整数解为0，－1，－2.
返回
13．
(15分) 中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元.
(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？
(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A，B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？
返回
14．
(1)当k＝1时，在坐标系中画出y1与x之间的函数图象，并写出该函数的两条不同类型的性质；
【解】图象如图．
(答案不唯一)性质1：
当x≥0时，y随x的增大而增大；
性质2：当x≥0时，函数有最小值2.
(2)正比例函数y2＝2kx的图象与函数y1的图象的一个交点坐标为(－2，－4)，当y1>y2时，x的取值范围是______________；
x<－2或0≤x<2
(3)已知点A(2，1)，B(－1，－1)，函数y1的图象与线段AB的交点个数随k值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的k的取值范围.
返回(共25张PPT)
第二章　不等式与不等式组
阶段综合培优测 一元一次不等式
D
返回
1．
不等式x≥3可以表示(　　)
A．大于3的数
B．小于3的数
C．不大于3的数
D．不小于3的数
一、选择题(每题4分，共32分)
返回
D
2．
下列式子是一元一次不等式的是(　　)
A
返回
3．
4．
返回
A
已知一个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式可能是(　　)
5．
返回
A
宝安凤凰山森林公园位于“宝安第一山”凤凰山脚下，公园树木丰茂，景色优美，所以小青想带她初三的表姐去游玩放松释放压力，计划15时10分从学校出发，已知两地相距5.1 km，她们跑步的平均速度为190 m/min，步行的平均速度为80 m/min，若她们要在16时之前到达，则她们至少需要跑步多少分钟？设她们跑步的时间为
x min，则列出的不等式为(　　)
A．190x＋80(50－x)≥5 100 B．190x＋80(50－x)≤5 100
C．190x＋80(50－x)≥5.1 D．190x＋80(50－x)≤5.1
6．
返回
C
不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．
【点拨】
【答案】B
返回
8．
【点拨】
返回
【答案】D
9．
返回
二、填空题(每题5分，共20分)
10．
返回
x≥－1
已知P＝A·B－M，若A＝3，B＝x，M＝5x－1，且P≤3，则x的取值范围为________.
11．
返回
2
已知不等式6x＋1＞5x－2的最小整数解是方程2x－kx＝4－2k的解，则k＝________.
12．
返回
九
黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”(桃、李、栗、杏、枣)之一．“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为
18元，标价为21元，在春节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打________折.
13．
返回
【解】去分母，得3(5x－6)－4<4x.
去括号，得15x－18－4<4x.
移项、合并同类项，得11x<22.系数化为1，得x<2.
把解集表示在数轴上如图．
三、解答题(共48分)
14．
(12分)某数学课外巩固练习中的部分内容如下：
(1)写出这道题完整的解题过程.
返回
15．
(12分)[2025长沙]为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元．(不考虑加工损耗)
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元；
(2)若该食品企业以每千克8元的单价购进6 000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16 000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
【解】设需加工A等级农产品m千克，
由题意得(12－8)m＋(10－8)(6 000－m)≥16 000.
解得m≥2 000.
∴要求总利润不低于16 000元，则至少需加工
A等级农产品2 000千克．
返回
16．
(16分)“百变魔方”社团准备购买甲、乙两种魔方．已知购买2个甲种魔方和6个乙种魔方共需130元，甲种魔方的单价比乙种魔方的单价多5元.
(1)求这两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求，社团决定购买甲、乙两种魔方共100个(购买甲种魔方不多于50个)．某商店的优惠活动如图所示，选择哪种方案更实惠？
【解】设该社团购买m个甲种魔方，则选择方案一所需费用为20×0.8m＋15×0.4(100－m)＝(10m＋600)元，选择方案二所需费用为20m＋15(100－m－m)＝(1 500－10m)元．
若10m＋600<1 500－10m，解得m<45；
若10m＋600＝1 500－10m，解得m＝45；
若10m＋600>1 500－10m解得m>45.
综上，当购买甲种魔方少于45个时，选择方案一更实惠；当购买甲种魔方45个时，两种方案所需费用相同；当购买甲种魔方多于45个，不多于50个时，选择方案二更实惠．
返回(共21张PPT)
第二章　不等式与不等式组
章末培优
全章热门考点整合应用
B
返回
1．
小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而响起警示音，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300 kg时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40 kg，50 kg，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x kg，则x的范围是(　　)
A．210C．210返回
A
2．
不等关系在生活中广泛存在．如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是(　　)
A．若a>b，则a＋c>b＋c
B．若a>b，b>c，则a>c
C．若a>b，c>0，则ac>bc
B
返回
3．
下列是一元一次不等式组的有(　　)
4．
返回
4
已知(m＋4)x|m|－3＋6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为________.
5．
返回
m≤3
6．
返回
【解】去分母，得2(2x－1)－3(5x＋1)≤6.
去括号，得4x－2－15x－3≤6.
移项、合并同类项，得－11x≤11.
系数化成1，得x≥－1.
将原不等式的解集表示在数轴上如图．
7．
返回
8．
返回
D
9．
返回
B
10．
某小区积极创建环保示范小区，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，已知温馨提示牌的单价为每个30元，垃圾箱的单价为每个90元，需购买温馨提示牌和垃圾箱共100个.
(1)若规定温馨提示牌和垃圾箱的个数之比为1∶4，求所需的购买费用；
(2)若该小区至多安放48个温馨提示牌，且费用不超过 6 300元，请列举出所有的购买方案.
返回
方案1：购买温馨提示牌45个，垃圾箱55个；
方案2：购买温馨提示牌46个，垃圾箱54个；
方案3：购买温馨提示牌47个，垃圾箱53个；
方案4：购买温馨提示牌48个，垃圾箱52个．
11．
[2025深圳]某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球、足球的价格信息如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的总价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价．
(2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少？最少费用是多少？
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12．
－2【点拨】
返回
13．
【解】∵数轴上点A在点B的左侧，
∴2a－1＜1＋a，解得a＜2.
如图，在数轴上，点A，B分别表示数2a－1，1＋a，且点A在点B的左侧．
(1)求a的取值范围；
(2)若点A，B表示的数是关于x的不等式x－2a＜2的解，求a的整数解．
返回
【解】∵不等式x－2a＜2的解集为x＜2a＋2，
且点A，B表示的数是关于x的不等式x－2a＜2的解，
∴2a＋2＞1＋a，解得a＞－1.
又∵a＜2，∴－1＜a＜2.∴a的整数解为0或1.(共9张PPT)
第二章　不等式与不等式组
1 不等式及其性质
第1课时 不等关系
C
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1．
下列式子中，是不等式的有(　　)　　　　　　　　　　　　　　
①x＝1；②3x＋4y＞0；③－2＜0；④2x－3≥0；⑤y＞1；⑥m＋n.
A．2个
B．3个
C．4个　
D．5个
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B
2．
老师和同学们玩猜数游戏．老师在心里想一个100以内的数字，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错．甲问：“小于50吗？”老师摇头．乙问：“不大于75吗？”老师点头．丙问：“不小于60吗？”老师点头．老师心里想的数字x所在的范围为(　　)
A．50＜x≤75 B．60≤x≤75
C．50＜x＜60 D．50≤x＜60
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3．
[教材P52随堂练习T1] 根据下列关系列出不等式：
(1)x2是非负数；
(2)x的相反数与1的差小于2；
(3)x的2倍与5的和是正数；
(4)a，b两数的平方差不小于1；
(5)长为a，宽为a－2的长方形的面积小于边长为a＋1的正方形的面积.
【解】(1)x2≥0.
(2)－x－1<2.
(3)2x＋5>0.
(4)a2－b2≥1.
(5)a(a－2)<(a＋1)2.
4．
返回
C
小明要从甲地到乙地，两地相距1.8 km.已知他步行的平均速度为90 m/min，跑步的平均速度为210 m/min，若他要在不超过15 min的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x min，则列出的不等式为(　　)
A．210x＋90(15－x)≥1.8
B．90x＋210(15－x)≤1 800
C．210x＋90(15－x)≥1 800
D．90x＋210(15－x)≤1.8
5．
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0≤V≤2 600
某长方体形状的容器长20 cm，宽10 cm，高15 cm.容器内原有水的高度为2 cm，现准备向它继续注水，用V(单位： cm3)表示新注入水的体积，则V的取值范围为______________.
6．
返回
【解】一个长方形的长为x，宽为y，这个长方形的长的2倍与宽的和不小于8(答案不唯一)．
小芳妈妈晚上辅导小芳写作业时看到一个不等式2x＋y≥8，请帮小芳妈妈设计一个实际情境让小芳理解这个不等式.
7．
[教材P57习题T9 ]某苹果种植商组织10辆汽车装运A，B两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只能装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车的运载量及每吨苹果获利的数据如下表：
苹果品种 A B
每辆汽车的运载量/t 3 2
每吨苹果获利/元 500 900
(1)若要求一次性运出的苹果超过26 t，试写出装运A种苹果的汽车辆数x应满足的不等式；
(2)若要求共获利不少于15 000元，试写出装运A种苹果的汽车辆数x应满足的另一个不等式.
【解】由题意，得3x＋2(10－x)＞26.
由题意，得500×3x＋900×2(10－x)≥15 000.
返回(共11张PPT)
第二章　不等式与不等式组
专项培优5 一元一次不等式组的应用类型
【解】解不等式①，得x<2.解不等式②，得x≥－1.∴不等式组的解集为－1≤x<2.∴该不等式组的所有整数解是－1，0，1.
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1．
2．
(2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，求a的取值范围.
【解】∵不等式组有解，∴不等式组的解集为2＜x＜7－a.
∴7－a＞2，解得a＜5.
∵它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，
∴7－a≤5，解得a≥2.∴a的取值范围为2≤a＜5.
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3．
返回
4．
已知，一次函数y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)的图象如图①，在图②中正比例函数y＝mx(m≠0，m是常数)的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P.
(1)观察图象(图①)，写出方程kx＋b＝0的解和不等式kx＋b>4的解集；
【解】由题图可得，当x＝2时，y＝0，
∴方程kx＋b＝0的解为x＝2.
当x<0时，y>4，
∴不等式kx＋b>4的解集为x<0.
返回(共26张PPT)
第二章　不等式与不等式组
3 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数
B
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1．
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，点A(－1，4)在该函数的图象上，则不等式kx＋b>4的解集为(　　)
A．x≥－1
B．x<－1
C．x≤－1
D．x>－1
返回
C
2．
如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝－x＋a与直线 y2＝bx－4相交于点 P(1，－3)，则下列结论错误的是(　　)
A．方程－x＋a＝bx－4的解是x＝1
B．不等式－x＋a<－3和不等式bx－4>－3的解集相同
x>3
返回
3．
4．
返回
1
已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0).
(1)函数图象过点(－1，1)，则b－k的值为________；
(2)若y＝kx＋b(k<0)的图象经过点A(1，2)，则不等式(k－2)x＋b>0的解集为________.
x<1　
5．
返回
0≤t<2
如图，已知A地在B地正南方3 km处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离s(单位：km)与所行的时间t(单位：h)之间的函数图象如图所示，当甲一直在乙的后面时，t的取值范围为_____________________.
6．
【解】在y＝3x＋12中，当x＝0时，y＝12；当y＝0时，x＝－4，
∴函数y＝3x＋12的图象过点(0，12)和点(－4，0)．
∴函数y＝3x＋12的图象如图．
(1)函数图象经过点(－4，0)，并且函数值y随x的
增大而增大，因而当x>－4时，y>0.
画出函数y＝3x＋12的图象，并回答下列问题：
(1)当x为何值时，y>0？
(2)如果这个函数y的值满足－6≤y≤6，求相应的x的取值范围.
如图，函数图象经过点(－6，－6)和点(－2，6)，易知当函数y的值满足－6≤y≤6时，相应的x的取值范围是－6≤x≤－2.
返回
7．
【点拨】
【答案】C
返回
8．
x<4
如图，已知直线l1：y＝k1x＋b1和直线l2：y＝k2x＋b2相交于点A(a，3)，且OA＝5，当k1x＋b1>k2x＋b2时，x的取值范围是________.
【点拨】
如图，过点A作AC⊥x轴于点C，∵A(a，3)，∴AC＝3，OC＝a.又∵OA＝5，∴在Rt△OAC中，有OC2＋AC2＝OA2，即a2＋32＝52，解得a＝4或a＝－4(舍去)，∴A(4，3)．由图象可知，当x<4时，直线l2在直线l1下方，∴当k1x＋b1>k2x＋b2时，x的取值范围是x<4.
返回
9．
①②③
一次函数y1＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)与y2＝mx＋3(m≠0，m是常数)的图象交于点D(1，2)，则下列正确结论的序号是________.
①关于x的方程kx＋b＝mx＋3的解为x＝1；
②一次函数y2＝mx＋3(m≠0，m是常数)的图象上任意
两点A(x1，y1)和B(x2，y2)满足(x1－x2)·(y1－y2)<0；
③若b<3，且b≠2，则当x>1时，y1>y2.
【点拨】
∵一次函数y1＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)与y2＝mx＋3(m≠0，m是常数)的图象交于点D(1，2)，∴方程kx＋b＝mx＋3的解为x＝1，故①正确．将D(1，2)代入y2＝mx＋3，得2＝m＋3，解得m＝－1，∴y2＝－x＋3.∵－1<0，∴y值随x值的增大而减小．∴当x1>x2时，y1y2.∴无论何时x1－x2与y1－y2都为异号．∴(x1－x2)(y1－y2)<0，故②正确．
将D(1，2)代入y1＝kx＋b，得2＝k＋b，∴b＝2－k.∵b<3，且b≠2，∴k>－1，且k≠0，
∴画出图象如图所示．
由图可知，当x>1时，一次函数y1＝kx＋b的图象位于一次函数y2＝－x＋3的图象上方，∴当x>1时，y1>y2，故③正确．故答案为①②③.
返回
10．
如图，一次函数y＝kx＋b的图象交x轴于点A，OA＝4，与正比例函数y＝3x的图象交于点B，点B的横坐标为1.
(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)请直接写出kx＋b<3x时x的取值范围；
【解】由图象可知，kx＋b<3x时x的取值范围为x>1.
(3)若点P在y轴正半轴上，且满足△APB的面积是△AOB面积的一半，求点P的坐标.
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11．
(3)如图②所示，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰直角三角形BPM，其中PB＝PM，∠BPM＝90°，直线MA交y轴于点Q.当点P在x轴上运动时，线段OQ的长度是否发生变化？若不变，求出线段OQ的长度；若变化，求线段OQ长度的取值范围.
【解】线段OQ的长度不变，OQ＝6.
如图，过M作MN⊥x轴，垂足为N.
∵∠BPM＝90°，∴∠BPO＋∠MPN＝90°.
∵∠BPO＋∠PBO＝90°，∴∠MPN＝∠PBO.
∵∠BOP＝∠PNM＝90°，PB＝PM，
∴△BOP≌△PNM(AAS)．∴OP＝NM，BO＝PN.
由y＝－x＋6，得A(6，0)，∴OA＝6.
由B(0，6)，得OB＝6.∴OA＝OB.
∴OP＝OA＋AP＝OB＋AP＝PN＋AP＝AN.
∴MN＝AN.
∴∠MAN＝∠AMN＝45°.∴∠OAQ＝∠MAN＝45°.
∴∠OQA＝45°＝∠OAQ. ∴OQ＝OA＝6.
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