资源简介

(共29张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义与性质
B
返回
1．
下列现象中属于旋转的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A．飞驰的动车
B．匀速转动的摩天轮
C．运动员投掷标枪
D．乘坐升降电梯
返回
D
2．
如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是(　　)
A．∠ACB＝∠ACD
B．AC∥DE
C．AB＝EF
D．BF⊥CE
3．
[2025人大附中月考]如图，在正三角形网格中，将△MNP绕某点旋转一定角度得到△M1N1P1，则旋转中心是(　　)
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【点拨】
【答案】B
如图，∵将△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，∴连接PP1，NN1， 作PP1的垂直平分线，NN1的垂直平分线，MM1的垂直平分线．∵三条线段的垂直平分线正好都过点B，∴旋转中心是点B.
返回
4．
[2025天津]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′.若AC＝4，CD＝3，则线段CC′的长为(　　)
【点拨】
【答案】D
返回
5．
如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝30°，AB＝2 cm，将△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在边AD上．
(1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数；
【解】∵∠B＝20°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝130°.
∵将△ABC逆时针旋转一定角度后
与△ADE重合，且点C在边AD上，
∴旋转中心为点A，旋转角为∠BAC，即旋转角的度数为130°.
(2)求出∠BAE的度数和AD的长．
【解】由旋转的性质，得∠DAE＝∠BAC＝130°，
AD＝AB＝2 cm，
∴∠BAE＝360°－130°－130°＝100°.
返回
6．
返回
C
7．
返回
20
图①的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢按顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30 min.若图②表示21号车厢运行到最高点时的情形，则此时经过________min后，9号车厢才会运行到最高点．
8．
【点拨】
返回
9．
5.5
为了亮化某景区，在两条笔直且互相平行的景观道MN，QP上分别放置A，B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2 s，A灯才开始转动．当B灯发出的光束第一次与QP垂直之前，两灯发出的光束互相垂直时，A灯旋转的时间是________s.
【点拨】
设BP′与MN交于F，A灯旋转的时间为t s．B灯发出的光束第一次与QP垂直需要90÷10＝9(s)，∴t<9－2，即t<7.由题意得∠MAM′＝(30t)°，∠AFB＝∠PBP′＝(10t＋20)°.当AM′与BP′垂直时，∠MAM′－∠AFB＝90°，∴30t－(10t＋20)＝90，解得t＝5.5.故当B灯发出的光束第一次与QP垂直之前，两灯发出的光束互相垂直时，A灯旋转的时间是5.5 s.
返回
10．
4
[2025南京江宁区期中]如图，在边长为16的等边三角形ABC中，M是高AH上的一个动点，连接BM.若将线段BM绕点B顺时针旋转60°得到线段BN，连接HN，则在点M运动的过程中，线段HN的长度的最小值是________．
【点拨】
返回
11．
22.5°或45°或112.5°
如图，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CEF＝90°，点E在AC边上．将△CEF绕点C逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC分别交于点M，N，若△CMN是等腰三角形，则α的度数为__________________．
【点拨】
返回
12．
120
[2025衡水期末]如图①，把一块含30°角的直角三角尺ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)∠1＝________°，∠2＝________°；
90
(2)如图②，现把三角尺绕B点逆时针旋转n°，当0①∠1＝________°，∠2＝________°(结果用含n的代数式表示)；
(120－n)
(90＋n)
(3)如图①中三角尺ABC的放置方式，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM，QN均停止转动，设旋转时间为t s.
①在旋转过程中，若射线BM与射线QN相交，
设交点为P.当t＝15时，
则∠QPB＝________°.
15
②在旋转过程中，是否存在BM∥QN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
存在BM∥QN.　
如图①，当射线BM在∠ABC内部时，∠AQN＝(3t)°，∠ABM＝(60－2t)°.∵QN∥BM，∴∠AQN＝∠ABM.
∴3t＝60－2t.∴t＝12；
如图②，当射线BM在∠ABC外部时，∠ABM＝(2t－60)°，∠BQN＝(180－3t)°.
∵BM∥QN，∴∠ABM＝∠BQN.
∴2t－60＝180－3t.∴t＝48.
综上所述，t的值为12或48.
返回(共12张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
☆问题解决活动： 最短距离
C
返回
1．
如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2.现要在这条河上建一座桥CD(桥与河的两岸相互垂直)，使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线(　　)
返回
【解】如图．
2．
如图，已知A，B两点在直线l的同侧，试在l上找两点C和D(CD的长度为定值a)，使得AC＋CD＋DB最短(保留作图痕迹，不要求写画法)．
返回
3．
[2025南京期中]如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，1)，(6，－1)．若x轴上有两个动点M，N(M在N的左侧)，且MN＝1，则AM＋BN的最小值为________．
4．
108
[2025淄博二模]如图，护城河在C，C′处直角转弯，宽度保持4米，从A处往B处，经过两座桥DD′，EE′(桥与河岸垂直)．护城河是东西方向和南北方向，A，B在东西方向上相距64米，在南北方向上相距84米，恰当地架桥可使AD，D′E′，EB的距离最短，则从A处到B处的最短距离是________米．
【点拨】
如图，将点A向下平移至点F，使AF的长等于河宽，将点B向右平移至点G，使BG的长等于河宽．连接GF，与河岸相交于点E′，D′.过点D′作DD′⊥CD于点D，过点E′作EE′⊥CE于点E，则易知四边形BGE′E和四边形AFD′D都是平行四边形，∴BE＝GE′，AD＝D′F.∴当G，E′，D′，F四点共线时，GE′＋D′E′＋D′F
有最小值，即此时AD，D′E′，EB的距离最短．
返回
5．
如图①，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
【思考】如图②，如果A，B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是要与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的距离？
【进一步思考】如图③，如果A，B两地之间有三条平行的河流，该如何确定桥的位置？
【拓展】如图④，如果在【思考】中其他条件不变的情况下，两条河并不平行，又该如何确定桥的位置？
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用粗实线画出来．
【解】如图①所示，从A到B的路径AMNB最短．
【思考】如图②所示，从A到B的路径AMNEFB最短．
【进一步思考】如图③所示，从A到B的路径AMNGHFEB最短．
【拓展】如图④所示，从A到B的路径AMNEFB最短．
返回(共27张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
2 图形的旋转
第3课时 中心对称
D
返回
1．
2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是(　　)
2．
在平面直角坐标系中，若点P(m，m－n)与点Q(2，1)关于原点对称，则点M(m，n)在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【点拨】
【答案】C
∵点P(m，m－n)与点Q(2，1)关于原点对称，∴m＝－2，m－n＝－1.∴n＝－1.∴M(－2，－1)在第三象限．故选C.
返回
D
返回
3．
如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法正确的有(　　)
①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；
③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．
返回
A
如图，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是(　　)
A．(3，－1)
B．(0，0)
C．(2，－1)
D．(－1，3)
5．
返回
③或④
图(1)和图(2)中所有的小正方形都全等，将图(1)的正方形放在图(2)中①②③④的某一位置，使它与原来5个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是________．
6．
返回
12
如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′， AB⊥直线a于点B，A′D⊥直线b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为________．
7．
【解】如图所示的△A′BD即是符合条件的三角形．
如图，AD是△ABC的边BC上的中线．
(1)画出以点D为对称中心且与△ACD成中心对称的三角形(不要求尺规作图)；
(2)若AB＝5，AC＝9，求AD的取值范围．
由(1)知，△ACD和△A′BD关于点D成中心对称，
∴由中心对称的性质可知△ACD≌△A′BD.
∴A′B＝AC＝9，A′D＝AD. ∴AA′＝2AD.
在△ABA′中，A′B－AB∴9－5∴4<2AD<14，即2返回
8．
【点拨】
【答案】D
返回
9．
[2025上海徐汇区月考]如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形(顶点均在格点上)与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】
【答案】B
如图所示，△A1B1C1即为所求．
则这样的三角形有2个．
返回
10．
返回
9
将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示的方式摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分的面积的和是________cm2.
11．
将边长为6的正方形的右上角剪去一个边长为2的小正方形，把它放在如图所示的平面直角坐标系xOy中．若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为__________________．
【点拨】
如图，延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，CE，DF，且CE，DF相交于点N，易得点M(2，3)是OB，AF的交点，点N的坐标为(5，2)．∴直线l把长方形OABF分割成面积相等的两部分．∵直线l将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，∴直线l把长方形CDEF分割成面积相等的两部分．
返回
12．
如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6.点P从点A出发，沿折线AB－BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P，Q同时停止运动．设点P的运动时间为t s.
(1)当BQ＝2PB时，求t的值；
(2)若点P关于点B的中心对称点为点P′，求出△PDP′和△QDC面积相等时t的值．
返回
13．
(3，1)
如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A的坐标为(4，0)，B的坐标为(6，2)．
(1) OABC的对称中心P的坐标为________；
(2)连接PA，求出直线PA的表达式；
(3)求证：不论k取何值， OABC都被直线y＝kx＋1－3k分成面积相等的两部分．
【证明】对于直线y＝kx＋1－3k，
当x＝3时，y＝3k＋1－3k＝1，
∴直线y＝kx＋1－3k过定点P(3，1)．
∴不论k取何值， OABC都被直线y＝kx＋1－3k
分成面积相等的两部分．
返回
14．
＝
【知识背景】过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
(1)如图①，直线m经过 ABCD的对称中心O，则S四边形AEFB________S四边形DEFC(填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)两个正方形按如图②所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两个部分；
【解】如图①所示．
(3)八个大小相同的正方形按如图③所示的方式摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两个部分(用三种方法分割)．
【解】如图②所示．
返回(共25张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
1 图形的平移
第2课时 平面直角坐标系中的平移
B
返回
1．
[2025湖南]在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向右平移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A．(－6，2)
B．(0，2)
C．(－3，5)
D．(－3，－1)
返回
C
2．
下面是点的平移过程：将平面直角坐标系中的点P(a－3，b＋2)向右平移 个单位长度，再向 平移2个单位长度到点(a，b)的位置，但是部分内容缺失，则以下补充正确的是(　　)
A． 表示3， 表示上
B． 表示－3， 表示上
C． 表示3， 表示下
D． 表示－3， 表示下
D
返回
3．
平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)和B(－2，2)，现将线段AB沿着射线AB的方向平移，使点A与点B重合，则平移后点B的坐标是(　　)
A．(0，－2)
B．(4，6)
C．(4，4)
D．(0，4)
4．
返回
D
如图，在平面直角坐标系中，将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点P(a，b)是△ABC内一点，经平移后得到△A1B1C1内对应点P1(a＋8，b－5)，若点A1的坐标为(5，－1)，则点A的坐标为(　　)
A．(－4，3)
B．(－1，2)
C．(－6，2)
D．(－3，4)
5．
返回
(1，3)
在平面直角坐标系中，将点A(2x＋y，x－2y)先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B(x－y，y)，则点A的坐标为________．
6．
【解】如图，四边形
A′B′C′D′即为所求．
[2025榆林期末]如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－5，4)，B(－4，1)，C(－2，3)，D(－3，5)，四边形ABCD通过平移得到四边形A′B′C′D′，点A，B，C，D的对应点分别是点A′，B′，C′，D′，其中点D′的坐标是(3，4)．
(1)请在图中画出四边形A′B′C′D′；
(2)四边形A′B′C′D′可以由四边形ABCD经过怎样的平移得到？请写出一种平移的方式．
由图可知，将四边形ABCD先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度得到四边形A′B′C′D′.(答案不唯一)
返回
7．
返回
A
在平面直角坐标系中有一点A(4，－2)，将坐标系平移，使原点O移至点A处，则在新坐标系中原来点O的坐标是(　　)
A．(－4，2)
B．(－4，－2)
C．(4，2)
D．(2，－4)
8．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，B(－1，－1)，C(－4，0)，将△ABC向右平移，使点C与原点O重合，则点A平移后的坐标为(　　)
A．(0，3)
B．(1，2)
C．(1，3)
D．(4，3)
【点拨】
【答案】C
如图，过点C作直线l∥y轴，过点A作AM⊥直线l于点M，过点B作BN⊥直线l于点N.∵B(－1，－1)，C(－4，0)，∴BN＝－1－(－4)＝3，CN＝1.∵∠AMC＝∠ACB＝90°，∴∠ACM＋∠CAM＝∠ACM＋∠BCN＝90°.∴∠CAM＝∠BCN.又∵AC＝CB，∠AMC＝∠CNB＝90°，∴△AMC≌△CNB.∴AM＝CN＝1，CM＝BN＝3.∴A(－3，3)．
∵将△ABC向右平移，使点C与原点O重合，
∴应该将△ABC向右平移4个单位长度．
∴点A平移后的坐标为(－3＋4，3)，即(1，3)．
返回
9．
若实数m和n是整数，m<0，n>2，将A(2m－4，n－3)向右平移10个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B．若点B位于第四象限，则点C(m，n)的可能位置有(　　)
A．1处　 B．2处　
C．3处　 D．4处
【点拨】
【答案】D
返回
10．
[2025河北]在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部(不含边界)有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为(　　)
【点拨】
【答案】A
返回
11．
22 025－1
[2025岳阳期末]如图，将点A1(1，1)向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A2；将点A2向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点A3；将点A3向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到点A4……按这个规律平移得到点An，则点A2 025的横坐标为____________．
【点拨】
点A1的横坐标为1＝21－1，点A2的横坐标为3＝22－1，点A3的横坐标为7＝23－1，点A4的横坐标为15＝24－1……按这个规律平移得到点An的横坐标为2n－1，∴点A2 025的横坐标为22 025－1.
返回
12．
【解】如图，△A′B′C′即为所求．
B′(0，－4)，C′(5，－2)．
[教材P83习题T7 ]如图，将△ABC平移得到△A′B′C′，其中点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点，点A′的坐标为(3，1)．
(1)画出△A′B′C′，并写出点B′，C′的坐标；
(2)若△ABC内有一点P(a，b)，经过上述平移后的对应点为P′，则点P′的坐标为____________(用含a，b的式子表示)；
(a＋4，b－3)
(3)求△A′B′C′的面积．
返回
13．
【解】A(1，4)，B(3，0)，C(2，－4)．
②△AOH的面积为________；
(2)如图①，若点D(m，n)在线段OA上，求证：4m＝n；
2
(3)如图②，连接OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动．若经过t s，△AOP与△COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
返回(共21张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
1 图形的平移
第1课时 图形的平移
D
返回
1．
[2025泰州月考]有以下现象：①火车从姜堰运动到上海；②打气筒打气时活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动．其中，属于平移的是(　　)　　　　　　　　　　　　　
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
返回
D
2．
[2025商丘期中]用四根火柴棒可以摆成如图所示的“土”字，下列图形中，是通过平移“土”字中的火柴棒而变成的文字是(　　)
B
返回
3．
如图，将△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法：①AB∥DE，AD＝CF＝BE；②∠ACB＝∠DEF；③平移的方向是点C到点F的方向；④平移的距离为线段BD的长．其中正确的有(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
4．
返回
30
如图，将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC，若△DEF的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为________cm.
5．
返回
b(a－1)
如图，在一块长为a m，宽为b m的长方形空地上修一条弯曲的小路，剩余部分种草坪．若小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线，则种草坪部分的面积是________m2.
6．
返回
【解】如图，△A′B′C′即为所求．
[教材P77例1] 如图，平移△ABC，使点A移动到点A′的位置，画出平移后的△A′B′C′(点B，C的对应点分别为点B′，C′，不写作法，保留作图痕迹)．
7．
返回
D
如图，∠1＝68°，将直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3的度数为(　　)
A．68°
B．78°
C．108°
D．112°
8．
返回
C
[2025扬州期末]如图，在△ABC中，BC＝12 cm，将△ABC以每秒2 cm的速度沿射线BC向右平移，得到△DEF，设平移时间为t s(t<6)．若在B，E，C三个点中，一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系，则t的值为(　　)
A．2　 B．2或3
C．2或3或4　 D．2或3或4或5
9．
返回
2 025
如图，直角三角形ABC的周长为2 025，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和是________．
10．
①②③
如图，直线l上摆放着两个全等的△ABC和△DEC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝30°，将△DEC沿直线l向左平移到△D′E′C′的位置，使点E′落在AB上，E′D′与AC交于点P.给出下面四个结论：
①∠CPD′＝60°；②AB⊥E′D′；
③△PEE′和△PCD′的周长之和等于△ABC的周长；
④阴影部分的面积之和大于△ABC的面积．
其中，所有正确结论的序号是________．
【点拨】
∵△ABC和△DEC全等，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝30°，∴∠ABC＝∠CED＝60°.由平移的性质可知DE∥D′E′，DE＝D′E′，EE′＝DD′，∠C′D′E′＝∠CDE＝30°.①∵DE∥D′E′，∴∠CPD′＝∠CED＝60°，故①正确；②∵∠CD′E′＝30°，∠ABC＝60°，∴∠D′E′B＝180°－30°－60°＝90°，即AB⊥D′E′，故②正确；③△PEE′和△PCD′的周长之和为PE＋PE′＋EE′＋PC＋PD′＋CD′＝CE＋CD＋DE，即与△CDE的周长相等．又∵△ABC与△DEC全等，∴△PEE′和△PCD′的周长之和等于△ABC的周长，故③正确；④∵易知S四边形DD′E′E＝S长方形CC′E′E，∴S阴影部分＝S△ABC，故④不正确．
综上所述，正确结论的序号是①②③.
返回
11．
【解】(1) 如图，线段CD即为所求．
(2)如图，△A′B′C′即为所求．
如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，每个格子的边长为1个单位长度，将△ABC向上平移3个单位长度，得到△A′B′C′.
(1)在图中作出△ABC的边AB上的高CD；
(2)在图中画出平移后的△A′B′C′；
(3)△ABC的面积为________；
(4)连接AA′，CC′，试判断这两条线段的数量关系与位置关系．
8
AA′＝CC′，AA′∥CC′.
返回
12．
【解】由平移的性质得∠A′B′C′＝∠ABC＝90°，∠B′A′C′＝∠BAC＝53°，AA′∥BC′，A′B′∥AB，
∴∠B′DC＝∠BAC＝53°，∠AA′B′＝∠A′B′C′＝90°.
∴∠AA′C′＝∠AA′B′＋∠B′A′C′＝90°＋53°＝143°.
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝53°，BC＝8.将△ABC沿BC向右平移，得到△A′B′C′，A′B′与AC交于点D，连接AA′.
(1)分别求∠B′DC和∠AA′C′的度数；
(2)若CC′＝3，DB′＝4，求图中阴影部分的面积；
(3)已知点P在△ABC的内部，△ABC平移到△A′B′C′的位置后，点P的对应点为P′，连接PP′.若△ABC的周长为m，四边形ABC′A′的周长为m＋12，请直接写出PP′的长度．
PP′＝6.
返回
13．
【证明】∵DE∥AB，
∴∠BAE＋∠E＝180°.
又∵∠B＝∠E，∴∠BAE＋∠B＝180°.∴AE∥BC.
如图①，射线BA，BC被直线AC所截，D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，且∠B＝∠E.
(1)求证：AE∥BC；
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ.若∠E＝65°.
①如图②，当DE⊥DQ时，∠Q的度数是________；
25°
②在整个平移过程中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数．
返回(共10张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
3 简单的图案设计
B
返回
1．
剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产代表作名录”．如图所示的剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是(　　)
A．60° B．90°
C．120° D．180°
返回
C
2．
如图所示，这个图案可以看作是以“基本图案”(原图案的四分之一)经过图形变换形成的，经过的图形变换一定不可能是(　　)
A．旋转 B．轴对称
C．平移 D．轴对称和旋转
【解】在图①中确定格
点D，如图所示．
3．
图①，②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点(小正方形的顶点)上．
(1)在图①中确定格点D，并画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形；
(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形．
在图②中确定格点E，如图所示．
返回
4．
数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形(规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形)．
返回
【解】(答案不唯一)如图所示．
5．
中心
如图①，②，③的网格均由边长为1的小正方形组成，图①中的图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家们．
(1)图①中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是________对称图形(填“轴”或“中心”)．
(2)请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图②，③的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：
①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，
且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；
②图②中所设计的图案(不含方格纸)必须是中心对称图形但不是轴对称图形，图③中所设计的图案(不含方格纸)必须既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【解】如图．(答案不唯一)
返回(共13张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
2 图形的旋转
第2课时 旋转作图
B
返回
1．
如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是(　　)
返回
C
2．
下面四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是(　　)
(－4，8)
返回
3．
如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，
OA＝AB＝5，点B到x轴的距离 为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA′B′，则点B′的坐标为________．
4．
【解】如图，点M即为所求．
如图，通过旋转△ABC可以使其与△DEF重合．
(1)仅用无刻度直尺确定旋转中心M(保留作图痕迹)；
(2)若F的坐标为(－3，2)，A(－4，7)，则旋转中心的坐标为________．
(－5，3)
返回
5．
90°
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．
(1)∠ACB的大小为________；
(2)在如图所示的网格中，以B为旋转中心，取旋转角等于∠ABC，把△ABC顺时针旋转，请用无刻度的直尺画出旋转后的△A′BC′，并简要说明旋转后点A和点C的对应点A′和C′的位置是如何找到的(不要求证明)．
返回
6．
如图，在△ABC和△CDE中，AB＝AC＝CE，
BC＝DC＝DE，AB>BC，∠BAC＝∠DCE
＝α，点B，C，D在直线l上．
(1)按下列要求画图(不写画法，保留画图痕迹)：
①画出点E关于直线l的对称点E′，连接CE′，DE′；
②以点C为旋转中心，将①中所得△CDE′按逆时针方向旋转，使得CE′与CA重合，得到△CD′E″(A)，画出△CD′E″(A)．
【解】①②如图．
(2)解决下面的问题：
①线段AB和线段CD′的位置关系是________，请说明理由；
平行
理由：∵∠DCE＝∠DCE′＝∠D′CA＝α，
∴∠BAC＝∠D′CA.∴AB∥CD′.
②求α的值．
易知∠CAD′＝α.如图，过点C作CF∥AD′交AB于点F，
则∠ACF＝∠CAD′＝α. ∵∠FAC＝∠D′CA，AC＝CA，
∴△ACF≌△CAD′.∴CF＝AD′.
根据作图得AD′＝DE′＝DE.
∵BC＝DE，∴CF＝BC.∴∠ABC＝∠BFC＝2α.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝2α.
在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
即α＋2α＋2α＝180°，解得α＝36°.
返回(共22张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
全章热门考点整合应用
13
返回
1．
如图，△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝3 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm(a<6)得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为________cm.
【解】如图，△A1B1C1即为所求．
C1的坐标为(3，1)．
2．
如图，A(－2，1)，B(－3，－2)，C(1，－2)，将△ABC平移后得到△A1B1C1，点A的对应点A1的坐标为(0，4)．
(1)请画出△A1B1C1，并直接写出C1的坐标；
(2)若点M(m，n)是△ABC内部一点，则平移后其对应点M1的坐标为_________________；
(3)在平移过程中，求线段BC扫过的区域的面积．
(m＋2，n＋3)
线段BC扫过的区域的面积为4×3＝12.
返回
C
返回
3．
[2025天津滨海新区期中]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE.则下列结论一定正确的是(　　)
A．∠ABC＝∠BDF B．BC＝DE
C．∠ADC＝∠FDC D．BE＝BD
4．
返回
(－4，8)
如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(8，4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB′，则点B′的坐标为__________．
5．
【证明】由旋转可知AE＝AD，
∠DAE＝90°＝∠BAC.
∴易得∠BAD＝∠CAE.
又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以点A为旋转中心，把AD逆时针旋转90°到AE的位置，连接CE，DE.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若∠BAD＝22.5°，求BD的长．
返回
6．
返回
C
[2025扬州]窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)
7．
返回
[2025福州仓山区期中]点A(－3，m)与点B(n，2)关于原点对称，则nm的值为________．
8．
【解】如图，小路应修建在直线AB上．
如图，在一块平行四边形的菜地中，有一口圆形的水井，现在张大爷要在菜地上修建一条笔直的小路将菜地面积二等分以播种不同的蔬菜，且要使水井在小路上，以便有利于对两块地进行浇灌，请你帮助张大爷画出小路修建的位置．
【点方法】
平行四边形和圆都是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，小路的位置应在平行四边形的对称中心A和圆的对称中心B的连线所在的直线上．
返回
9．
如图，5×5的方格中，小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上．
(1)在图①中作出的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
(2)在图②中作出的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为10；
(3)在图③中作出的图形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，且面积为10；
(4)在图④中作出的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10.
【解】(1)如图①所示．(答案不唯一)
(2)如图②所示．(答案不唯一)
(3)如图③所示．(答案不唯一)
(4)如图④所示．(答案不唯一)
返回
10．
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴与y轴上，点B的坐标为(a，b)，连接OB．
(1)当a＝6，b＝3时，若一次函数y＝kx＋4的图象平分矩形OABC的面积，求k的值；
(2)若P为矩形OABC内部一点，且△POA的面积与△POC的面积相等，求证：点P在OB上．
返回
11．
150°
阅读下面的材料，并解决问题：
(1)如图①，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，连接PP′，如图①，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，
求出∠APB＝________；
(2)【基本运用】
如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2＋FC2；
【证明】如图①，把△ABE绕点A逆时针旋转90°
得到△ACE′，连接FE′.
由旋转的性质得AE′＝AE，CE′＝BE，
∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°.
∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠EAE′－∠EAF＝90°－45°＝45°.
∴∠EAF＝∠E′AF.
又∵AF＝AF，
∴△EAF≌△E′AF.∴E′F＝EF.
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.
∴∠ACE′＝45°.
∴∠E′CF＝45°＋45°＝90°.
由勾股定理得E′F2＝CE′2＋FC2，即EF2＝BE2＋FC2.
(3)【能力提升】
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，直接写出OA＋OB＋OC的值．
返回(共27张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
专项培优6 旋转中的常见几何模型
BF
1．
(1)如图①，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，观察可知，与DE相等的线段是______，与∠AFB相等的角是______________；
∠AED，∠BAE
(2)如图②，在正方形ABCD中，P，Q分别是BC，CD边上的点，且∠PAQ＝45°，猜想线段DQ，BP，PQ之间的数量关系，并证明；
【解】DQ＋BP＝PQ.
证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°.
如图①，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
则∠D＝∠ABE＝90°.
∴∠ABE＋∠ABP＝180°.∴E，B，P三点共线．
由旋转的性质知∠EAQ＝90°，AE＝AQ，BE＝DQ.
∵∠PAQ＝45°，∴∠PAE＝45°.∴∠PAQ＝∠PAE.
又∵AP＝AP，∴△APE≌△APQ.∴PE＝PQ.
∵PE＝PB＋BE＝PB＋DQ，∴DQ＋BP＝PQ.
(3)在图②中，连接BD分别交AP，AQ于点M，N，请直接写出BM，DN，MN之间的数量关系．
BM2＋DN2＝MN2.
【点拨】
如图②，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，连接KM.∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.由旋转的性质得∠NAK＝90°，∠ABK＝∠ADN＝45°，BK＝DN，AK＝AN.∵∠PAQ＝45°，∴∠MAK＝45°.∴∠PAQ＝∠MAK.又∵AM＝AM，∴△AMN≌△AMK.∴MN＝MK.∵∠MBA＋∠KBA＝45°＋45°＝90°，∴△BMK为直角三角形．∴BK2＋BM2＝MK2.∴DN2＋BM2＝MN2.
返回
2．
如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，交OB于点E.
(1)求证：CD＝CE；
【证明】如图，过点C作CG⊥OA于点G，作CH⊥OB于点H.
∵OC平分∠AOB，∴CG ＝CH.
∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠CDO＋∠CEO＝180°.
又∵∠CDG＋∠CDO＝180°，∴∠CDG ＝∠CEO.
又∵∠CGD＝∠CHE＝90°，
∴△CDG ≌ △CEH.∴CD＝CE.
(2)若OC＝3，求OD＋OE的长．
返回
3．
如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
(1)求证：DE＝BD＋CE；
【证明】∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.
∴∠CAE＝∠ABD.
又∵AB＝CA，
∴△ADB≌△CEA.∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)若将△ABC绕点A旋转至图②的位置，其他条件不变，DE与BD，CE的关系如何？请予以证明．
【解】CE＝BD＋DE.
证明：由题意得∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.
∴∠CAE＝∠ABD.
又∵AB＝CA，
∴△ADB≌△CEA.∴BD＝AE，AD＝CE.
∴CE＝AD＝AE＋DE＝BD＋DE.
返回
4．
【感知】如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，易得BD＝CE.
【探究】将△ADE绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)，如图②，连接BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
【解】【探究】BD＝CE依然成立．证明如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＋∠DAC＝∠CAD＋∠CAE.
∴∠BAD＝∠CAE.
∴△ABD≌△ACE.∴BD＝CE.
【应用】如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上时，连接CE.
①∠ACE的度数是________；
45°
返回
5．
【证明】∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°.
∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC.
∴△BAE≌△DAC.∴BE＝CD.
如图，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
(1)如图①，连接BE，CD，求证：BE＝CD；
(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为______°时，边AD′落在边AE上．
60
②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，请写出当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
返回
6．
背景材料：在△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马向意大利物理学兼数学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°时，
PA＋PB＋PC取得最小值．
(1)如图①，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD＝PB，由旋转可得DE＝PC，因此PA＋PB＋PC＝PA＋PD＋DE，由____________________可知，PA＋PB＋PC的最小值与线段________的长度相等；
两点之间线段最短
AE
(2)如图②，在Rt△ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，连接PA，PB，PC，若AB＝2，求PA＋PB＋PC的最小值．
返回

展开更多......

收起↑