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第四章　因式分解
专项培优7 因式分解的方法
【解】原式＝－3ma(a2－2a＋4)．
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1．
把下列各式因式分解：
(1)－3ma3＋6ma2－12ma；
(2)x(x－y)(a－b)－y(y－x)(b－a)．
原式＝x(x－y)(a－b)－y(x－y)(a－b)
＝(x－y)·(a－b)(x－y)＝(x－y)2(a－b)．
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【解】(x－2y)(x＋3y)＋(－x＋2y)2＝(x－2y)[(x＋3y)＋(x－2y)]＝(x－2y)(2x＋y)＝2x2－4xy＋xy－2y2
＝2(x2－y2)－3xy.
∵x2－y2＝8，xy＝3，∴原式＝2×8－3×3＝7.
2．
[2025上海闵行区期中]已知x2－y2＝8，xy＝3，将
(x－2y)(x＋3y)＋(－x＋2y)2先化简，再求值．
【解】原式＝[2(a－b)－3a]2＝(2b＋a)2.
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3．
把下列各式因式分解：
(1)4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2；
(2)(x2＋1)2－4x2；

(3)(m＋n)2－4(m＋n－1)．
原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.
原式＝(m＋n)2－4(m＋n)＋4＝(m＋n－2)2.
4．
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【解】原式＝662－2×66×50＋502＝(66－50)2＝256.
利用因式分解计算：662－6 600＋2 500.
5．
观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2－xy＋4x－4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)
＝(x－y)(x＋4)．
乙：a2－b2－c2＋2bc
＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)
＝a2－(b－c)2(直接运用公式)
＝(a＋b－c)(a－b＋c)．
请你在他们的解法的启发下，把下列各式因式分解：
(1)x2＋xy－xz－yz；　
(2)xy2－2xy＋2y－4；
【解】原式＝x(x＋y)－z(x＋y)＝(x＋y)(x－z)．
原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4)
＝xy(y－2)＋2(y－2)＝(y－2)(xy＋2)．
(3)m3－2m2－4m＋8；　
(4)x2－2xy＋y2－9.
原式＝m2(m－2)－4(m－2)＝(m－2)(m2－4)
＝(m－2)(m＋2)(m－2)＝(m＋2)(m－2)2.
原式＝(x－y)2－32＝(x－y＋3)(x－y－3)．
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6．
【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3.
(1)二次项系数2＝1×2，常数项－3＝－1×3＝1×(－3)；
(2)验算：“交叉相乘之和”；
①1×3＋2×(－1)＝1；②1×(－1)＋2×3＝5；
③1×(－3)＋2×1＝－1；
④1×1＋2×(－3)＝－5.
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果为－1，等于一次项系数－1，
即(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，∴2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．
像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作十字相乘法．
仿照此方法，分解因式：3x2＋5x－12＝_________________________.
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(x＋3)(3x－4)
7．
下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，则
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4　　(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2.(第四步)
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果：____________．
不彻底
(x－2)4
(2)请你仿照以上方法尝试对多项式(m2－2m)·(m2－2m＋2)＋1进行因式分解．
【解】设m2－2m＝n，则原式＝n(n＋2)＋1＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
【点方法】
当对某些代数式难以因式分解时，常采用换元法，将没有规律的代数式转化为有规律的代数式进行因式分解．
. . .
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8．
阅读并解答．
在分解因式x2－5x＋6时，李老师是这样做的：
　x2－5x＋6
＝x2－4x＋4－x＋2　　　　　　(第一步)
＝(x－2)2－(x－2)(第二步)
＝(x－2)(x－2－1)(第三步)
＝(x－2)(x－3)．(第四步)
(1)从第一步到第二步运用了__________公式；
(2)从第二步到第三步运用了______________；
(3)仿照上面的方法分解因式：x2＋2x－3.
完全平方
提公因式法
【解】x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22
＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．
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9．
阅读下面的材料，并解答下列问题：
对于形如x2＋2ax＋a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x＋a)2的形式．但对于二次三项式x2＋4x－5，就不能直接用完全平方公式分解了．对此，我们可以添上一项4，使它与x2＋4x构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x2＋4x－5＝(x2＋4x＋4)－4－5＝(x＋2)2－9.像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫配方法．
(1)已知x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，求(x＋y)2的值；
【解】由x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，
得(x2－8x＋16)＋(y2＋12y＋36)＝0，
∴(x－4)2＋(y＋6)2＝0.
∴x－4＝0，y＋6＝0，解得x＝4，y＝－6.
∴(x＋y)2＝[4＋(－6)]2＝(－2)2＝4.
(2)求x2＋8x＋7的最小值．
x2＋8x＋7＝(x2＋8x＋16)－16＋7＝(x＋4)2－9.
∵(x＋4)2≥0，∴(x＋4)2－9≥－9.
∴x2＋8x＋7的最小值是－9.
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第四章　因式分解
全章热门考点整合应用
D
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1．
[教材P109习题T1] 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(　　)
A．m(a－2)＝am－2m
B．(x＋3)(x－3)＝x2－9
C．x2＋3x－5＝x(x＋3)－5
D．4x2－1＝(2x＋1)(2x－1)
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C
2．
若2(x＋5)(x－2)是多项式2x2－mx－20因式分解的结果，则m的值为(　　)
A．－3
B．3
C．－6
D．6
B
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3．
如图，两条线段把正方形ABCD分割成边长分别为a，b的两个小正方形和两个长方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是(　　)
A．b2－a2＝(b－a)(b＋a)
B．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
C．a2－2ab＋b2＝(a－b)2
D．a2＋b2＝ab(a＋b)
4．
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A
多项式①2x2－x；②4x2＋1＋4x；③x2－4x＋4；
④－4x2－1＋4x在分解因式后，结果含有相同因式的是(　　)
A．①④
B．①②
C．③④
D．②③
5．
【解】原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)
＝(x－1)2－(y＋2)2＝[(x－1)＋(y＋2)]· [(x－1)－(y＋2)]
＝(x＋y＋1)(x－y－3)．
因式分解：
(1)x2－y2－2x－4y－3；
(2)x4＋4；


(3)(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.
原式＝x4＋4x2－4x2＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2
＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．
令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4
＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.
将y＝m2－2m代入，得原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
【点方法】
拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下采用的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”，再分组，以达到因式分解的最终目的．
. .
. .
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6．
[2025淄博期中]已知a－b＝3，b－c＝－4，则整式
a2－ac－b(a－c)的值为(　　)
A．－12
B．－4
C．－3　
D．3
【点拨】
【答案】C
∵a－b＝3，b－c＝－4，∴a－c＝－1.∴a2－ac－b(a－c)＝a(a－c)－b(a－c)＝(a－b)(a－c)＝3×(－1)＝－3.
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7．
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－11或13
若二次三项式4a2－(k－1)a＋9是一个关于a的完全平方式，则k＝________.
【点拨】
∵4a2－(k－1)a＋9是一个关于a的完全平方式，∴k－1＝±12，解得k＝13或－11.
8．
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－7
实数m满足(m－2 025)2＋(2 026－m)2＝15，
则(m－2 025)(2 026－m)的值是________．
【点拨】
∵(m－2 025)2＋(2 026－m)2＝15，∴[(m－2 025)＋(2 026－m)]2－2(m－2 025)(2 026－m)＝15.∴1－2(m－2 025)(2 026－m)＝15.∴1－15＝2(m－2 025)(2 026－m)．∴(m－2 025)(2 026－m)＝－7.
9．
152010
(答案不唯一)
生活中我们经常用到密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式x3－x可以因式分解为x(x－1)(x＋1)，当
x＝29时，x－1＝28，x＋1＝30，此时可以得到的数字密码为282930，292830等．根据上述方法，当x＝15，
y＝5时，对于多项式x3－xy2分解因式后可以形成的数字密码是________(写出一个即可)．
【点拨】
x3－xy2＝x(x＋y)(x－y)，当x＝15，y＝5时，x＋y＝20，x－y＝10，∴形成的密码可以是152010，151020，201510等．
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10．
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【解】原式＝2.1×31.4＋6.2×31.4＋1.7×31.4
＝31.4×(2.1＋6.2＋1.7)＝31.4×10＝314.
计算：
(1)2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314；
(2)－101×190＋1012＋952.
原式＝1012－2×101×95＋952＝(101－95)2＝36.
11．
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【解】(m＋2n)2－(3m－n)2＝(m＋2n＋3m－n)(m＋2n－3m＋n)＝(4m＋n)(3n－2m)＝－(4m＋n)(2m－3n)．
当4m＋n＝40，2m－3n＝5时，原式＝－40×5＝－200.
已知4m＋n＝40，2m－3n＝5，求(m＋2n)2－(3m－n)2的值．
12．
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【解】(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)]·[(n＋7)－(n－5)]＝(n＋7＋n－5)·(n＋7－n＋5)＝(2n＋2)×12＝24(n＋1)．
∵n为自然数，且24(n＋1)中含有24这个因数，
∴(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．
[教材P120复习题T10 ]对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？
13．
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【解】该三角形是等边三角形．理由如下：
∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，
∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0.
∴a－b＝0且b－c＝0.∴a＝b且b＝c，即a＝b＝c.
∴该三角形是等边三角形．
[教材P120复习题T7] 若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由．
14．
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4
已知m＋n＝2，则m2－n2＋4n的值为________．
【点拨】
∵m＋n＝2，∴原式＝(m＋n)(m－n)＋4n＝2(m－n)＋4n＝2m－2n＋4n＝2(m＋n)＝4.
15．
[2025永州期末]如图①，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积＝长×宽＝(a＋2b)·(a＋b)，六个小图形面积之和＝a2＋ab＋ab＋ab＋b2＋b2＝a2＋3ab＋2b2，可得等式：(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.
(1)仿照上面的方法，由图②可得等式：____________________________________；
(2)通过以上探究，我们发现可以利用长方形的面积进行因式分解，那么因式分解：a2＋b2＋2ab＋ac＋bc＝______________；
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)
(a＋b)(a＋b＋c)
(3)利用(1)所得的等式，解决以下问题：已知a＋b＋c＝5，a2＋b2＋c2＝15，求ab＋bc＋ac的值．
【解】因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，
a＋b＋c＝5，a2＋b2＋c2＝15，
所以52＝15＋2(ab＋bc＋ac)．
所以2(ab＋bc＋ac)＝10.所以ab＋bc＋ac＝5.
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第四章　因式分解
3 公式法
第2课时 利用完全平方公式因式分解
B
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1．
返回
B
2．
已知x，y为任意有理数，记M＝x2＋y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为(　　)
A．M ＞N
B．M ≥N
C．M≤N
D．不能确定
D
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3．
一个大正方形被分割成四部分，面积分别为mn，n2，m2，mn，则大正方形的边长为(　　)
A．2m＋n
B．m－n
C．2m－n
D．m＋n
4．
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D
如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　)
A．0　
B．1　
C．4
D．9
5．
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4x
(答案不唯一)
多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是______________(填一个即可)．
6．
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16
计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________．
7．
【解】原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2.
因式分解：
(1)x4－8x2y2＋16y4；

(2)(x＋2)(x＋6)＋4；
(x＋2)(x＋6)＋4＝x2＋8x＋12＋4＝x2＋8x＋16＝(x＋4)2.
(3)(a2－12)2＋6(a2－12)＋9.
(a2－12)2＋6(a2－12)＋9＝(a2－12＋3)2
＝(a2－9)2＝(a＋3)2(a－3)2.
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8．
[2025泰安期中]无论x，y为何值，x2＋y2－2x＋12y＋40的值都是(　　)
A．正数
B．负数
C．零
D．非负数
【点拨】
【答案】A
x2＋y2－2x＋12y＋40＝(x2－2x＋1)＋(y2＋12y＋36)＋3＝(x－1)2＋(y＋6)2＋3，∵(x－1)2≥0，(y＋6)2≥0，∴(x－1)2＋(y＋6)2＋3>0，即x2＋y2－2x＋12y＋40>0.∴无论x，y为何值，x2＋y2－2x＋12y＋40的值都是正数．
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9．
[2025重庆万州区期中]已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2＋2ab＋b2＝c2＋80，a＋b－c＝4，则c的长是(　　)
A．20　
B．16
C．8　
D．4
【点拨】
【答案】C
∵a2＋2ab＋b2＝c2＋80，∴(a＋b)2－c2＝80.∴(a＋b＋c)(a＋b－c)＝80.∵a＋b－c＝4①，∴4(a＋b＋c)＝80.∴a＋b＋c＝20②.②－①得2c＝16，解得c＝8.
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10．
同号两实数a，b满足a2＋b2＝4－2ab，若a－b为整数，则ab的值为(　　)
【点拨】
【答案】A
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11．
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(y－1)2(x－1)2
分解因式：(xy－1)2－(x＋y－2xy)(2－x－y)＝______________.
12．
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4
已知x≠y，且满足两个等式x2－2y＝2 0252，y2－2x＝
2 0252，则x2＋2xy＋y2的值为________．
【点拨】
13．
4
已知a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝0，则a＋b＋c的值为________．
【点拨】
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14．
在紧靠围墙的空地上，利用围墙(墙足够长)和一段长为40 m的木栅栏，围成一个长方形花圃ABCD(如图)，此长方形的一边为围墙的一部分，其余三边为木栅栏，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边AB的长为x m，当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？
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【解】设长方形的面积为S m2，由题意，得平行于墙的一边BC的长为(40－2x)m，则S＝x(40－2x)＝－2x2＋40x＝－2(x2－20x)＝－2(x2－20x＋100－100)＝－2(x－10)2＋200，
∴当x＝10时，S取得最大值，最大值为200，
即当x＝10时，花圃的面积最大，最大面积是200 m2.
15．
【解】 ∵192－172＝(19＋17)×(19－17)＝36×2＝72，
∴192－172是8的9倍．
【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍．
【验证】192－172的结果是8的几倍？
【证明】证明两个连续奇数2n＋1与2n－1(n为整数)的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍．
【证明】(2n＋1)2－(2n－1)2
＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n，
(2n＋1)＋(2n－1)＝4n.
∵8n＝2×4n，∴(2n＋1)2－(2n－1)2＝2[(2n＋1)＋(2n－1)]．
∴两个连续奇数2n＋1，2n－1的平方差是8的整数倍，
并且平方差等于这两个数和的2倍．
【延伸】两个连续偶数2m＋2与2m(m为整数)的平方差是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值．
【解】两个连续偶数的平方差不是8的整数倍．
理由如下：
∵(2m＋2)2－(2m)2＝(2m＋2＋2m)(2m＋2－2m)＝4(2m＋1)，
∴两个连续偶数的平方差不是8的整数倍．k的最小值为4.
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16．
[2025西安雁塔区校级月考]阅读下面的材料，然后解决问题．
苏菲·热门是19世纪法国数学家．下面是苏菲·热门写的数学著作中的一个问题：分解因式x4＋4时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即(x2)2＋22，所以要使用公式就必须添加一项4x2，同时减去4x2，即x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．
人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”．
请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解：
(1)x4＋4y4；
【解】原式＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2
＝(x2＋2y2)2－(2xy)2＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)．
(2)x2－2ax－b2－2ab；


(3)x3＋2x2－5x－6.
原式＝x2－2ax＋a2－a2－b2－2ab＝(x－a)2－(a＋b)2＝(x－a＋a＋b)(x－a－a－b)＝(x＋b)(x－2a－b)．
原式＝x3＋2x2＋x－6x－6＝x(x2＋2x＋1)－6(x＋1)＝x(x＋1)2－6(x＋1)＝(x＋1)[x(x＋1)－6]＝(x＋1)(x2＋x－6)＝(x＋1)(x－2)(x＋3)．
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第四章　因式分解
1 因式分解
第1课时
A
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1．
[教材P108随堂练习T2 ]下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A．m4－1＝(m2＋1)(m＋1)(m－1)
B．x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1
C．15ab－6a＋3＝3(5ab－2a)
D．(x－2y)2＝x2－4xy＋4y2
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－1
2．
若多项式x2＋kx－6因式分解后有一个因式是(x－3)，则k＝________.
x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)
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3．
根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_________________________.
4．
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【解】x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15，
则A＝2，B＝－15.
∴3A－B＝3×2－(－15)＝21.
如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，求3A－B的值．
5．
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A
已知多项式x2＋kx＋36能分解为两个整系数的一次式的乘积，则k的值有(　　)
A．10个
B．8个
C．5个
D．4个
6．
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D
[2025保定一模]若552×17－452×17能被n整除，则整数n的值不可能是(　　)
A．100
B．50
C．17
D．3
7．
两名同学将一个二次三项式分解因式，一名同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一名同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，求出原多项式．
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【解】设原多项式为ax2＋bx＋c
(其中a，b，c均为常数，且abc≠0)．
∵2(x－1)(x－9)＝2(x2－10x＋9)＝2x2－20x＋18，
∴由题意得a＝2，c＝18.
又∵2(x－2)(x－4)＝2(x2－6x＋8)＝2x2－12x＋16，
∴由题意得b＝－12.
∴原多项式为2x2－12x＋18.
8．
(x－1)(x＋2)
对于多项式x2＋x－2，如果我们把x＝1代入x2＋x－2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2＋x－2中有因式x－1，可设x2＋x－2＝(x－1)(x＋t)(t为常数)，通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出t的值．我们把这种因式分解的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)请完成下列因式分解：x2＋x－2＝___________；
(2)若多项式x2＋mx－n(m，n为常数)因式分解后，有一个因式是x－2，求2m－n的值；
【解】设x2＋mx－n＝(x－2)(x＋s)＝x2＋(s－2)x－2s，
其中s为常数，
则m＝s－2，n＝2s，
∴2m－n＝2(s－2)－2s＝2s－4－2s＝－4.
(3)多项式x3＋2x2－3用“试根法”因式分解得(x＋a)(x2＋bx＋c)(a，b，c为常数)，请直接写出a，b，c的值．
a＝－1，b＝3，c＝3.
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第四章　因式分解
专项培优8 因式分解的应用类型
【解】原式＝1012＋2×101×49＋492
＝(101＋49)2＝1502＝22 500.
1．
利用因式分解计算：
(1)1012＋492＋101×98；
(2)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.
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【解】∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0.
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
∴m＋n＝0，n－3＝0.∴m＝－3，n＝3.
2．
若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
B
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3．
若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能(　　)
A．被2整除
B．被3整除
C．被5整除
D．被7整除
4．
一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作ab；也可以表示成10a＋b，一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作xyz.
(1)ab－ba能被9整除吗？请说明理由；
【解】能被9整除．理由如下：
ab－ba＝10a＋b－10b－a＝9a－9b＝9(a－b)，
易知a－b为整数，
∴ab－ba能被9整除．
(2)小明发现：如果x＋y＋z能被3整除，那么xyz就能被3整除．请补全小明的证明思路．
100x＋10y＋z
小明的证明思路
xyz＝____________①
＝________②＋(x＋y＋z)
＝3(________)③＋(x＋y＋z).
∵代数式③，(x＋y＋z)都能被3整除，
∴xyz能被3整除.
(99x＋9y)
33x＋3y
【点方法】
解决整除问题，首先要对所给的多项式进行因式分解，然后确定因式分解结果中的因数能否被某个数整除，若能，则能被整除，否则不能被整除．
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5．
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【证明】(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＝[(a＋b)2－c2]·[(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．
∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0.
∴(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，
即(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0.
∴(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负．
已知a，b，c为三角形的三边长．求证：(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负．
6．
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【解】P－Q＝(2x2＋4y＋13)－(x2－y2＋6x－1)
＝x2－6x＋y2＋4y＋14＝x2－6x＋9＋y2＋4y＋4＋1
＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1.
∵(x－3)2≥0，(y＋2)2≥0，
∴P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1>0.∴P＞Q.
已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较P，Q的大小．
7．
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【解】△ABC为等腰三角形．理由如下：
∵a2＋b2－2a－6b＋10＝0，∴a2－2a＋1＋b2－6b＋9＝0.
∴(a－1)2＋(b－3)2＝0.
∴a－1＝0，b－3＝0，解得a＝1，b＝3.
∵a，b，c是三角形的三边长，∴3－1∵c是正整数，∴c＝3.
∴b＝c＝3.∴△ABC为等腰三角形．
已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－2a－6b＋10＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
8．
【解】∵b2＋2ab＝c2＋2ac，
∴(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0.
∴(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0.∴(b－c)(b＋c＋2a)＝0.
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴b＋c＋2a＞0.∴b－c＝0，即b＝c.
∴△ABC是等腰三角形．
已知a，b，c为△ABC的三边长，且b2＋2ab＝c2＋2aC．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)若a＝4，b＝3，求△ABC的周长．
由(1)可知c＝b＝3，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋3＋3＝10.
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9．
4
(1)【感知】为了求代数式a2＋2a＋5的值，我们必须要知道a的值．
若a＝－1，则这个代数式的值为________；
若a＝0，则这个代数式的值为________；
若a＝1，则这个代数式的值为________；
…
可见，这个代数式的值因a的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来找到这个代数式值的范围．
5
8
(2)【探索】把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大(或最小)值问题．例如：a2＋2a＋5＝a2＋2a＋1＋4＝(a＋1)2＋4，∵(a＋1)2是非负数，∴这个代数式的最小值是________，此时相应的a的值是________．
4
－1
(3)【应用】试说明代数式－a2＋6a＋2 025有最大值，并求出这个最大值及相应的a的值．
【解】－a2＋6a＋2 025＝－(a2－6a)＋2 025
＝－(a2－6a＋9)＋9＋2 025＝－(a－3)2＋2 034.
∵(a－3)2≥0，∴－(a－3)2≤0.
∴－(a－3)2＋2 034≤2 034.
∴当a＝3时，－a2＋6a＋2 025有最大值，最大值是2 034.
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10．
x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1
请你仔细观察以下等式，并运用你发现的规律完成下列问题：
①x2－1＝(x－1)(x＋1)；
②x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)；
③x4－1＝(x－1)(x3＋x2＋x＋1)；
④x5－1＝(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)；…
(1)x6－1＝(x－1)(______________________)；
(2)____________＝(x－1)(x7＋x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)；
x8－1　
(3)将x3＋x2＋x＋1因式分解．
【解】∵x4－1＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x－1)(x＋1)，
x4－1＝(x－1)(x3＋x2＋x＋1)，
∴x3＋x2＋x＋1＝(x2＋1)(x＋1)．
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第四章　因式分解
3 公式法
第1课时 利用平方差公式因式分解
B
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1．
课堂上老师在黑板上布置了以下的题目：
用平方差公式因式分解：
(1)－a2＋b2; (2)－a2－b2；
(3)36a2－b2c2; (4)16m2n2－25.
涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是(　　)
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
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B
2．
因式分解“16m2－？”得(4m＋5n)·(4m－5n)，则“？”是(　　)
A．5n2
B．25n2
C．75n2
D．125n2
3．
小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，2，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将2a(x2－1)－2b(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)
A．我爱化 B．爱物化
C．我爱数学 D．物化数学
【点拨】
【答案】C
2a(x2－1)－2b(x2－1)＝(2a－2b)(x2－1)＝2(a－b)(x－1)(x＋1)．∵2，a－b，x－1，x＋1分别对应我，爱，数，学，∴结果呈现的密码信息可能是我爱数学．
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4．
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4
[2025内江]已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝________.
5．
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2y＋x
一个长方形的面积为4y2－x2，宽为2y－x，则该长方形的长为________．
6．
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4
若x＋y＋z＝2，x2－(y＋z)2＝8，则x－y－z的值为________．
7．
【解】原式＝(ab＋4)(ab－4)．
因式分解：
(1)a2b2－16; 　　
(2)x2(a－2)＋(2－a)；
原式＝(a－2)(x2－1)＝(a－2)(x＋1)(x－1)．
(3)a4－1; 　　
(4)49x2－(5x－2)2.
原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
原式＝(7x＋5x－2)(7x－5x＋2)＝(12x－2)(2x＋2)
＝4(6x－1)(x＋1)．
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8．
【解】选取(x＋y)2与(x＋y)，
(x＋y)2－(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－1)．
有四个式子：4a2，(x＋y)2，x＋y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果．
(1)利用提公因式法；
(2)利用平方差公式法．
(答案不唯一)选取4a2与9b2，
4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b)．
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9．
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B
若a，b，c是三角形的三边长，则式子(a－b)2－c2的值(　　)
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不能确定
10．
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C
小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是x□－4y2(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有(　　)
A．3种 B．4种　
C．5种　 D．6种
11．
【点拨】
【答案】C
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12．
[2025威海期中]对于任意整数n，(2n＋3)2－1都(　　)
A．能被2整除，不能被4整除
B．能被4整除，不能被8整除
C．能被8整除
D．能被5整除
【点拨】
【答案】C
(2n＋3)2－1＝(2n＋3＋1)(2n＋3－1)＝(2n＋4)(2n＋2)＝4(n＋2)(n＋1)．∵n为任意整数，∴(n＋1)，(n＋2)是连续整数，∴(n＋1)，(n＋2)必有一个是偶数，∴4(n＋2)(n＋1)能被8整除，即(2n＋3)2－1能被8整除．
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13．
13
已知实数p，q满足p2＝3p＋2，2q2＝3q＋1，且p≠2q，则p2＋4q2＝________.
【点拨】
由p2＝3p＋2得p2－3p＝2.由2q2＝3q＋1得4q2＝6q＋2，∴4q2－6q＝2.
∴p2－3p＝4q2－6q.∴p2－3p－4q2＋6q＝(p＋2q)(p－2q)－3(p－2q)＝(p－2q)(p＋2q－3)＝0.
∵p≠2q，∴p＋2q－3＝0.∴p＋2q＝3.∴p2＋4q2＝(3p＋2)＋(6q＋2)＝3(p＋2q)＋4＝9＋4＝13.
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14．
返回
5
若多项式4a2－9bn(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，则n能取的值共有________个．
15．
【点拨】
返回
16．
【解】－k2＋4＝4－k2＝(2＋k)(2－k)．
如图，卡片A，B，C各代表一个代数式，从三张卡片中取两张进行因式分解运算．
(1)若选择B，C卡片，请进行因式分解；
(2)嘉嘉发现：“若选择A，B卡片，不论k为何整数，其结果总可以被m(m≠1)整除”，请确定满足条件的最小正整数m的值．
【解】(k＋3)2－k2＝(k＋3＋k)(k＋3－k)＝3(2k＋3)．
∵由题意可知(k＋3)2－k2的值总可以被m(m≠1)整除，
即3(2k＋3)是整数m的倍数，
∴满足条件的最小正整数m的值是3.
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17．
a2－b2
如图所示的两个长方形用不同的形式拼成图①和图② 两个图形．
(1)图①中阴影部分的面积为________，图②中阴影部分的面积为____________．(用含字母a，b的代数式表示)
(2)由(1)你可以得到等式____________________；
(a＋b)(a－b)
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：
①计算：6212－1482－769×373；
【解】原式＝(621＋148)×(621－148)－769×373
＝769×473－769×373
＝769×(473－373)
＝769×100
＝76 900.
②解方程：(x＋1)2－(x－1)2＝－4.
【解】(x＋1)2－(x－1)2＝－4，
(x＋1＋x－1)(x＋1－x＋1)＝－4，
2x×2＝－4，
x＝－1.
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18．
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52，则8，16，24这三个数都是“奇特数”．
(1)设两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？请说明理由．
【解】由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数．
理由：∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n×2＝8n，
∴由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数．
(2)如图是由正方形组成的图形，正方形的边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积．
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第四章　因式分解
2 提公因式法
第1课时
B
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1．
[2025青岛期中]把多项式12ab2c＋3ab3分解因式，应提的公因式是(　　)
A．3ab
B．3ab2
C．12ab3c
D．12a2b5c
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A
2．
把－6a3＋4a2－2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是(　　)
A．3a2－2a＋1
B．6a2－4a＋2
C．3a2－2a
D．3a2＋2a－1
B
返回
3．
把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)因式分解，正确的结果是(　　)
A．(x－y)(－a－b＋c)
B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a＋b＋c)
D．－(y－x)(a＋b－c)
4．
返回
A
把多项式a3b4－abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为(　　)
A．5
B．3
C．2
D．1
5．
多项式(x＋2)(2x－1)－(x＋2)可以因式分解成2(x＋m)(x＋n)，则m－2n的值是(　　)
A．2
B．4
C．4或－5
D．±4
【点拨】
【答案】C
(x＋2)(2x－1)－(x＋2)＝2(x＋2)(x－1)＝2(x＋m)(x＋n)，故m＝2，n＝－1或m＝－1，n＝2，
则m－2n＝4或m－2n＝－5.
故选C.
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6．
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x2＋x(答案不唯一)
一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：__________________．
7．
返回
2
已知mn＝2，m－n＝1，则m2n－mn2＝________.
8．
【解】4a－2ab＝2a(2－b)．
分解因式：
(1)4a－2ab;
(2)－6x2＋4xy；
－6x2＋4xy＝－2x(3x－2y)．
(3)(a－2)2－5(2－a);
(4)y2(x－2y)2－y(2y－x)2.
(a－2)2－5(2－a)＝(a－2)(a－2＋5)＝(a－2)·(a＋3)．
y2(x－2y)2－y(2y－x)2＝y2(x－2y)2－y(x－2y)2＝y(x－2y)2(y－1)．
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9．
【解】29×19.99＋72×19.99＋13×19.99－19.99×14
＝(29＋72＋13－14)×19.99
＝100×19.99
＝1 999.
利用简便方法计算：
(1)29×19.99＋72×19.99＋13×19.99－19.99×14；
(2)1.012－1.01.
1.012－1.01
＝1.01×(1.01－1)
＝1.01×0.01
＝0.010 1.
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10．
返回
B
某养鸡场老板准备用20 m长的篱笆围成一个相邻两边长分别为a m，b m的长方形场地，已知a2b＋ab2＝240，则这个长方形场地的面积为(　　)
A．32 m2
B．24 m2
C．16 m2
D．12 m2
11．
下列各数中，能整除(－8)n＋(－8)n＋1(n为自然数)的是(　　)
A．6　
B．7　
C．8　
D．9
【点拨】
【答案】B
(－8)n＋(－8)n＋1＝(－8)n＋(－8)n×(－8)＝(－8)n×(1－8)＝(－8)n×(－7)＝－(－8)n×7，即(－8)n＋(－8)n＋1能被7整除．
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12．
已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac－bc＝a2－2ab＋b2，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．不能确定
【点拨】
【答案】A
根据ac－bc＝a2－2ab＋b2，可推出(c－a＋b)(a－b)＝0，由三角形三边的关系可得c－a＋b>0，则a－b＝0，即a＝b，则△ABC是等腰三角形．
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13．
已知a>b，a>c，若M＝a2－ac，N＝ab－bc，则M与N的大小关系是(　　)
A．MB．M＝N
C．M>N
D．不能确定
【点拨】
【答案】C
∵M＝a2－ac，N＝ab－bc，∴M－N＝a(a－c)－b(a－c)＝(a－b)(a－c)．∵a>b，a>c，∴a－b＞0，a－c＞0.∴(a－b)(a－c)＞0.∴M＞N.
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14．
已知x2－x－1＝0，则x2 025－x2 024－x2 023＋x2 022－x2 021－x2 020＋…＋x3－x2－x的值是(　　)
A．0　
B．1　
C．－1　
D．2
【点拨】
【答案】A
∵x2－x－1＝0，∴x2 025－x2 024－x2 023＋x2 022－x2 021－x2 020＋…＋x3－x2－x＝(x2 025－x2 024－x2 023)＋(x2 022－x2 021－x2 020)＋…＋(x3－x2－x) ＝x2 023(x2－x－1)＋x2 020(x2－x－1)＋…＋x(x2－x－1) ＝0＋0＋…＋0＝0.
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15．
2c(a－b)2
【点拨】
返回
16．
3
【点拨】
返回
17．
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18．
1 926
每个人都拥有一个快乐数，我们把自己出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差就是我们自己的快乐数．比如我国著名的数学家华罗庚出生于1910年，他的快乐数是1 910－(1＋9＋1＋0)＝1 899.
(1)某人出生于1949年，他的快乐数是__________；
(2)快乐数都能被______整除，请你用所学知识说明你的猜想；
9
【解】设出生年份为1 000a＋100b＋10c＋d(a≠0)，
∴快乐数为1 000a＋100b＋10c＋d－(a＋b＋c＋d)
＝1 000a＋100b＋10c＋d－a－b－c－d
＝999a＋99b＋9c
＝9(111a＋11b＋c)．
∴快乐数都能被9整除．
(3)请你重新定义快乐数，并写出一个你找到的规律(直接写出结果，不用证明)．
定义：若一个四位数的千位数字与十位数字相等，个位数字与百位数字相等，则称这个数为快乐数．发现的规律是快乐数能被101整除．(答案不唯一)
【点拨】
令这个快乐数为1 000m＋100n＋10m＋n(m≠0)，
∴1 000m＋100n＋10m＋n＝1 010m＋101n＝101(10m＋n)．∴快乐数能被101整除．
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19．
提公因式法
先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
　1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是______________，共应用了______次；
2
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 025，则需应用上述方法______次，结果是__________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．
2 025
(1＋x)2 026
原式＝(1＋x)n＋1.
(4)利用(3)中的结论计算：5＋52＋53＋…＋52 025.
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