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第六章　平行四边形
1 平行四边形的性质及判定
第3课时 利用边角的关系判定平行四边形
A
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1．
从下面所给的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A．2：3 ： 2 ： 3
B．2 ： 2 ： 3 ： 3
C．1 ： 2 ： 3 ： 4
D．1 ： 2 ： 2 ： 3
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D
2．
如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
B
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3．
小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是(　　)
A．①②
B．③④
C．②③
D．①④
4．
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AB∥CD(答案不唯一)
如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，请你添加一个条件(不需再添加任何线段或字母)，使之能推出四边形ABCD为平行四边形，你添加的条件是____________________．
5．
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(5，2)
四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A(3，0)，C(2，2)，若要使四边形OABC为平行四边形，那么点B的坐标为________．
6．
[2025苏州]如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE.
(1)求证：△DAC≌△ECB；
(2)连接DE，若AB＝16，求DE的长．
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7．
如图，等边三角形ABC是一块周长为12 m的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点P有三条小路PD，PE，PF，且满足PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，则三条小路的总长度为(　　)
【点拨】
如图，延长FP交AB于点G.∵△ABC是等边三角形，且周长为12 m，∴AB＝AC＝BC＝4 m，∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵PF∥BC，∴∠AFG＝∠C＝60°，∠AGF＝∠B＝60°.∵PD∥AC，∴∠PDB＝∠A＝60°，∠DPG＝∠AFG＝60°.∴∠PDG＝∠DGP＝∠DPG＝60°.∴△DGP是等边三角形．
【答案】C
∴DP＝PG.∴PD＋PF＝PG＋PF＝FG.∵∠A＝∠AFG＝∠AGF＝60°，
∴△AFG是等边三角形，∴FG＝AG.∵FG∥BC，PE∥AB，∴四边形BGPE是平行四边形．∴PE＝BG.∴PD＋PF＋PE＝AG＋BG＝AB＝4 m.
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8．
[2025安徽]在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　　)
A．四边形EFGH的周长 　
B．∠EFG的度数
C．四边形EFGH的面积 　
D．线段FH的长
【点拨】
【答案】C
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9．
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平行四边形
已知一个四边形的四条边长依次是a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形的形状是______________．
10．
14
如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4.过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC各边围成的区域(包括各边)内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E.设OD＝a，OE＝b，
则a＋2b的最大值与最小值的
和是________．
【点拨】
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11．
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(2，3)或(－2，－3)或(－2，1)
如图，在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(－2，－1)，B(0，2)，C为平面内一点，若O，A，B，C恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点C的坐标为____________________________．
12．
如图，四边形ABCD是平行四边形，直线EF∥AB分别交AD，BC于点M，N，且EF＝AB，连接AE，DE，BF，CF.
(1)求证：△ADE≌△BCF；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC.
∵EF∥AB，EF＝AB，
∴AB∥EF∥CD，AB＝EF＝CD，
∴四边形ABFE是平行四边形，
四边形CDEF是平行四边形．∴AE＝BF，ED＝CF，
∴△ADE≌△BCF(SSS)．
【解】如图，连接AN，DN.
易证四边形ABNM和四边形
CDMN都是平行四边形，
∵MN∥AB∥CD，
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13．
如图，等边三角形ABC的边长为10 cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以4 cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C的方向以3 cm/s的速度运动．
(1)若动点M，N同时出发，则经过几秒后，两点第一次相遇？
(2)若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．那么运动到第几秒时，以点A，M，N以及△ABC的边上一点D为顶点的四边形恰是一个平行四边形？求出运动的时间，并请指出此时点D的具体位置．
【解】设运动时间为t s．∵等边三角形ABC的边长
为10 cm，∴AB＝AC＝BC＝10 cm.
①当点M在AB上，点N在AC上，点D在BC上时，
BM＝4t cm，CN＝3t cm.
当四边形ANDM为平行四边形时，DM＝AN，DM∥AN.
∵△ABC为等边三角形，
∴易得△BMD是等边三角形．
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第六章　平行四边形
3 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
A
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1．
对于八边形的对角线的描述，正确的是(　　)
甲：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线；
乙：过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将
这个八边形分成5个三角形．　　　　　　　　　　　　　　
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
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B
2．
苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图①)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图②是其平面示意图，则∠1的度数为(　　)
A．130°　 B．120°　
C．110°　 D．60°
B
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3．
[2025自贡]如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则∠α＋∠β＝(　　)
A．140°　
B．150°
C．160°
D．170°
4．
一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为(　　)
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或9
【点拨】
【答案】D
设切去一个角后的多边形为n边形，则(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8.∵一个多边形切去一个角后，它的边数可能增加1，可能减少1，也可能不变，∴原多边形的边数可能为7或8或9.
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5．
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1 080°
一个棱柱有10个面，则这个棱柱的底面图形的内角和为________．
6．
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B
如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A，D分别落在点A1，D1处．若∠1＋∠2＝140°，则∠B＋∠C＝(　　)
A．120°
B．110°
C．135°
D．150°
7．
120°
近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图是一个帐篷酒店入口的结构示意图，若AB∥CD，BE∥FG，ED∥HI，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6，则∠E的度数为________．
【点拨】
如图，延长FG交ED于点M，延长IH交GM于点N，连接PK.由题意，得∠P＋∠K＝180°.∵八边形PAFGHICK的内角和是(8－2)×180°＝1 080°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝(1 080°－180°)÷6＝150°.∵∠3＋∠NGH＝180°，∠4＋∠NHG＝180°，∴∠NGH＝30°，∠NHG＝30°.
∴∠GNH＝180°－∠NGH－∠NHG＝120°.又∵ED∥HI，∴∠GMD＝∠GNH＝120°.
又∵BE∥FG，∴∠E＝∠GMD＝120°.
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8．
【解】∵n(n≥3)边形的内角和为(n－2)×180°，
∴多边形的内角和一定是180°的正整数倍．
又∵2 025°÷180°＝11……45°，
∴这个凸多边形的内角和不可能是2 025°.
如图，请根据对话回答下列问题：
(1)小明为什么说这个凸多边形的内角和不可能是2 025°？
(2)小敏求的是几边形的内角和？
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第六章　平行四边形
1 平行四边形的性质及判定
第1课时 平行四边形的边角的性质
B
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1．
如图，AC∥DF∥PM，AB∥DE∥PN，BC∥EF∥MN，则该图中平行四边形的个数为(　　)
A．3个
B．6个
C．8个
D．9个
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C
2．
[2025湖北]如图，平行四边形ABCD的对角线相交于原点．若A(－1，2)，则点C的坐标是(　　)
A．(2，－1)　
B．(－2，1)
C．(1，－2)　
D．(－1，－2)
D
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3．
如图所示，在 ABCD中，∠C＝120°，延长BA至点E，延长DA至点F，连接EF，则∠E＋∠F的度数为(　　)
A．120°
．30°
C．50°
D．60°
4．
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B
如图，四边形ABCD为平行四边形，过点D分别作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，若AB＝12，DE＝6，
BE＝4，则DF的长为(　　)
A．7　
B．7.2
C．8　
D．8.8
5．
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8
6．
[2025宜宾]如图，点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，BC∥AD，
∴∠EFC＝∠EAD，∠ECF＝∠EDA.
∵点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，
∴CE＝DE. ∴△ADE≌△FCE(AAS)．
∴CF＝AD＝5. ∴BF＝BC＋CF＝5＋5＝10.
【点方法】
应用平行四边形的边角性质的“两注意”：
(1)注意隐含条件的挖掘：平行四边形提供了线段的数量及位置关系，也提供了角的关系，为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件．
(2)在解题时，能应用平行四边形直接得到的结论，不要再通过三角形的全等去证明．
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7．
已知 ABCD的周长为48 cm，∠ABC的平分线交边AD所在的直线于点E，且AE：ED＝3：2，则边AD的长是(　　)
A．9 cm或18 cm
B．6 cm或15 cm
C．9 cm
D．15 cm
【点拨】
如图①所示，当点E在线段AD上时，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC＝∠AEB.∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE.∵AE?ED＝3?2，∴设AE＝3x cm，则ED＝2x cm，∴AB＝AE＝3x cm，AD＝5x cm.∵ ABCD的周长是48 cm，∴2(3x＋5x)＝48，解得x＝3，∴AD＝15 cm；如图②所示，当点E在AD的延长线上时，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC.
【答案】B
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC＝∠AEB.∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE.∵AE?ED＝3?2，∴设AE＝3x cm，则ED＝
2x cm，∴AB＝AE＝3x cm，AD＝x cm.∵ ABCD的周长为48 cm，∴2(3x＋x)＝48，解得x＝6，∴AD＝6 cm.综上所述，边AD的长是6 cm或15 cm.
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8．
如图，将平行四边形ABCD沿EF所在的直线折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，连接AC，若∠ACB＝25°，则∠DFE的度数是(　　)
A．135°
B．120°
C．115°
D．100°
【点拨】
【答案】C
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9．
【点拨】
【答案】C
如图，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，∴∠DFC＝90°.∵AE⊥BC交BC于点E，∴∠AEB＝90°＝∠DFC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD.∴∠ABE＝∠DCF.∴△ABE≌△DCF(AAS)．∴AE＝DF，CF＝BE＝x.由勾股定理可得AE2＝AC2－CE2＝AC2－(BC－BE)2＝4－(y－x)2，DF2＝BD2－BF2＝BD2－(BC＋CF)2＝12－(y＋x)2，
∴4－(y－x)2＝12－(y＋x)2，化简得xy＝2.
∴当x，y的值发生变化时，
代数式的值不变的是xy.
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10．
如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；
③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【点拨】
【答案】D
∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF.∴∠CBE＝∠EBF，∴BE平分∠CBF，故①正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴CF平分∠DCB，故②正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB.∴∠CFB＝∠BCF.∴BF＝BC，故③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴EB垂直平分FC，即PE垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．故选D.
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11．
17 cm
如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9 cm，动点P从A点出发，以1 cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y(单位：cm2)与点P移动的时间x(单位：s)之间的函数关系如图②所示，则AC的长为________．
【点拨】
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12．
如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为________．
【点拨】
如图，作点A关于直线BC的对称点A′，AA′交BC于H，连接A′D交直线BC于点M′，连接A′M，则AH＝A′H，AH⊥BC，AM＝A′M，∴易知当M与M′重合时，MA＋MD的值最小，最小值为A′D的长．
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13．
(0，－2)　
如图，在平面直角坐标系中，A(－2，0)，
P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，
使DP＝AP，取y轴负半轴上一点B，
使得OA＝OB，以AB，AD为边作 ABCD．
(1)点B的坐标为________．
(2)设点P的坐标为(0，m)，则点D的坐标为________(用含m的代数式表示)，连接OC，则OC长度的取值范围为________．
(2，2m)
OC≥4
【点拨】
(1)∵A(－2，0)，∴OA＝2，又∵OA＝OB，∴OB＝2，∴B(0，－2)．故答案为(0，－2)．
【点拨】
∴FE＝2＋2＝4.∵CE⊥EF，CE∥y轴，
∴点C始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4，∴点O到这条直线的距离为4，∴OC长度的取值范围为OC≥4.故答案为OC≥4.
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14．
如图，分别以 ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF, 请判断GF与EF的关系．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，CD＝AB，
∴易得DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，
∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝∠DAF＝45°，∠DFA＝90°.
∴∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，
∠EAF＝360°－∠BAE－∠DAF－∠BAD＝
270°－(180°－∠CDA)＝90°＋∠CDA.
∴∠FDG＝∠EAF.∴△EAF≌△GDF(SAS)．
∴EF＝FG，∠EFA＝∠GFD.
∴∠EFA＋∠GFA＝∠GFD＋∠GFA，
即∠GFE＝∠DFA＝90°.∴GF⊥EF.
综上，GF＝EF，GF⊥EF.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解】GF＝EF，GF⊥EF仍然成立．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
又∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴易得DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，
∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝∠DAF＝45°，∠DFA＝90°.
∵AB∥CD，
∴∠BAE＋∠DAF＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°.
∴∠EAF＋∠CDF＝45°.
又∵∠CDF＋∠GDF＝45°，∴∠FDG＝∠EAF.
∴△EAF≌△GDF(SAS)．
∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG.
∴∠EFA＋∠GFA＝∠GFD＋∠GFA，
即∠GFE＝∠DFA＝90°.∴GF⊥EF.
综上，GF＝EF，GF⊥EF.
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第六章　平行四边形
全章热门考点整合应用
DBEF， DECF， DEFA　
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1．
如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC边的中点，则图中所有的平行四边形有_______________________.
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C
2．
如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为(　　)
A．108°
B．109°
C．110°
D．111°
3．
[2025成都期末]如图，在 ABCD中，E是AD边上的点，连接CE，过B作BF⊥CE，垂足为F，延长BF交CD于点G，2∠DCE＋∠CED＝90°.
(1)求证：BG＝AD；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠CED＝∠BCE，
∵2∠DCE＋∠CED＝90°，2∠DCE＋∠CED＝
∠DCE＋∠DCE＋∠CED＝∠DCE＋∠BCG，
∴∠DCE＋∠BCG＝90°.
∵BF⊥CE，∴∠CFG＝90°，∴∠DCE＋∠BGC＝90°，
∴∠BGC＝∠BCG，∴BG＝BC，∴BG＝AD.
(2)若DG＝GC，CF＝3，FG＝1，求四边形ABGD的面积．
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4．
AE＝CF(答案不唯一)
如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)请你添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是____________________；
(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
【证明】∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.
又∵AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形．
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5．
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B
[2025资阳]三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是(　　)
A．12 cm
B．24 cm
C．28 cm
D．30 cm
6．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，连接CD，∠ADC＋∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E.
(1)求证：AE垂直平分CD；
【证明】∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°，
∠ADC＋∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠ADC.
∴AC＝AD.∴△ACD为等腰三角形．
又∵AE平分∠CAB，∴AE⊥CD，CE＝DE.
∴AE垂直平分CD.
(2)若AC＝6，BC＝8，F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
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7．
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45
[2025湖南]如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，则∠AMB＝________°.
8．
某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为1 125°，当发现错了以后，重新检查，发现少算了
一个内角，则少算的这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
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【解】设此多边形的内角和为x°，
则有1 125∵x°为多边形的内角和，∴它应为180°的正整数倍．
∴x＝180×7＝1 260.
∴1 260°－1 125°＝135°，7＋2＝9.
∴少算的这个内角是135°，他求的是九边形的内角和．
9．
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【解】设此多边形的边数为n，
则(n－2)·180°＝1 440°＋360°，解得n＝12.
∴这个多边形的边数为12.
已知一个多边形的内角和与外角和的差为1 440°.
(1)求这个多边形的边数；
(2)如果这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是________．
150°
10．
[2025南京期末]对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P，Q两点间距离的最小值为图形M，N间的“最近距离”，记作d(M，N)．如图，在 ABCD中，点A(6，12)，B(－6，0)，C(－6，－12)，D(6，0)．
(1)d(点O， ABCD)＝________.
(2)若点P在y轴正半轴上，d(点P， ABCD)＝2，求点P的坐标；
【解】设AB交y轴于点M，易得M(0，6)，∠BMO＝45°.
作PQ⊥AB于Q，如图①，当点P在点M的上方时，∵d(点P， ABCD)＝2，∴PQ＝2，
∵∠PMQ＝∠BMO＝45°，∴MQ＝PQ＝2，
(3)若已知点E(a，－a)，F(a＋2，－a)，G(a＋1，－a－1)，H(a＋3，－a－1)，顺次连接点E，F，H，G，将得到的四边形记为图形W.
①当a＝0时，直接写出d(W， ABCD)的值；
【点拨】
∵a＝0，∴E(0，0)，F(2，0)，G(1，－1)，H(3，－1)，在平面直角坐标系中描点，依次连接各点，如图③所示， EFHG即为图形W，过点H作HK⊥BD，垂足为K，延长FH，交CD于N，∵F(2，0)，H(3，－1)，∴K(3，0)，∴FK＝3－2＝1，HK＝0－(－1)＝1，∴FK＝HK，∴∠KFH＝45°＝∠FHK，∵BD＝BC＝12，∴∠BDC＝45°＝∠BCD，
②若d(W， ABCD)≥1，直接写出a的取值范围．
【点拨】
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第六章　平行四边形
专项培优12 构造平行四边形解题的应用类型
1．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，G，EF∥BC交AC于F，求证：AE＝CF.
【证明】【证法一】转化法：如图①，
过E作EH∥FC，交BC于H，∴∠3＝∠C，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABD＋∠BAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD，∴∠3＝∠BAD.
∵BG平分∠ABC，∴∠2＝∠1.
【证法二】全等法：过E作EN⊥AB于N，
过F作FM⊥BC于M，如图②，∴∠ANE＝∠CMF＝90°，
∵BG平分∠ABC，AD⊥BC，∴EN＝ED.
∵AD⊥BC，FM⊥BC，∴FM∥ED，∠C＋∠2＝90°.
∵EF∥DM，∴四边形EDMF是平行四边形，
∴ED＝MF，∴EN＝MF.
∵∠BAC＝∠1＋∠2＝90°，∠C＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠C.
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2．
如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F分别是CD，AB的中点，直线EF分别交BC，AD的延长线于点S，T.求证：∠ATF＝∠BSF.
【证明】如图，过点F作GH綊CD，且FG＝FH，
连接DG，CH，AG，BG，AH，BH，
则四边形DGHC和四边形AGBH是平行四边形．
∴AG＝BH，DG＝CH，DG∥SF∥CH.
∴∠ADG＝∠ATF，∠BCH＝∠BSF.
∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCH(SSS)．
∴∠ADG＝∠BCH.∴∠ATF＝∠BSF.
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3．
如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN＝BM.
求证：EF与MN互相平分．
【证明】如图，连接MF，FN，NE，EM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝∠D.
又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD.
又∵CF⊥AD，∴AE∥CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF＝CE.∴BE＝FD.
又∵BM＝DN，∠B＝∠D，
∴△BEM≌△DFN(SAS)．∴EM＝FN.
同理可得MF＝EN.∴四边形MENF是平行四边形．
∴EF与MN互相平分．
返回
4．
如图， ABCD中，AB>AD，∠DAB与∠ADC的平分线交于点E，∠ABC与∠BCD的平分线交于点F，连接EF.求证：EF＝AB－BC．
【证明】延长DE交AB于M，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD∥AB，
∴∠ADC＋∠BAD＝180°，∠CDM＝∠AME，
∵AE，DE分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∠ADM＝∠CDM，
∴∠AED＝90°，∠ADM＝∠AMD，
∴AD＝AM＝BC，∴ED＝EM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，
返回
∵AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，
∴∠DAE＝∠BCF，
同理可得∠ADM＝∠CBF＝∠ABF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴DE＝BF，∴EM＝BF，
∵∠AMD＝∠ADM＝∠ABF，∴EM∥BF，
∴四边形EFBM是平行四边形，∴EF＝MB，
∵BM＝AB－AM＝AB－BC，∴EF＝AB－BC.
5．
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE为高，且AE＝12，BD＝15，AC＝20.
(1)求AB＋CD的长；
(2)求证：AC⊥BD．
【证明】∵AF＝15，AC＝20，CF＝25，
∴AF2＋AC2＝152＋202＝252＝CF2.
∴∠FAC＝90°.∴AF⊥AC.
又∵AF∥BD，∴AC⊥BD.
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6．
如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE与AD相交于点F，G是AC边上满足CG＝AF的一点，求证：FG∥BC．
返回
∴∠BA′F＝∠BAF，A′F＝AF＝CG.①
∵AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，
∴∠BA′F＝∠BAF＝90°－∠CAD＝∠C.
∴FA′∥GC.②
∴由①②知，四边形FA′CG为平行四边形．
∴FG∥A′C，即FG∥BC.
7．
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8．
【问题探究】如图，六边形ABCDEF的六个内角均为120°，分别延长CB，FA交于点G，得到△ABG.请判断△ABG的形状，并证明你的结论．
【解】△ABG是等边三角形．
证明：∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°，
∴∠CBA＝∠BAF＝120°.∴∠GBA＝∠BAG＝60°.
∴∠G＝60°＝∠GBA＝∠BAG.
∴△ABG是等边三角形．
【结论应用】若AB＝3，BC＝5，CD＝4，DE＝1，求六边形ABCDEF的周长．
【解】如图，延长CD和FE交于点H，
由题易得△DEH是等边三角形，
∴DH＝HE＝DE＝1.
∴CH＝CD＋DH＝5.
∵△ABG是等边三角形，
∴BG＝AG＝AB＝3.∴CG＝BC＋BG＝8.
∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°，
∴∠C＝∠F＝120°.
又∵∠G＝60°，∴∠C＋∠G＝180°，∠F＋∠G＝180°.
∴CH∥GF，CG∥HF.
∴四边形CGFH是平行四边形．
∴GF＝CH＝5，HF＝CG＝8.
∴六边形ABCDEF的周长为(5＋8)×2－3－1＝22.
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第六章　平行四边形
3 多边形的内角和与外角和
第2课时 多边形的外角和
B
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1．
如图，已知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝280°，则∠6＝(　　)
A．100°
B．80°
C．60°
D．56°
返回
B
2．
如图，小明沿一个五边形的广场小道按A→B→C→D→E的方向跑步健身，他每跑完一圈，身体转过的角度之和是(　　)
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
C
返回
3．
如图，AB，BC，CD是某正多边形相邻的三条边，延长AB，DC交于点P，若∠P＝108°，则该正多边形的边数为(　　)
A．6　
B．8　
C．10　
D．12
4．
返回
D
如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是(　　)
A．外角和减少180°
B．外角和增加180°
C．内角和减少180°
D．内角和增加180°
5．
返回
4π
如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2 cm为半径画圆，当n＝2 024时，图中阴影部分的面积之和为________cm2.(注：结果用含π的式子表示)
6．
返回
120
冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．如图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗中的部分图案．已知l1∥l2，∠1＝∠2＝70°，∠3＝∠4＝50°，则∠5＝________°.
7．
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数．
返回
【解】∵∠AMP＝∠A＋∠B，∠CPO＝∠C＋∠D，
∠EON＝∠E＋∠F，∠GNM＝∠H＋∠G，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝
∠AMP＋∠CPO＋∠EON＋∠GNM.
又∵∠AMP＋∠CPO＋∠EON＋∠GNM＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°.
8．
如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝45°，则∠2的度数为(　　)
A．45°　　
B．30°　　
C．20°　　
D．15°
【点拨】
【答案】D
返回
9．
返回
C
如图①，在△ABC中，∠BAC＝18°，若将与△ABC全等的三角形按图①所示的方式放置，则可以拼成一个五边形，若将与△ABC全等的三角形按图②所示的方式放置下去，则拼出来的多边形的边数是(　　)
A．18 B．19
C．20 D．21
10．
30
[2025唐山期末]如图，在平面直角坐标系中，一只小蚂蚁从原点O出发，沿x轴负半轴向前爬行2个单位长度到达点A，然后向右转a°再向前爬行2个单位长度到达点B，然后再向右转a°继续向前爬行2个单位长度到达点C，这样爬行12次后恰好回到原点O处．
(1)a＝________；
(2)连接AC，则AC2＝________．
【点拨】
返回
11．
(1)图②的外轮廓周长是________；
(2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长．
14
返回
12．
阅读下面的情境对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种多边形，内角之比与外角之比相等的多边形叫作内外等比多边形(角度从小到大排序，每个内角处只取一个外角)．
小华：平行四边形一定是内外等比四边形．
(1)根据“内外等比多边形”的定义，请你判断小华提出的命题：“平行四边形一定是内外等比四边形”是真命题还是假命题？并说明理由．
【解】是真命题．理由如下：
设平行四边形ABCD的四个内角分别是∠A＝x°，∠B＝(180－x)°，∠C＝x°，∠D＝(180－x)°，
则对应的四个外角度数分别为(180－x)°，x°，(180－x)°，x°，四个内角和四个外角分别按从小到大排列完全相等，
∴它们的比相等．∴平行四边形一定是内外等比四边形，是真命题．
(2)已知内外等比四边形ABCD的四个内角分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠1：∠2：∠3：∠4＝a：b：c?d(a≤b≤c≤d)，请探索a，b，c，d之间的关系，并说明理由．
【解】a＋d＝b＋c.理由如下：
设内外等比四边形的四个外角从小到大分别为
∠5，∠6，∠7，∠8，∵∠1 ： ∠2：∠3 ： ∠4
＝∠5 ： ∠6 ： ∠7?： ∠8＝a ： b ： c ： d，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝360°，
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第六章　平行四边形
2 三角形的中位线
C
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1．
[2025山西]如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是(　　)
返回
D
2．
如图，李伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米．他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的总长为(　　)
A．10米 B．13米
C．23米 D．25米
D
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3．
如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，BD是AC边上的高，点F在边BC上，连接AF，E为AF的中点，连接DE，若DE＝5，则BF的长为(　　)
A．3
B．6
C．5
D．4
4．
[2025泰州期末]如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，DB＝4，AC＝6，点E，F分别为AB，CD的中点，则
EF＝__________．
【点拨】
返回
5．
140°
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB， AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，则∠ADC的度数为________．
【点拨】
连接BD.∵点E，F分别是边AB，AD的中点，EF＝6，∴EF∥BD，BD＝2EF＝12.∴∠ADB＝∠AFE＝50°.在△BDC中，BD2＋CD2＝122＋92＝225，BC2＝225，则BD2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°.∴∠ADC＝90°＋50°＝140°.
返回
6．
如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点．
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．
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7．
如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC＝5，AB＝9，则EF的长为(　　)
A．2
B．2.4
C．3
D．3.5
【点拨】
【答案】A
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8．
如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF的长度可能为(　　)
A．2 B．5
C．7 D．9
【点拨】
【答案】B
返回
9．
3
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝________.
【点拨】
返回
10．
4
[2025无锡期中]如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE进行折叠，点B落在点F处，连接CF，若AE＝AB＝9，BC＝12，则CF的长等于__________．
【点拨】
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11．
返回
50
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为线段BC上一点(不与点 B，C重合)，连接AD并延长到点E, 使得DE＝AD，连接BE.过点B作BE 的垂线交直线AC于点F，连接FE，若 BD＝2，CF＝3，
则△AEF的面积为________．
【点拨】
过A 作AS∥BE交BF于S，AS交BC于L，过E作EQ⊥AF交AF的延长线于Q，如图，∵AS∥BE，∴∠BEA＝∠EAS.∵∠BDE＝∠ADL，AD＝DE，∴△BDE≌△LDA，∴BD＝DL.∵BD＝2，∴DL＝2.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ASB＝90°＝∠ASF.∵∠ASB＝∠ACB＝90°，
∠ALC＝∠BLS.
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12．
【证明】∵∠BCO＝∠OAD，
∠BOC＝∠DOA，BO＝DO，
∴△COB≌△AOD. ∴CO＝AO.
又∵BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．
如图①，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BO＝DO，∠BCA＝∠CAD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图②，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．
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13．
(2)如图②，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连接FG.线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
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第六章　平行四边形
阶段综合培优测 平行四边形的性质及判定
B
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1．
如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB＝BC
B．AD＝BC
C．OA＝OB
D．AC⊥BD
一、选择题(每题4分，共24分)
返回
D
2．
如图，在 ABCD中，E是AB延长线上的一点，若
∠EBC＝40°，则∠ADC的度数为(　　)
A．40°　
B．80°
C．100°
D．140°
B
返回
3．
如图，在四边形ABCD中，E是BC边上的一点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且DE＝EF，AB＝BF，再添加一个条件，你认为下面四个条件中不能使四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A．BE＝CE
B．CD＝BF
C．∠CBF＝∠C
D．∠F＝∠CDE
4．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AC＝8.当AD＝a(a为变量)时，BC＝10－A．则四边形ABCD的面积等于(　　)
A．12　
B．24
C．30
D．48
【点拨】
【答案】B
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5．
[2025台州期末]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，D是斜边AB上的一点，过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点E作EF∥AB，交BC于点F.设CF＝x，
AD＝y，则y关于x的函数关系式为(　　)
A．y＝4－x　
B．y＝4－2x
C．y＝2－x　
D．y＝2－2x
【点拨】
【答案】B
返回
6．
如图，已知点A(0，8)，B(0，－2)，E(0，5)，F(－5，0)，C为直线EF上一动点，则 ACBD的对角线CD的最小值是(　　)
【点拨】
【答案】A
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7．
返回
AB∥CD(答案不唯一)
在四边形ABCD中，已知AB＝CD，若要使四边形ABCD为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为_______________________．
二、填空题(每题5分，共20分)
8．
返回
10
如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为________．
9．
如图，在平行四边形ABCD中，AD＝30，CD＝10，F是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；点Q以每秒3个单位长度的速度沿着A→B→C→D的路径运动，到D点后停止运动．已知动点P，Q同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒，问：当t＝____________时，以A，Q，F，P为顶点的四边形
是平行四边形．
【点拨】
返回
10．
①②③
如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：
①四边形ABDC是平行四边形；
②BE＝DF；
③S四边形ABDC＝S四边形BDFE；
④BD＝CE.
其中正确的有________．(填序号)
【点拨】
∵AC∥BD，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，故①正确；∵EF∥BD，BE∥DF，∴四边形BDFE是平行四边形．∴BE＝DF，故②正确；如图，作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，∵四边形ABDC和四边形BDFE都是平行四边形，AF∥BD，∴S四边形ABDC＝BD·FG，S四边形BDFE＝BD·FG.∴S四边形ABDC＝S四边形BDFE.故③正确；∵四边形ABDC是平行四边形，∴BD＝AC.∵AC与CE不一定相等，∴BD与CE不一定相等，故④错误．
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11．
【证明】∵四边形ABCD是
平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.
∵AF＝CE，∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE.
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(12分) 如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
三、解答题(共56分)
(2)连接EF，请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．(不需要说明理由)
【解】AF＝BE.(答案不唯一)
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12．
(14分) 如图，点O为 ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，交DA和BC的延长线于点G，H.
(1)求证：OE＝OF；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠OEB＝∠OFD.
∵O是BD的中点，∴OB＝OD.
又∵∠EOB＝∠FOD，
∴△BOE≌△DOF(AAS)．∴OE＝OF.
(2)若OG＝5，HF＝2，求OF的长．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB∥AD，即BH∥DG.∴∠H＝∠G.
又∵∠BOH＝∠DOG，OB＝OD，
∴△BOH≌△DOG(AAS)．∴OH＝OG＝5.
又∵HF＝2，∴OF＝OH－HF＝5－2＝3.
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13．
平行四边形
(14分)如图是某小区倾斜式停车位示意图，工人在绘制时保证AD＝BC，∠A＝60°，∠B＝120°.
(1)四边形ABCD的形状是_______________；
(2)若AD为6 m，AB为2.8 m，求停车位ABCD的面积．
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14．
(16分)[2025北京]在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°－2α得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF∥AB，交直线BC于点F.
(1)如图①，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC；
【证明】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝45°＝∠ABC.
由题意得AE＝AD＝AC，∠EAB＝90°－∠BAC＝45°，
∴∠EAB＝∠ABC，∴BC∥AE
∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF＝AE，∴BF＝AC.
(2)如图②，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明．
【解】DF＝2BC.
证明：如图，在CD上取一点G，使得CG＝CB，连接AG，BE.
∵∠ACB＝90°，∴AG＝AB，
∴∠AGB＝∠ABG＝α，
∴∠BAG＝180°－2α，
由题意得DA＝EA，∠DAE＝180°－2α.
∴∠DAE＝∠GAB，∴∠DAG＝∠EAB，
∴△DAG≌△EAB，
∴DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°－∠AGC＝180°－α，
又∵∠ABC＝α，
∴∠FBE＝∠ABE－∠ABC＝180°－2α.
∵EF∥AB，∴∠BFE＝∠ABF＝α，
∴∠BEF＝180°－∠FBE－∠BFE＝α，
∴BE＝BF，∴DG＝BF.
∵GC＝BC，∴DF＝BD－BF＝BD－DG＝BG＝2BC.
返回(共11张PPT)
第六章　平行四边形
专项培优13
构造中位线的常用方法
1．
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCD的平分线CE交边AB于点E，BF⊥CE于点F.
(1)求证：CF＝EF；
【证明】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠DCE＝∠BEC.
∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE.
∴∠BEC＝∠BCE.∴BC＝BE.
又∵BF⊥CE，∴CF＝EF.
(2)连接OF，若CD＝9，AD＝6，求OF的长．
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2．
如图，在△ABC中，M为BC的中点，AD为△ABC的外角∠EAB的平分线，且AD⊥BD．若AB＝12，AC＝18，连接DM，求DM的长．
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3．
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.求证：
(1)△BEF是等腰三角形；
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4．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，且CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE2＝2MN2.
返回
E
A
D
B
M
C
M
1
I
B
1
1
I
I
E
I
F
1
A
D
C
B
G
F
N
M
C
E
A(共11张PPT)
第六章　平行四边形
1 平行四边形的性质及判定
第5课时 平行线之间的距离
C
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1．
如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于点E，交CD于点F，直线MN交AB于点M，交CD于点N，交EF于点O.若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是(　　)
A．MN B．OE
C．EF D．OF
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3
2．
如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AC⊥l2.如果AB＝5 cm，BC＝4 cm.那么平行线l1，l2之间的距离为________cm.
6
返回
3．
如图，a∥b，点A，B分别在直线a，b上，∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°，若a，b之间的距离为3，则线段AC的长度为________．
4．
返回
A
如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(　　)
A．d1与d2一定相等
B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等　
D．l1与l2一定不相等
5．
返回
D
在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为4 cm，则a与c之间的距离为(　　)
A．1 cm
B．9 cm
C．4 cm或5 cm
D．1 cm或9 cm
6．
【解】如图．
∵AC⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°.
∵a∥b，∴∠3＝∠1＝65°.
∴∠2＝90°－65°＝25°.
如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C．
(1)若∠1＝65°，求∠2的度数；
(2)若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b之间的距离．
返回
7．
【证明】∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴AB＝CD.
有这样一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面是经历探索与应用的过程．
【探索】如图①，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB＝CD；
【应用一】如图②，AD∥BC，AD【证明】如图①，过点D作
DE∥AB交BC于点E.
∵AD∥BC，∴AB＝DE.
又∵AB＝CD，∴DE＝CD.∴∠DEC＝∠C.
∵DE∥AB，∴∠B＝∠DEC.∴∠B＝∠C.
【应用二】如图③，AD∥BC，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3.求AD与BC两条线段的和．
【解】如图②，设AC与BD相交于点E，
过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F.
∵AD∥BC，∴四边形ACFD为平行四边形．
∴DF＝AC＝4，AD＝CF.
∵AC⊥BD，∴∠BEC＝90°. ∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BEC＝90°.
在Rt△BDF中，BD＝3，DF＝4，∴BF＝5.
∴BC＋AD＝BC＋CF＝BF＝5.
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第六章　平行四边形
1 平行四边形的性质及判定
第2课时 平行四边形的对角线的性质
B
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1．
如图，在平行四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，则下列结论中正确的是(　　)
A．AC＝DB
B．DO＝OB
C．∠BAC＝∠DAC
D．∠ACB＝∠BAC
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C
2．
如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是(　　)
A．12　
B．16　
C．24　
D．32
B
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3．
如图，在 ABCD中，AD＝5，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝12，则△BOC的周长为(　　)
A．10　
B．11
C．12
D．17
4．
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C
[2025武汉二模]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD，△ABE为正三角形，若∠ABC＝80°，则∠DEC的大小是(　　)
A．90°　
B．120°
C．140°　
D．160°
5．
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2
(答案不唯一)
平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n.若n为整数，则n的值可以为________________．(写出一个即可)
6．
(－4，－4)
如图，已知A(1，－3)，B(3，2)，C(－2，1)，则 ABCD的顶点D的坐标为__________．
【点拨】
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7．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD.
∴∠OBE＝∠ODF.
又∵∠BOE＝∠DOF，∴△OBE≌△ODF(ASA)．
∴OE＝OF.
如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.
(1)求证：OE＝OF.
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8．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为(　　)
【点拨】
【答案】B
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9．
9
[教材P161习题T5 ]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，已知BD＝8，BC＋OC＝5，则 ABCD的面积为________．
【点拨】
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10．
返回
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，P是边AC上的一个动点，以BC为对角线作平行四边形BPCD，则DP的长度最小为________cm.
11．
【点拨】
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12．
某学校的劳动菜园的平面示意图是 ABCD，如图①所示，两条主路AC，BD交于点O，经测量AB＝10 m，
AC＝24 m，BD＝20 m，请你解决以下问题：
(1)求劳动菜园的面积；
(2)如图②，综合实践李老师提出，再修建两条小道AM，CN对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在OD上，点N在OB上，且DM＝ON(点M与点O，D不重合)，李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在△AOM与△CON两个区域种植草莓，求种植草莓区域的面积．
【解】连接CM，如图②.
∵OA＝OC，∴S△AOM＝S△COM，
∴S△AOM＋S△CON＝S△COM＋S△CON＝S△CMN.
∵DM＝ON，∴MN＝MO＋ON＝OD，
∴S△CMN＝S△COD＝S△ABO＝48 m2，
∴种植草莓区域的面积为48 m2.
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13．
【解】(答案不唯一)作图如图所示．
在一次数学探究活动中，小明用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．
(1)请在图①中的三个平行四边形中画出满足小明分割方法的直线；
(2)根据小明的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有____组．由上述实验操作过程，你发现小明所画的两条直线的主要特点是______________________________________；
无数
两条直线都经过平行四边形对角线的交点
(3)拓展延伸：如图②，将一张平行四边形的纸片ABCD沿过对角线AC的中点O的直线EF折叠，折痕交边AD，BC于点E，F，点A落在点A1处，点B落在点B1处．设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，AD于点H，I.求证：EI＝FG.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，OA＝OC.
∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)．∴AE＝CF.
由折叠的性质得AE＝A1E，∠A1＝∠BAD，∠B1＝∠B，
∴A1E＝CF，∠A1＝∠BCD，∠B1＝∠D.
∵∠DHI＝∠B1HG，∴∠DIH＝∠B1GH.
又∵∠A1IE＝∠DIH，∠B1GH＝∠CGF，
∴∠A1IE＝∠CGF. ∴△A1IE≌△CGF(AAS)．∴EI＝FG.
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第六章　平行四边形
1 平行四边形的性质及判定
第4课时 利用对角线的关系判定平行四边形
C
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1．
如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是(　　)
A．∠1＝∠2
B．AD＝BC
C．OA＝OC
D．AD＝AB
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平行四边形
2．
BE＝DF(答案不唯一)
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3．
如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：_____________________，使四边形AECF是平行四边形．
4．
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长，交CB的延长线于点F，∠AEF＝∠CFE，AD＝BC．连接AF，EC，求证：四边形AFCE是平行四边形．
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【证明】∵∠AEF＝∠CFE，∴AD∥BC.
又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO.
∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形．
5．
【证明】∵OA＝OD，OE＝OF，
∠AOE＝∠DOF，
∴△AOE≌△DOF.∴∠A＝∠D.
又∵∠AOB＝∠DOC，OA＝OD，
∴△AOB≌△DOC.∴AB＝CD.
如图，AD，BC交于点O，EF过点O分别交AB，CD于点E，F，OA＝OD，OE＝OF.
(1)求证：AB＝CD；
(2)在图中，连接某些线段可以构成一个平行四边形，请你将可以构成的平行四边形一一列举出来．(不需要证明)
【解】连接AC，BD，可构成平行四边形ACDB；
连接AF，ED，可构成平行四边形AFDE；
连接EC，BF，可构成平行四边形ECFB.
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6．
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A
如图，在 ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，
则正确的方案是(　　)
A．甲、乙、丙
B．甲、乙
C．甲、丙　
D．乙、丙
7．
①②④
如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形．其中正确的结论是________．
【点拨】
由以上可得出：△CDF≌△ABE，△CDO≌△ABO，△CDE≌△ABF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△BOC等，故③错误．
∴正确的结论是①②④.
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8．
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4
如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段AB的端点在格点上， 要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画______个平行四边形．
9．
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B，顶点C都在x轴上，顶点A在y轴上，其中OA＝4，
OB＝3，AD＝6，E是线段OD的中点．
(1)求出C，D的坐标．
【解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC.∵点A在y轴上，OA＝4，∴点D的坐标为(6，4)．∵OB＝3，
∴OC＝BC－OB＝3，∴点C的坐标为(3，0)．
(2)平面内是否存在一点N，使以A，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
平面内存在一点N，使以A，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．点N的坐标为(－3，2)或(9，2)或(3，6).
【点拨】
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10．
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点(点E，F始终在 ABCD的外面)，连接AE，CE，CF，AF.
②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长；
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAC＝∠BCA.
∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA.
∴∠DCA＝∠DAC.∴AD＝CD.
∵OA＝OC，∴OE⊥AC.
∴OE是AC的垂直平分线．∴AE＝CE.
∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等边三角形．
∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10 cm.
由(1)可知，四边形AFCE为平行四边形，
∴C四边形AFCE＝2(AE＋CE)＝2×(10＋10)＝40(cm)．
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