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(共30张PPT)
第五章　分式与分式方程
全章热门考点整合应用
C
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1．
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A
2．
C
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3．
4．
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D
[2025榆林期末]下列式子中计算正确的是(　　)
5．
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A
6．
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7．
【点拨】
【答案】D
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8．
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9．
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B
10．
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D
11．
－1或2
【点拨】
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12．
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去分母，得2＋x(x＋1)＝x2－1，
去括号，得2＋x2＋x＝x2－1，
移项、合并同类项，得x＝－3，
经检验，x＝－3是原方程的根．
13．
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“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6 km和10 km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20 min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h，则依题意可列方程为____________．
14．
为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
【解】设该企业甲类生产线有x条，
则3x＋2(30－x)＝70，解得x＝10.则30－x＝20.
∴该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条．
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
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15．
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1
16．
【点拨】
【点方法】
本题先用含z的式子分别表示出x与y，然后代入所求式子消去x，y这两个未知数，从而简化求值过程，体现了转化思想．
. . . .
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17．
【点方法】
本题是类比思想的典范，分式的性质、运算顺序、运算律都可以类比分数的相关知识．
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第五章　分式与分式方程
阶段综合培优测
分式及分式的运算
C
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1．
一、选择题(每题4分，共32分)
2．
【点拨】
【答案】A
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3．
【点拨】
【答案】D
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4．
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B
5．
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C
节约用水，人人有责．某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m t，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水(　　)
6．
【点拨】
【答案】D
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7．
【点拨】
【答案】D
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8．
【点拨】
【答案】B
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9．
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1
(答案不唯一)
二、填空题(每题4分，共20分)
10．
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11．
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2
12．
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13．
100
在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁的节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数
【点拨】
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14．
(15分)化简下列式子：
三、解答题(共48分)
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15．
(1)上面的运算过程中第______步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
一
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16．
【点拨】
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17．
(13分) 有一块边长为x m的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮(图中阴影部分种植草皮)．
方式一：在正方形空地上留两条宽为2a m的互相垂直的路(如图①)；
方式二：在正方形空地四周各留一块边长为a m的小正方形空地种植树木(如图②)．
现准备用5 000元购进草皮，哪种方式种植草皮的单价高？较高的单价是较低的单价的多少倍？
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第五章　分式与分式方程
2 分式的运算
第4课时 分式的混合运算
D
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1．
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A
2．
如图，某同学不小心将作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“■”代表的是(　　)
－2
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3．
4．
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m－1(答案不唯一)
5．
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6．
【点拨】
【答案】D
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7．
有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复这种运算的过程如下：

则第n次的运算结果是______________(用含有字母x和n的代数式表示)．
【点拨】
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8．
【点拨】
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9．
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10．
小刚和小军在对上述式子进行化简后，小刚说：“M的值都比N的值大．”小军说：“N的值都比M的值大．”请你判断他们谁的结论正确，并说明理由．
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第五章　分式与分式方程
3 分式方程
第3课时 分式方程的实际应用
A
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1．
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B
2．
“行人守法，安全过街”反映了城市的文明程度．如图，官渡区森林公园路口的斑马线A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝8 m，在绿灯亮时，小官共用13 s通过AC路段，其中通过BC路段时的速度是通过AB路段时速度的1.6倍，则小官通过AB路段时的速度是(　　)
A．0.5 m/s B．1 m/s
C．1.5 m/s D．2 m/s
3．
我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
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4．
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D
甲、乙两个工程队共同承接一项工程，已知甲工程队单独完成时间比乙工程队单独完成时间少6天．若两个工程队同时施工4天后，再由乙工程队单独完成，则乙工程队一共所用的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同．则甲工程队单独完成这项工程所需的时间是(　　)
A．30天 B．28天
C．18天 D．12天
5．
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10
现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50 kg，两种糖的质量和单价如下表．商店以糖的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖________kg.
甲种糖 乙种糖
质量/kg 20 30
单价/元 25 15
6．
250
我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点
P的纵坐标是________．
【点拨】
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7．
书画装裱是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m．若装裱后AB与AD的比是8：5，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
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8．
(1)求每个A种挂件的价格；
(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
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9．
【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高20%；
素材二：用18 000元购买A种书架的数量比用9 000元购买B种书架的数量多6个；
【问题解决】
(1)求出A，B两种书架的单价；
(2)设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
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第五章　分式与分式方程
专项培优11 分式方程与其他知识的综合应用
1．
[2025重庆]列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
(1)该厂每天生产的甲、乙文创产品的数量分别是多少个？
【解】设该厂每天生产的乙文创产品的数量是x个，则每天生产的甲文创产品的数量是(x＋50)个．
由题意，得3(x＋50)＝4x＋100，解得x＝50.
则x＋50＝100.
所以该厂每天生产的乙文创产品的数量是50个，每天生产的甲文创产品的数量是100个．
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1 400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
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2．
[2025深圳期末]深圳市A高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和ETC通道同时开放．已知ETC通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过600辆车时，ETC通道比人工收费通道少用3小时．
(1)人工收费通道和ETC通道每小时分别通过多少辆车？
(2)如果A高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条ETC通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5 000辆车？
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3．
(1)求《孙子算经》《周髀算经》的单价分别为多少元；
(2)为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时总费用最少．
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4．
近日，某市考试院发布了《义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分标准(试行)》，2024年对于体育现场考试项目中的男生1 000 m和女生800 m的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3 min 55 s即可得到满分．
以下是该市某中学九年级(1)班体育期末模拟考的长跑成绩制成的频数分布表：
(1)表格中a＝________，九年级(1)班有________人，满分率为________．
20
成绩x/s 频数 频率
155≤x≤175 2 0.04
17519521523550
90%
(2)在一次计时跑步中，该班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800 m所用时间比这名男生跑完1 000 m所用时间少58 s，按照新考核标准来看，这名女生能否拿到满分？请说明理由．
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第五章　分式与分式方程
3 分式方程
第2课时 分式方程的解法
D
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1．
A．3＝－2x－5
B．3＝2x－5(1－2x)
C．3(2x－1)＝2x(1－2x)－5
D．3＝－2x－5(1－2x)
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C
2．
x＝5
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3．
4．
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－1
5．
【解】方程两边同时乘(x－1)(2x＋1)，
得2(2x＋1)＝3(x－1)，解得x＝－5.
经检验，x＝－5是原分式方程的根．
解方程：
方程两边同时乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，
解得x＝1. 经检验，x＝1是原方程的增根．
所以原分式方程无解．
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6．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
【解】第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立；
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7．
【点拨】
【答案】B
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8．
【点拨】
分式方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得(x－2)＋m(x＋2)＝2，整理得(1＋m)x＝4－2m.
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
①当1＋m＝0，即m＝－1时，整式方程无解，所以原分式方程无解；
【答案】B
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9．
【点拨】
【答案】C
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10．
【点拨】
【答案】B
返回
11．
－9或－5
【点拨】
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12．
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13．
返回(共16张PPT)
第五章　分式与分式方程
1 分式及其基本性质
第1课时 分式的定义
B
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1．
如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张圆形卡片，则卡片中的式子不是分式的是(　　)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
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C
2．
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是(　　)
C
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3．
当x＝－1时，分式M的值为0，则M可以是(　　)
4．
返回
有下列四个代数式：1，π，x2－1，x＋1，请从中任选两个，组成一个分式为______________．(只需写出
一个即可)
5．
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3
6．
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x>－3且x≠－2
7．
A．不等边三角形
B．腰与底边不相等的等腰三角形
C．等边三角形
D．直角三角形
【点拨】
【答案】B
依题意得(ab－ac)＋(bc－b2)＝0且a－c≠0，整理得(b－c)(a－b)＝0且a≠c，∴b＝c或a＝b且a≠c，故该三角形是腰与底边不相等的等腰三角形．
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8．
【点拨】
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9．
①③④
【点拨】
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10．
返回(共17张PPT)
第五章　分式与分式方程
2 分式的运算
第2课时 同分母分式的加减
A
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1．
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D
2．
1
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3．
4．
返回
5．
返回
4
甲、乙两个仓库分别存储某种原料(6m＋5n)吨、(2m＋n)吨，如果每天从两个仓库运出相同的原料，都是(m＋n)吨，那么甲仓库比乙仓库多运________天．
【点拨】
6．
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7．
返回
B
8．
B
【点拨】
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9．
返回
B
10．
返回
m2
11．
1
【点拨】
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12．
返回(共10张PPT)
第五章　分式与分式方程
3 分式方程
第1课时 认识分式方程
B
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1．
返回
a≠2
2．
返回
3．
4．
返回
A
秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图①和图②，欣欣通过对比两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把直尺有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程为(　　)
5．
课堂练习：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为40元，春节期间对该种瓶装饮料进行促销活动，买一箱送四瓶，这相当于每瓶按原价的八折销售，则这家超市销售该种瓶装饮料的原价是每瓶多少元，装箱数量是每箱多少瓶？”以下为四名同学列出的方程，正确的是(　　)
【点拨】
【答案】B
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6．
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为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y(单位：元)与行驶路程s(单位：km)的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为______________．
7．
返回(共12张PPT)
第五章　分式与分式方程
专项培优10 分式方程的特殊解法
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1．
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2．
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3．
4．
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5．
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6．
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7．
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8．
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9．
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10．
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11．
返回(共27张PPT)
第五章　分式与分式方程
1 分式及其基本性质
第2课时 分式的基本性质
C
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1．
返回
C
2．
[教材P125例3 ]下列约分结果正确的是(　　)
D
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3．
4．
返回
A
5．
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6．
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3
7．
返回
10
8．
返回
6a2
[教材P126随堂练习T1 ]利用分式的基本性质填空：
a－2
2a
9．
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10．
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11．
返回
C
【点拨】
12．
返回
C
13．
【点拨】
【答案】D
返回
14．
5
【点拨】
返回
15．
返回
直角
【点拨】
16．
【点拨】
返回
17．
如图为某社区的一块正方形空地，由四块长为a，宽为b的长方形空地与一块小正方形水池拼接而成，为创建生态社区，小明为该空地设计了甲、乙两种绿化方案(如图①②)，其中阴影部分都用于绿化，S甲，S乙分别表示图①，②中绿化的面积．
(1)S甲＝____________，S乙＝____________；(用含a，b的代数式表示)
2ab
2ab－b2
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18．
①③
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b
a
b
a
a
b
a
b
①
2(共19张PPT)
第五章　分式与分式方程
专项培优9
分式化简求值的常用技法
1．
【点方法】
直接通分，极其烦琐．通过观察，发现各个分式并非最简分式，可先化简，化简后再计算会简便许多．
返回
返回
2．
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3．
4．
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5．
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6．
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7．
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8．
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9．
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10．
【点方法】
若将除式与被除式调换位置，能够约分化简，则可利用倒数的倒数等于原数这一特点来化简．
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11．
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12．
【点方法】
设辅助参数，利用整体代入法将要求的分式转化为含辅助参数的分式，然后约分可求出其值．
. . . . .
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13．
【点方法】
确定一个字母为已知数，通过解二元一次方程组求出方程组的解，用已知字母表示未知字母，再代入待求式子求值．
返回(共27张PPT)
第五章　分式与分式方程
2 分式的运算
第3课时 异分母分式的加减
D
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1．
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A
2．
A
返回
3．
4．
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C
5．
返回
6x2
6．
乙
[教材P134例6] 一条笔直的公路依次经过A，B，C三地，甲、乙分别同时从A，B地出发到C地，AB＝100 m，
BC＝200 m，设甲速度为a m/min，乙速度为
b m/min(3b>2a)，那么________先到达C地(填“甲”或“乙”)．
【点拨】
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7．
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8．
【点拨】
【答案】A
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9．
【点拨】
【答案】D
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10．
返回
1
【点拨】
11．
甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800 kg，乙每次用去600元，而不管购买多少面粉．设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg(a，b是正数，且a≠b)，那么甲所购面粉的平均单
价是________元．在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为
____________．(结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式)
【点拨】
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12．
13．
【解】∵A＝a2＋2b，B＝2b－1，
∴A－B＝a2＋2b－(2b－1)＝a2＋1>0.
已知b>a>0.
(1)若A＝a2＋2b，B＝2b－1，试比较A－B与0的大小．
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14．
　【解决问题】
(1)容器中的1 L水______倒完；(填“能”或“不能”)
不能
(2)若目前共倒了30次水，求此时倒出的总水量；
返回(共28张PPT)
第五章　分式与分式方程
2 分式的运算
第1课时 分式的乘除法
A
返回
1．
返回
C
2．
3．
【点拨】
【答案】B
返回
4．
【点拨】
【答案】C
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5．
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6．
返回
－y
7．
[教材P130随堂练习T1] 计算下列各题：
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8．
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9．
返回
C
10．
返回
A
11．
老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四名同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．接力中，自己负责的一步出现错误的同学是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【点拨】
【答案】B
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12．
【点拨】
【答案】B
返回
13．
【点拨】
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14．
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15．
涪陵是举世闻名的“榨菜之乡”，今年榨菜更是喜获丰收．为了选育更好的榨菜品种，农民伯伯们开始自己建试验田，如图，王大伯家的试验田是边长为a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，李大爷家试验田是边长为(a－1) m的正方形，两块试验田的榨菜最后都分别收获了1 000 kg.
(1)哪家的榨菜品种单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
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16．
【解】由(2)知m7＋m6＋m5＋m4＋m3＋m2＋m＋1＝(m＋1)·(m2＋1)(m4＋1)，当m＝2时，有27＋26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)＝3×5×17.
∵1＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＝a·b·c·d，
∴a·b·c·d＝1×3×5×17.
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