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(共15张PPT)
第一章　三角形的证明
专项培优1 等腰三角形中的分类讨论问题
C
1．
【点方法】
根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角进行分类讨论．
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. . . .
50°或65°或80°
2．
如图，大小两个量角器的零刻度线在同一条直线上，点P是大量角器上一点，对应的度数是130°，若△APB是等腰三角形，则PB与小量角器的交点在小量角器上对应的度数为_____________.
【点拨】
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12或8
3．
定义：若三角形满足其中两边长之和等于第三边长的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形ABC是三倍三角形，且其中一边长为3，则△ABC的周长为____________.
【点拨】
当底边长是3时，若两腰长的和是底边长的三倍，则两腰长的和为9，满足三角形三边关系，所以此时△ABC的周长是9＋3＝12；若腰长与底边长的和是腰长的三倍，设腰长为x，则x＋3＝3x，解得x＝1.5，不满足三角形三边关系；当腰长是3时，若两腰长的和是底边长的三倍，则底边长是2，满足三角形三边关系，所以此时△ABC的周长是3＋3＋2＝8；若腰长与底边长的和是腰长的三倍，设底边长为y，则3＋y＝3×3，解得y＝6，不满足三角形三边关系．综上，△ABC的周长为12或8.
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4．
在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，若AB＋BH＝CH，∠ABH＝70°，求∠BAC的度数.
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5．
32°或152°或88°
在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D, 交直线AC于点E，连接BE.若∠EBC＝42°，则∠BAC的度数为_______________.
【点拨】
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6．
在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，P是边BC上的动点(不与点B，C重合)，连接AP，将△APC沿AP翻折得到△APD，展开后连接DC，记∠BCD＝α.
(1)如图，当点P与点E重合时，求α的度数；
【解】∵∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°.
∵AE平分∠BAC，点P与点E重合，
△APC沿AP翻折得到△APD，∴点D在AB边上，AC＝AD.
∴∠ACD＝∠ADC＝(180°－∠BAC)÷2＝65°.
∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°.
(2)当点P与点E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系.
【解】 ①当点P在线段BE上时，如图①所示．
∵将△APC沿AP翻折得到△APD，
∴AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD.
∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°－α.
又∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，
∠BAD＝β，∠B＝40°，∠BCD＝α，
∴(90°－α)＋β＝40°＋α.∴2α－β＝50°；
②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图②所示．
同①可得∠ADC＝∠ACD＝90°－α.
又∵∠ADC＝∠AFC＋∠BCD，∠AFC＝∠ABC＋∠BAD，
∠ABC＝40°，∠BAD＝β，∠BCD＝α，
∴∠ADC＝∠ABC＋∠BAD＋∠BCD＝40°＋β＋α.
∴90°－α＝40°＋α＋β.∴2α＋β＝50°.
综上所述，当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；
当点P在线段CE上时，2α＋β＝50°.
当点的位置不确定时，需分类讨论，
点P可能在线段BE上，也可能在线段CE上．
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. . . .(共12张PPT)
第一章　三角形的证明
4 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线
A
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1．
如图是一块三角形的草坪，点A，B，C处各种一棵树，现要建一灌溉出水口，要使出水口到三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在(　　)
A．三边的垂直平分线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条高所在直线的交点处
D．三条中线的交点处
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A
2．
若三角形三边垂直平分线的交点在三角形的某一边上，则该三角形是(　　)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
B
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3．
如图，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，则下列四种不同的作图方法中正确的是(　　)
4．
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110°
如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点D，若∠BDC＝140°，则∠BAC的大小是________.
5．
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【解】等腰直角三角形ABC
如图所示．(答案不唯一)
如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，作
一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上．(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法)
6．
【点拨】
【答案】B
由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则∠BOC＝∠BOE＝90°.∵BP平分∠ABC，∴∠CBO＝∠ABO，又∵OB＝OB，∴△BOC≌△BOE.∴OC＝OE，BC＝BE＝12.∴BD垂直平分CE，AE＝AB－BE＝4.∴DE＝CD.∴△ADE的周长为AE＋DE＋AD＝AE＋AD＋CD＝AE＋AC＝14.
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7．
12
【点拨】
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8．
如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上一点E作AD的垂线EF，EF与AB的延长线交于点F，EF∥BC，点O在AD上，且AO＝CO.求证：O是△ABC三边垂直平分线的交点.
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【证明】如图，连接OB.
∵D是△ABC的边BC的中点，
∴BD＝CD.
∵BC∥EF，AD⊥EF，
∴AD⊥BC.∴BO＝CO.
∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO.
∴O是△ABC三边垂直平分线的交点．(共31张PPT)
第一章　三角形的证明
阶段综合培优测 线段的垂直平分线和角平分线
A
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1．
如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥CD于E，PF⊥AB于F.若PE＝PF，∠AOC＝50°，则∠AOP的度数为(　　)
A．65°
B．60°
C．40°　
D．30°
一、选择题(每题4分，共32分)
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D
2．
如图，在△ABC中，BC＝8，△ABC的周长为20，BC边的垂直平分线交AB于点E，则△AEC的周长为(　　)
A．24　
B．20
C．16　
D．12
C
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3．
直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是(　　)
4．
如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是(　　)
A．15°
B．20°
C．10°
D．25°
【点拨】
【答案】C
如图所示，连接OA.∵∠BAC＝80°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝100°.∵AB，AC的垂直平分线l1，l2交于点O，∴OA＝OB＝OC.∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.∴∠OBA＋∠OCA＝∠OAB＋∠OAC＝∠BAC.∴∠OBC＋ ∠OCB＝100°－(∠OBA＋∠OCA)＝100°－∠BAC＝20°.∴∠OBC＝10°.
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5．
如图，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM＝MP＝6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是(　　)
A．8
B．10
C．12
D．6
【点拨】
【答案】D
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6．
如图，△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是8，12，16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC为(　　)
A．4∶3∶2
B．5∶3∶2
C．2∶3∶4
D．3∶4∶5
【点拨】
【答案】A
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7．
【点拨】
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【答案】D
8．
如图，BE平分△ABC的外角∠ABD，F是AC的中点，过点F作AC的垂线交BE的反向延长线于点G，连接CG.若∠ABC＝80°，则∠ACG的度数是(　　)
A．45°
B．50°
C．60°
D．65°
【点拨】
如图，连接AG交BC于点H，过点G作GM⊥BC，垂足为M，作GN⊥AB交AB的延长线于点N.∵F是AC的中点，且GF⊥AC，∴FG是线段AC的垂直平分线．∴AG＝GC.∵BE平分△ABC的外角∠ABD，∴易知BG平分∠NBC.
又∵GM⊥BC，GN⊥AB，
∴GN＝GM.
【答案】B
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9．
[2025成都]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________.
二、填空题(每题5分，共20分)
【点拨】
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10．
①②④
如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，连接RS，PQ，AP.若AQ＝PQ，PR＝PS，则下面四个结论中：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS.正确结论的序号是________.
【点拨】
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11．
65
如图，点A为∠MON的平分线上的一点，过A任意作一条直线分别与∠MON的两边相交于B，C，BC的垂直平分线交射线OA于点D，交BC于点P.若∠MON＝115°，则∠BDC的度数为________°.
【点拨】
过点D作DE⊥OM于点E，DF⊥ON于点F，则∠DEB＝∠DFC＝∠DFO＝90°.∵∠MON＝115°，∴∠EDF＝360°－90°－90°－115°＝65°.∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，∴DE＝DF.∵DP为BC的垂直平分线，∴BD＝CD.∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．∴∠EDB＝∠CDF.∴∠BDC＝∠BDF＋∠CDF＝∠BDF＋∠EDB＝∠EDF＝65°.
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12．
2
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC和∠ABC的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB交AB于点E.若BC＝5，
AC＝12，则PE＝________.
【点拨】
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13．
(14分)如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，且B，O，C在一条直线上，∠AOB＝∠COD，连接AC，BD交于点M，连接OM.求证：点O在∠CMB的平分线上.
三、解答题(共48分)
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【解】∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＋∠AOD＝∠COD＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD.
又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)．
∴∠OCA＝∠ODB.
如图，过点O分别作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，
则∠OGC＝∠OHD＝90°.
∴△OCG≌△ODH(AAS)．∴OG＝OH.
∴MO平分∠CMB.∴点O在∠CMB的平分线上．
14．
(16分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P，D分别在AC，AB上，且PD＝PA，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接PE，DE.
(1)求证：DE⊥PD；
【证明】∵PD＝PA，∴∠PDA＝∠A.
∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB.∴∠EDB＝∠B.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.∴∠PDA＋∠EDB＝90°.
∴∠PDE＝90°.∴DE⊥PD.
(2)若AC＝10，BC＝12，PA＝3，求线段DE的长.
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15．
(18分) 图①是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE.
(1)如图②，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，画射线AF，交BC于点P，AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由.
【解】AP是∠BAC的平分线．理由如下：
∵AD＝AE，FD＝FE，AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF(SSS)．∴∠DAF＝∠EAF.
∴AP是∠BAC的平分线．
(2)如图③，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长.
返回(共20张PPT)
第一章　三角形的证明
专项培优2 构造等腰三角形的方法技巧
1．
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为BC的延长线上一点，DE与AC交于点F.若F为DE的中点，求证：AF＝AD＋CF.
【证明】过点D作DN∥BC交AC于点N，
则∠ADN＝∠B，∠AND＝∠ACB.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∴∠ADN＝∠AND.∴AD＝AN.
∵DN∥BC，∴∠DNF＝∠FCE.
∵F为DE的中点，∴DF＝EF.
又∵∠DFN＝∠EFC，∴△DFN≌△EFC.∴NF＝CF.
∵AF＝AN＋NF，∴AF＝AD＋CF.
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2．
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点(不与点A，点B重合)，PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N.试猜想PN与BM之间的数量关系，并证明.
【解】猜想：PN＝2BM.证明如下：
如图，过点P作PE∥AC，交BC于点E，交BD于点F.
∵BD⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABD＝45°.
∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC＝45°，
PFB＝∠BDA＝∠BDC＝∠BFE＝90°，∠PEB＝∠C.
∴∠BPE＝∠PBF，∠FEB＋∠FBE＝90°.
∴PF＝BF.
∵PM⊥BC，∴∠FEB＋∠MPE＝90°.
∴∠MPE＝∠FBE.
∴△PNF≌△BEF.∴PN＝BE.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.
∴∠PEB＝∠ABC.∴PB＝PE.
∵PM⊥BC，∴BE＝2BM.∴PN＝2BM.
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3．
如图，在△ABC中，AB＝8，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于点F.若CF＝10，求AC的长.
【解】延长FM到点N，使MN＝MF，连接BN，
延长MF交BA的延长线于点E，则易得△BMN≌△CMF，
∴BN＝CF，∠N＝∠MFC.
∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，
∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N.
∴AE＝AF，BN＝BE.
∴AB＋AC＝AB＋AF＋FC＝AB＋AE＋FC＝
BE＋FC＝BN＋FC＝2FC.
又∵AB＝8，CF＝10，∴AC＝2FC－AB＝20－8＝12.
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4．
如图，AD 是∠BAC 的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于点D．求证：ED平分∠AEB．
【证明】如图，延长AD交BC于点F.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠DFE＝∠B＋∠BAD，
∠DAE＝∠EAC＋∠CAD，∠B＝∠EAC，
∴∠DFE＝∠DAE.∴AE＝FE.
又∵ED⊥AD，∴ED平分∠AEB.
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5．
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，BE与AD交于点F，若∠FAE＝∠AFE.求证：AC＝BF.
【证明】如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG.
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD.
又∵∠BDG＝∠CDA，DG＝DA，
∴△BDG≌△CDA(SAS)．
∴BG＝AC，∠CAD＝∠G.
∵∠FAE＝∠AFE，∠BFG＝∠AFE，
∴∠CAD＝∠BFG.∴∠G＝∠BFG. ∴BG＝BF.∴AC＝BF.
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6．
在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于点E.
(1)如图①，当∠BAC＝108°时，求证：BC＝AB＋CE；
(2)如图②，当∠BAC＝100°时，(1)中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC？若有，请写出结论并完成证明.
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7．
【问题背景】如图①，在△ABC中，∠B＝2∠C，D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在AB，BD，CD，AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系.
例如：当AB＝AD时，可证得AB＝DC．现在继续探索：
(1)当AD⊥BC时，如图②，求证：AB＋BD＝DC；
【证明】如图①，在DC上截取DM＝BD，连接AM.
∵BD＝DM，∠ADB＝∠ADM＝90°，AD＝AD，
∴△ABD≌△AMD(SAS)．
∴AB＝AM，∠B＝∠AMB.
又∵∠AMD＝∠MAC＋∠C，∠B＝2∠C，
∴∠C＝∠MAC.
∴AM＝MC.∴MC＝AB.
∴AB＋BD＝MC＋DM＝DC.
(2)当AD是∠BAC的平分线时，如图③，判断AB，BD，AC的数量关系，并证明你的结论.
【解】AB＋BD＝AC.证明如下：
如图②，延长AB到M，使BM＝BD，连接MD，
则易知∠ABD＝∠M＋∠BDM＝2∠M.
∵∠ABD＝2∠C，∴∠M＝∠C.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵AD＝AD，∴△AMD≌△ACD(AAS)．
∴AM＝AC.∴AB＋BD＝AB＋BM＝AC.
返回(共30张PPT)
第一章　三角形的证明
5 角平分线
第1课时 角平分线的性质与判定
C
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1．
已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(　　)
2．
[2025江门月考]如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C的度数为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【点拨】
【答案】C
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6
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3．
4．
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3 cm
小明将两把完全相同的直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2 cm，5 cm，则OC的长度是____________.
5．
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6．
如图，CB＝CD，∠D＋∠ABC＝180°，CE⊥AD于点E.
(1)求证：AC平分∠DAB；
【证明】如图，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.
∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°.
∵∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF.
又∵CD＝CB，
∴△CDE≌△CBF(AAS)．
∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB.
(2)若AE＝10，DE＝4，求AB的长.
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7．
[2025合肥蜀山区期末]如图，分别以△ABC的边AB，AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABD，ACE，连接BE，CD，BE，CD交于点F，连接AF.下列结论中不一定成立的是(　　)
A．BE＝CD
B．∠EFC＝90°
C．FA平分∠BFC
D．∠DAF＝∠DCA
. . . . .
【点拨】
【答案】D
由题意得AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴易得∠BAE＝∠DAC，∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝CD，故A正确，不符合题意；如图①.∵△BAE≌△DAC，∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4，∴∠DFB＝∠DAB＝90°，∴∠EFC＝90°，故B正确，不符合题意；如图②，过点A作AM⊥BE于点M，作AN⊥DC于点N.∵△BAE≌△DAC，∴S△BAE＝S△DAC.∵BE＝CD，∴AM＝AN.∴FA平分∠BFC，故C正确，不符合题意；现有条件不足以证明∠DAF＝∠DCA，故D符合题意，故选D.
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8．
如图，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线上有一点P，PM∥AB，PD⊥AB，PM＝6，则AD＝______________.
【点拨】
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9．
40
如图，AB∥CD，BP，CP分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8 cm，BC＝10 cm，则四边形ABCD的面积是________cm2.
【点拨】
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10．
39°
如图，AE是∠CAM的平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的垂直平分线，交AE于点E，交BC于点D， EF⊥AM于点F.若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝________.
【点拨】
如图，连接CE，过点E作ER⊥AC于点R，交CD于点Q，设AE交BC于点O.因为DE是线段BC的垂直平分线，所以∠EDB＝90°，CE＝BE，所以∠ECB＝∠CBE＝25°，∠DEB＝90°－25°＝65°.因为ER⊥AC，ED⊥BC，所以∠QRC＝∠QDE＝90°，所以∠ACB＋∠CQR＝90°，∠EQD＋∠QED＝90°.因为∠CQR＝∠EQD，所以∠QED＝∠ACB＝26°.
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11．
(1)如图①，点N在BC的延长线上，∠ABC的平分线与∠ACN的平分线交于点D，求证：∠BAC＝2∠D；
(2)如图②，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，∠ABC的平分线与∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.连接AD，求证：AD平分∠CAM；
【证明】如图①，过点D作DP⊥BM于点P，DQ⊥AC于点Q，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACN，
∴DP＝DE，DQ＝DE，∴DP＝DQ，
∴AD平分∠CAM.
(3)如图③，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，2∠ACD＋∠ACB＝180°，若∠BDC＝20°，求∠DAC的度数.
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12．
AE＝BD
【问题情境】在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°.
(1)【初步探究】如图①，当点A，C，D在同一条直线上时，连接BD，AE，延长AE交BD于点F，则AE与BD的数量关系是____________，位置关系是____________；
AE⊥BD
(2)【类比探究】如图②，当点A，C，D不在同一条直线上时，连接AE，BD，BD交AE于点F，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.
【解】成立．理由：如图①，
因为∠ACB＝∠ECD，
所以∠ACB＋∠ACD＝∠ECD＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.
又因为AC＝BC，EC＝DC，
所以△ACE≌△BCD(SAS)，
所以∠1＝∠2，AE＝BD.
因为∠3＝∠4，所以∠BFA＝∠BCA＝90°，
所以AE⊥BD.
(3)【衍生拓展】如图③，在(2)的条件下，连接AD，CF，并延长CF交AD于点G，则∠AFG的大小固定吗？若固定，求出∠AFG的度数；若不固定，请说明理由.
返回(共28张PPT)
第一章　三角形的证明
1 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
B
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1．
如图，CE是 △ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°， ∠DCE＝55°，则∠A等于(　　)
A．65°
B．75°
C．85°
D．95°
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B
2．
[2025福建]某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　　)
A．5° B．15°
C．25° D．35°
D
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3．
如图，已知△ABC，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，D在边BC的延长线上，连接DE，则下列结论中不一定正确的是(　　)
A．∠1＞∠2
B．∠1＞∠3
C．∠3＞∠5
D．∠4＞∠5
4．
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234°
如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角，若∠A＝54°，则∠CBE＋∠BCF的度数为________.
5．
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50°
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP，CP分别平分△ABC的外角∠NAC，∠ACM，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是________.
6．
一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°.李师傅量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
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【解】延长BC与AD相交于点E.
∵∠CED是△ABE的外角，∠A＝90°，∠B＝20°，
∴∠CED＝∠B＋∠A＝110°.
∵∠D＝30°，∴∠BCD＝∠CED＋∠D＝140°.
∵李师傅量得∠BCD＝142°，不是140°，
∴这个零件不合格．
7．
如图，一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1＝160°，∠2＝25°，则∠3的度数是(　　)
A．50°
B．60°
C．45°
D．40°
【点拨】
【答案】C
如图．∵AB∥OF，∠1＝160°，∴∠4＝180°－∠1＝20°.
∵∠POF＝∠2＝25°，∴∠3＝∠POF＋∠4＝25°＋20°＝45°.
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8．
返回
A
如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点，∠D＋∠E＋∠F＝107°，则∠1＋∠2＋∠3的度数为(　　)
A．73°
B．63°
C．83°
D．93°
9．
如图，点A在y轴上，点B在x轴上，∠OAB的平分线交△OAB的外角∠OBD的平分线于点C，则∠C的度数是(　　)
A．30°
B．45°
C．50°
D．60°
【点拨】
【答案】B
∵∠OAB的平分线交△OAB的外角∠OBD的平分线于点C，∴∠OAB＝2∠BAC，∠OBD＝2∠CBD.∵∠OBD＝∠OAB＋∠AOB，∠CBD＝∠BAC＋∠C，∴∠OAB＋∠AOB＝2∠CBD＝2∠BAC＋2∠C.∴∠AOB＝2∠C.∵∠AOB＝90°，∴∠C＝45°.
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10．
120°
如图，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB．若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为________.
【点拨】
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11．
30°
如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CEF＝30°.为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，且∠CAB，∠CBA，∠E的大小保持不变，则∠D应调整为________.
【点拨】
连接CF，并延长至点M.在△ABC中，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝70°.∴∠DCE＝∠ACB＝70°.∵∠DFM＝∠DCF＋∠D，∠EFM＝∠ECF＋∠E，∴∠EFD＝∠DCF＋∠ECF＋∠D＋∠E＝∠DCE＋∠D＋∠E，即130°＝70°＋∠D＋30°.∴∠D＝30°.
返回
12．
如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2……以此类推得到∠A2 025，则∠A2 025的度数是________.
【点拨】
返回
13．
如图，在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．
(1)猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；
(2)作△ABC的外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F，求证BF∥OD．
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14．
85°或100°
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫作∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”.
(1)如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝__________.
(2)如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数.
(3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P.若∠A＝m°，∠ABC＝n°，请直接写出∠BPC的度数(用含n，m的代数式表示).
【点拨】
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第一章　三角形的证明
3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
B
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1．
下列说法错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题
D．定理的逆定理一定是真命题
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B
2．
C
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3．
如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是(　　)
A．169　
B．144
C．25　
D．16
4．
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A
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，在下列条件中，不能确定△ABC的形状是直角三角形的是(　　)
5．
返回
6．
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0.5
7．
返回
B
将一副直角三角尺和一把宽度为2的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的45°和60°角的顶点及它们的一条直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺的下沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是(　　)
8．
C
【点拨】
返回
9．
135°
在如图所示的正方形网格中(每个正方形的边长均为1)，点A，B，C，D，E分别是网格线的交点，则∠ABC＋∠DAE的度数为________.
【点拨】
如图，取格点F，连接AF，BF，由勾股定理得BF2＝AF2＝12＋22＝5，AB2＝12＋32＝10，∴BF2＋AF2＝AB2.∴∠AFB＝90°.∴△AFB是等腰直角三角形．∴∠ABF＝45°.∵BG＝AE，∠FGB＝∠DEA＝90°，FG＝DE＝2，∴△BGF≌△AED(SAS)． ∴∠FBG＝∠DAE.∴∠ABC＋∠DAE＝∠ABC＋∠FBG＝180°－∠ABF＝135°.
返回
10．
4或9或16
如图①是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案，它是由图②的一串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.现把图②中的直角三角形继续作下去．若OAn的长是整数，且1＜n＜20，则符合条件的n的值是______________.
【点拨】
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11．
A
定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2＋b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”. (1)对于①等边三角形；②直角三角形．下列说法一定正确的是(　　)
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②一定都是“方倍三角形”
D．①②一定都不是“方倍三角形”
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12．
如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从点B出发沿射线BC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．连接AP.
(1)当t＝3时，求AP的长度；(结果保留根号)
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，当t为何值时，DE＝CD？
在Rt△APC中，82＋(16－2t)2＝(20－2t)2，解得t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，如图②，连接PD.
同①得AE＝4，
PE＝PC＝2t－16，AP＝AE＋PE＝2t－12.
在Rt△APC中，82＋(2t－16)2＝(2t－12)2，解得t＝11.
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，DE＝CD.
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第一章　三角形的证明
1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
A
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1．
如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.85°
B．80°
C．75°
D．70°
返回
C
2．
[教材P3例1 ]如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝40°，CD是∠ACB的平分线，则∠ADC＝(　　)
A.80°
B．75°
C．70°
D．60°
D
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3．
具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)
4．
返回
B
当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，称α为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为(　　)
A.15° B．30°
C．60° D．45°
5．
返回
B
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD上一点，连接CE，AB＝CE，∠B＝∠CED，若BD＝4，AE＝2，则CD的长为(　　)
A.5
B．6
C．7
D．8
6．
返回
75°
如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是燃气管道，为了不影响管道，准备在B处和C处开工挖出“V”字形通道．若∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，则∠A的度数是________.
7．
110°
【点拨】
返回
8．
【解】如图，根据题意可得
∠1＝60°，∠3＝30°.∵AE∥DB，
∴∠2＝∠3＝30°，
∴∠ABC＝180°－60°－30°＝90°.
如图，点C在点B的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏西30°方向上，点B在点A的北偏东30°方向上.
(1)求∠ABC的大小；
(2)求∠C的大小.
∵∠3＝30°，∠4＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝180°－90°－30°－30°＝30°.
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9．
如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，光线经过镜子反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4.若∠α＝68°，则∠β的度数是(　　)
A.44°
B．45°
C．46°
D．47°
【点拨】
【答案】A
如图，∵∠α＝68°，∴∠2＋∠3＝180°－∠α＝180°－68°＝112°.∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2×112°＝224°.∴∠5＋∠6＝180°－(∠1＋∠2)＋180°－(∠3＋∠4)＝360°－224°＝136°.∴∠β＝180°－(∠5＋∠6)＝44°.
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10．
如图，在△ABC中，点D在BC上，点E，F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B＝∠DFB，∠G＝∠DEG，若∠BEG＝29°，则∠BDE的度数为(　　)
A.61°
B．58°
C．65.5°
D．59.5°
【点拨】
【答案】B
设∠DFB＝x°.∵ ∠B＝∠DFB，∠GFE＝∠DFB，∴∠B＝∠GFE＝∠DFB＝x°.∴∠BDF＝(180－2x)°.∵∠BEG＝29°，∴∠G＝(151－x)°.∵ ∠G＝∠DEG，∴∠EDF＝(2x－122)°.∴∠BDE＝∠BDF＋∠FDE＝(180－2x)°＋(2x－122)°＝58°.
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11．
[2025济宁月考]如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝68°，E是△ABC的角平分线CF延长线上一动点(不与点F重合)，过点E作ED⊥AB于点D，当点E运动时，∠E的度数(　　)
A.随点E的运动而变化，离点F越近，度数越大
B.不变，为16°
C.随点E的运动而变化，离点F越远，度数越大
D.不变，为14°
【点拨】
【答案】D
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12．
(－1，3)
如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(3，1)，
OA＝OB，∠AOB＝90°，则点A的坐标是____________.
【点拨】
如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
过点B作BD⊥x轴于点D，∴∠ACO＝∠ODB＝90°.∴∠OAC＋∠AOC＝90°.∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°.∴∠OAC＝∠BOD.又∵OA＝OB，∴△AOC≌△OBD(AAS)．∴OC＝BD，AC＝OD.∵点B的坐标为(3，1)， ∴OD＝3，BD＝1.∴AC＝3，OC＝1.又∵点A在第二象限，∴点A的坐标是(－1，3)．
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13．
25
如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D为AB边上一点，将△BCD沿CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是________°.
【点拨】
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14．
【证明】∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF.
∵AF∥CE，∴∠E＝∠BAF.
∴∠E＝∠CAF.
又∵∠D＝∠E，
∴∠D＝∠CAF.∴BD∥AF.
如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，点D，E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E.
(1)求证：BD∥AF；
(2)若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠ACF的度数.
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15．
90°
[2025南通期末]已知AD为△ABC的角平分线，点E在AD上(不与A，D重合)，∠BED＝∠BDE，延长BE交AC于点F.
(1)如图①，若∠ABC＝90°，则∠BFC的度数为________；
(2)当∠ABC≠90°时，求证：∠ABC＋∠BFC＝180°；
【证明】∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠FAD.
∵∠BED＝∠BDE，∠BED＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠BDE. ∵∠AFB＝180°－∠AEF－∠FAD，
∴∠BFC＝180°－∠AFB＝∠AEF＋∠FAD.
∴∠BFC＝∠BDE＋∠BAD.
∵∠BDE＋∠BAD＋∠ABC＝180°，
∴∠BFC＋∠ABC＝180°.
(3)如图②，∠ACB的平分线交BF于点G，请用一个等式表示∠CGF，∠ABC，∠ACB三个角之间的数量关系，并说明理由.
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第一章　三角形的证明
5 角平分线
第2课时 三角形的内角平分线
A
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1．
如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线交于点O，AB＝12 cm，BC＝9 cm，若△ABO的面积为18 cm2，则△BOC的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A．13.5 cm2
B．18 cm2
C．24 cm2
D．27 cm2
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6
2．
如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成
一个直角三角形，两直角边AC，BC的长分别为6 m和
8 m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线段)是________m.
6
3．
如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，BE与CD交于点O，若过点O的直线MN平分△ABC的面积，那么CM＋CN的值为________.
【点拨】
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4．
①②③
【点拨】
∵OM＝OR＝OS，∴三角形内部有一个点O到直线AB，AC，BC的距离相等，如图③所示，作△ABC外角的平分线BP1，AP1，交于点P1.过点P1作P1N1⊥BC，P1N2⊥AB，P1N3⊥AC，由角平分线的性质定理可得P1N1＝P1N2＝P1N3，同理可得，三角形外部共有3个点到直线AB，AC，BC的距离相等，∴共有4个点到直线AB，AC，BC的距离相等，故④错误；综上所述，正确的有①②③.
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5．
[2025北京汇文中学月考]已知点C是∠MAN平分线上的一点，∠BCD的两边CB，CD分别与射线AM，AN相交于B，D两点，且∠ABC＋∠ADC＝180°，过点C作CE⊥AB，垂足为E.
(1)如图①，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
【证明】如图①，过点C作CF⊥AD，垂足为F.
因为AC平分∠MAN，CE⊥AB，所以CE＝CF.
因为∠CBE＋∠ADC＝180°，∠CDF＋∠ADC＝180°，
所以∠CBE＝∠CDF.
又因为∠CEB＝∠CFD＝90°，
所以△BCE≌△DCF.所以BC＝DC.
(2)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段AB，AD与BE之间的数量关系；
【解】AD－AB＝2BE.
【点拨】
如图②，过点C作CF⊥AD，垂足为F.因为AC平分∠MAN，CE⊥AB，所以CE＝CF.又因为AC＝AC，所以Rt△ACE≌Rt△ACF，所以AE＝AF.因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBE＝180°，所以∠CDF＝∠CBE.又因为∠CEB＝∠CFD＝90°，所以△BCE≌△DCF，所以BE＝DF，所以AD＝AF＋DF＝AE＋DF＝
AB＋BE＋DF＝AB＋2BE，所以AD－AB＝2BE.
(3)如图③，在(2)的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BK交AD于点K，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G，若BG＝1，DK＝2，求线段DB的长.
【解】如图③，在BD上截取BH＝BG＝1，连接OH.
因为BK平分∠ABD，所以∠OBH＝∠OBG.
又因为OB＝OB，所以△OBH≌△OBG，
所以∠OHB＝∠OGB，∠BOH＝∠BOG.
因为AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，
所以DO是∠ADB的平分线，所以∠ODH＝∠ODK.
因为∠OHB＝∠ODH＋∠DOH，
∠OGB＝∠ODK＋∠DAB，所以∠DOH＝∠DAB＝60°，
所以∠GOH＝120°，所以∠BOG＝∠BOH＝60°，
所以∠DOK＝∠BOG＝60°，所以∠DOH＝∠DOK.
又因为OD＝OD，
所以△ODH≌△ODK，所以DH＝DK＝2，
所以DB＝DH＋BH＝2＋1＝3.
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第一章　三角形的证明
4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
B
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1．
如图，AD⊥BC，AB＝AC，点C在线段AE的垂直平分线上且点B，C，E三点共线，若AB＝3，BC＝4，则线段DE的长度为(　　)
A．4　
B．5
C．6　
D．7
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B
2．
[教材P29例1] 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
36°
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3．
4．
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2 700
风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2 000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝ 90 cm，BD＝60 cm，制作这个风筝需要的布料至少为________cm2.
5．
如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分线段AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE.
(1)若AB＝6，△DEC的周长为7，求△ABC的周长；
【解】∵BD垂直平分线段AE，
∴BE＝BA＝6，DA＝DE.
∵△DEC的周长为7，即DE＋CE＋CD＝7，
∴AD＋EC＋DC＝AC＋EC＝7.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝
AB＋BE＋EC＋AC＝6＋6＋7＝19.
(2)若∠ABD＝15°，∠C＝45°，求∠CED的度数.
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6．
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【点拨】
由题可知MN垂直平分线段AC，∴EA＝EC.∴∠EAC＝∠C.由题可知AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∴∠BAE＝∠CAE＝∠C.∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠CAE＋∠BAE＝3∠C＝90°.∴∠C＝30°，故①正确．∵∠AFE＝90°，∠ABC＝90°，AE平分∠BAC，∴BE＝FE.又∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE.∴AB＝AF.∴AP垂直平分线段BF，故②正确．
【答案】D
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7．
如图，△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若∠BAC＋∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是(　　)
A．105°　
B．110°　
C．115°　
D．120°
【点拨】
【答案】B
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8．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，若点P从点A出发，以每秒1 cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t s(t>0)．若点P恰好运动到AB的垂直平分线上，则t的值为____________.
【点拨】
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9．
如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，且OA＝6，点B的坐标为(2，4)，点D为OA的中点，AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点E，P为线段CE上一动点，当△APD的周长最小时，点P的坐标为____________.
【点拨】
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10．
2
如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，CF平分∠ACB，D是BC的中点，E是AC上一点，连接DE交CF于点O.
(1)若△CDE的周长与四边形ABDE的周长相等，则线段AE的长为________；
【点拨】
因为D是BC的中点，所以BD＝CD.因为△CDE的周长与四边形ABDE的周长相等，所以CD＋DE＋CE＝BD＋DE＋AB＋AE.所以CE＝AB＋AE.因为AB＝6，AC＝10，所以CE＝6＋10－CE.所以CE＝8.所以AE＝2.
(2)若AC＝BC，DE⊥BC，∠ACB＝β，连接OA．
①求证：点O在线段AC的垂直平分线上；
【证明】连接OB.因为DE⊥BC，D是BC的中点，
所以OB＝OC.
因为CF平分∠ACB，AC＝BC，所以CF垂直平分AB.
所以OA＝OB.所以OA＝OC.
所以点O在线段AC的垂直平分线上．
②求∠AOE的度数(用含β的式子表示).
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11．
课间，小鑫在草稿纸上画了一个直角三角形．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，他想到了作AC的垂直平分线ED，交AC于点E，交AB于点D，连接CD．他和同桌开始探讨线段AD与BD的大小关系.
(1)【尝试探究】当∠A＝30°时，线段AD与BD的大小关系为AD________BD；(填“＞”“＜”或“＝”)
＝
【点拨】
∵ED垂直平分AC，∴AD＝CD.∴∠ACD＝∠A＝30°.又∵∠ACB＝90°，∴∠B＝∠BCD＝60°.∴BD＝CD.∴AD＝BD.
(2)【得出结论】若∠A为任意锐角，则线段AD与BD的大小关系是AD________BD，请说明理由；(填“＞”“＜”或“＝”)
＝
【解】理由：∵ED垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝∠ACD＋∠BCD＝90°.∴∠B＝∠BCD.∴BD＝CD.∴AD＝BD.
(3)【应用结论】利用上面的结论继续研究，如图②，P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于点M，PN⊥FG于点N，FP与MN交于点K.当点P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，此时FP平分∠HFG吗？请说明理由.
【解】FP平分∠HFG.理由如下：
如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，连接OM.
∵PM⊥FH，∴由(2)可知OM＝OF＝OP.
连接ON，易得ON＝OP＝OF.∴OM＝OF＝OP＝ON.
∵MN⊥FP，∴∠OKM＝∠OKN＝90°.
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第一章　三角形的证明
☆问题解决策略： 反思
D
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1．
如图，在△ABC中，AB＝AC，给出的下列条件中，不能使BD＝CE的是(　　)
A．BD⊥AC，CE⊥AB
B．BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线
C．AE＝2BE，AD＝2CD
D．∠ABD＝∠BCE
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A
2．
在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列选项不正确的是(　　)
A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC
B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC
D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
3．
如图，已知点D，E为△ABC的边BC上的两点，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠B＝∠C．(请用两种不同的方法证明)
【证明】方法一：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H.
∵在△ADE中，AD＝AE，∴DH＝EH.
又∵BD＝CE，∴BD＋DH＝CE＋EH，即BH＝CH.
∴AH为线段BC的垂直平分线．
∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.
方法二：∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED.∴∠ADB＝∠AEC.
又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE.∴∠B＝∠C.
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4．
在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于点D，下列说法：
①若CD：BD＝2：3，则S△ACD：S△ABD＝4：9；
②若CD：BD＝2：3，则AC：AB＝2：3；
③若∠C＝90°，AC＋AB＝20，CD＝3，则S△ABC＝30；
④若∠C＝90°，AC：AB＝5：13，BC＝36，则CD＝10.
其中正确的是(　　)
A．①②　 B．②③　 C．①③④　 D．②③④
【点拨】
【答案】D
返回
5．
已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B，C重合)，以AD为边作等边三角形ADE(顶点A，D，E按逆时针方向排列)，连接CE.
(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：AC＝CE＋CD；
【证明】∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE.∵BC＝BD＋CD，∴AC＝CE＋CD.
(2)如图②，当点D在边BC的延长线上，且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出线段AC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由.
【解】结论AC＝CE＋CD不成立，CE＝AC＋CD.
理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE. ∵BD＝BC＋CD，∴CE＝AC＋CD.
(3)如图③，当点D在边BC的反向延长线上，且其他条件不变时，补全图形，并直接写出线段AC，CE，CD之间存在的数量关系.
【解】补全图形如图所示，CD＝AC＋CE.
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第一章　三角形的证明
阶段综合培优测
等腰三角形和直角三角形
A
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1．
下列定理中，没有逆定理的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A．全等三角形的对应角相等
B．直角三角形的两锐角互余
C．等腰三角形的两个底角相等
D．若三角形的三边长a，b，c(其中a一、选择题(每题4分，共28分)
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A
2．
如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离相等，则△PEA≌△PFA的理由是(　　)
A．HL
B．AAS
C．SSS　
D．ASA
A
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3．
若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②a∶b∶c＝5∶12∶13；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④b2＝(a＋c)(a－c)不能判定△ABC是直角三角形的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．
返回
C
[2025郴州模拟]如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100 m，以点O为原点，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等份．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是(　　)
A．5 m B．400 m
C．500 m D．300 m
5．
返回
A
在一块边长为10 m的等边三角形空地上种植花卉，以美化环境，则这块等边三角形空地的面积为(　　)
6．
返回
C
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BC∥x轴，若A(2，5)，B(－1，1)，则点C的坐标为(　　)
A．(2，3)
B．(3，1)
C．(5，1)
D．(1，5)
7．
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDA＝90°，∠BAD＝68°，则∠CAD的度数为(　　)
A．24°
B．28°
C．34°
D．38°
【点拨】
【答案】A
∵∠BDA＝90°，∠BAD＝68°，∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠BAD＝22°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝44°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝44°.∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝92°.∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝24°.
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8．
返回
6
将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝
6 cm，则AC＝______cm.
二、填空题(每题5分，共20分)
9．
返回
[2025南充]如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E.设OC＝1，则OE的长是________.
10．
a
如图，AB＝AC＝a，BD＝b，BC＝c，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB－PC|的最大值是________．(结果表示根据需要可以含a，b，c)
【点拨】
如图，作点B关于射线AD的对称点B′，连接AB′，CB′，B′P，则AB＝AB′，PB′＝PB，∠B′AD＝∠BAD＝25°，∴∠B′AC＝∠BAC－∠BAB′＝110°－25°－25°＝60°.∵AB＝AC＝a，∴AB′＝AC＝a.
∴△AB′C是等边三角形．∴B′C＝a.
∵|PB′－PC|≤B′C，∴当P，B′，C在同一直线上时，|PB′－PC|取最大值B′C，即为a.∴|PB－PC|的最大值是a.
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11．
21 013
【点拨】
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12．
(14分)如图，已知AB＝AD＝DC，∠ACB＝30°，AC与BD相交于点G.求∠AGB的度数.
三、解答题(共52分)
【解】如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥AC于点E.
∵DA＝DC，DE⊥AC，∴AC＝2AE.
∵∠ACB＝30°，∠AFC＝90°，
∴AC＝2AF，∠CAF＝60°. ∴AF＝AE.
又∵AB＝AD，∠AFB＝∠AED＝90°，
∴Rt△AFB≌Rt△AED(HL)．∴∠BAF＝∠DAE.
设∠DAE＝∠BAF＝α，则∠ABF＝90°－α，∠DAB＝60°＋2α.
∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝60°－α.
∴∠GBC＝∠ABF－∠ABD＝90°－α－(60°－α)＝30°.
∴∠AGB＝∠GBC＋∠ACB＝30°＋30°＝60°.
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13．
(18分) 【综合与实践】
主题：检测雕塑(如图①)底座正面四边形ABCD(如图②)的边AD是否垂直于边AB．
素材：一个雕塑，一把卷尺.
步骤1：利用卷尺测量边AD和
AB的长度，并测量出点B，D之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面四边形ABCD的边AD是否垂直于边AB．
【解决问题】
(1)通过测量得到边AD的长是60 cm，边AB的长是80 cm，B，D之间的距离是100 cm，边AD垂直于边AB吗？为什么？
【解】边AD垂直于边AB.连接BD.
∵AD＝60 cm，AB＝80 cm，BD＝100 cm，602＋802＝1002，
∴AD2＋AB2＝BD2.
∴△ABD是直角三角形，且∠DAB＝90°.∴AD⊥AB.
(2)如果你随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，你能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？如果能，请写出你的方法，并证明.
【解】能．如图，在AD上取AE＝3 cm，
在线段AB上取AF＝4 cm，
连接EF，测量出EF的长度，若EF＝5 cm，则AD⊥AB.证明如下：
∵AE＝3 cm，AF＝4 cm，EF＝5 cm，∴AE2＋AF2＝EF2.
∴△AEF是直角三角形，且∠EAF＝90°.∴AD⊥AB.
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14．
(20分) 如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，BC＝6 cm，AB＝8 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2 cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运动速度是每秒3 cm，在AC边上的运动速度是每秒5 cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，
另一个点也随之停止，设运动时间为t s.
(1)线段AC＝________；
(2)当t＝1时，求△BPQ的面积；
10 cm
(3)连接CP，当AP＝CP时，求CQ的长；
(4)若PQ将△ABC的周长分为5∶7两部分，直接写出t的值.
【点拨】
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第一章　三角形的证明
章末培优
全章热门考点整合应用
10°
1．
如图，在△ADE中，∠ADE＝140°，点B和点C分别在边AD和边AE上，∠BAC＝∠BCA，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，则∠EAD的度数为________.
【点拨】
设∠EAD＝∠BCA＝x.∴∠CBD＝∠CDB＝2x.∴∠DCE＝∠DEC＝3x.∵∠ADE＝140°，∠ADE＋∠EAD＋∠AED＝180°，∴140°＋x＋3x＝180°，解得x＝10°，即∠EAD＝10°.
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D
2．
D
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3．
下列定理中不存在逆定理的是(　　)
A．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的对应角相等
4．
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如果|a|＝|b|，那么a＝b
已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|.该命题的逆命题是____________________________.
5．
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A
6．
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∠B＝60°(答案不唯一)
[2025资阳]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是___________________.
7．
7
如图，已知等边三角形ABC的边长是8，点D在AC上，且CD＝2.延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为________.
【点拨】
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8．
【点拨】
【答案】B
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9．
(－4，0)
如图，在△ABC中，AB＝BC，AB⊥BC，点B的坐标为(0，2)，点C的坐标为(2，－2)，则点A的坐标为____________.
【点拨】
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10．
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11．
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71°
如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠BAC＝21°，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC的延长线于点E，连接AE，则∠CAE的度数为________.
12．
【解】(答案不唯一)添加条件：∠CAB＝∠DBA.
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△ACB≌△BDA.
如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，AD与CB相交于点E.
(1)添加一个条件使△ACB≌△BDA，并加以证明.
(2)在第(1)问的条件下延长AC，BD交于点P，直线PE是线段AB的垂直平分线吗？
【解】如图所示．
∵△ACB≌△BDA，∴AC＝BD，AD＝BC.
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∠CEA＝∠DEB，
∴△ACE≌△BDE. ∴AE＝BE.
∴点E在AB的垂直平分线上．
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∴∠ADP＝∠BCP＝90°.
又∵∠P＝∠P，AD＝BC，∴△ADP≌△BCP.∴AP＝BP.
∴点P在AB的垂直平分线上．
∴直线PE是线段AB的垂直平分线．
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13．
[2025芜湖期中]在△ABC中，∠BAC＝120°，BE，CF是△ABC的角平分线，它们相交于点I.
(1)如图①，连接AI，求证：点I在∠BAC的平分线上；
【证明】如图①，过点I作AB，AC，BC的垂线段，
垂足分别为M，N，K.
∵BE，CF是△ABC的角平分线，∴IK＝IM，IK＝IN.
∴IN＝IM.∴点I在∠BAC的平分线上．
(2)如图②，延长AI交BC于点D，过点F作FT⊥BC于点T，FL⊥AD于点L.求证：FT＝FL.
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14．
[2025厦门湖里区期中]如图，在△ABC中，AB＝21 cm，AC＝12 cm，∠A＝60°，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t s，当△APQ为直角三角形时，t的值为(　　)
【点拨】
【答案】D
根据题意，先表示出AP，AQ的长度，当△APQ为直角三角形时，∠AQP＝90°，∠APQ＝30°或∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可．
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15．
【证明】∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB.
∴∠ADC＝∠ACD.∴AD＝AC.
又∵AB＝AC，∴AD＝AB.
∴△ABD是等腰三角形．
如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，连接BD．
(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(2)若∠BDC＝20°，求∠ADC的度数.
【解】设∠ADC＝x°. 由(1)可得∠ACD＝∠DCB＝∠ADC＝x°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝2x°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x°.
∵∠BDC＝20°，∴∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝(x＋20)°.
∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝(x＋20)°.
∵∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝180°，
∴20°＋(x＋20)°＋2x°＋x°＝180°，解得x＝35. ∴∠ADC＝35°.
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第一章　三角形的证明
2 等腰三角形
第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
C
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1．
若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是(　　)
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形　
D．钝角三角形
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B
2．
如图，嘉琪想测量一座古塔CD的高度，在A处测得∠CAD＝15°，再往前行进60 m到达B处，测得∠CBD＝30°，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，可得这座古塔CD的高度为(　　)
3．
如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长是(　　)
A．2　
B．3
C．4
D．5
【点拨】
【答案】B
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4．
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6
如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________.
5．
2
将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________cm.
【点拨】
∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.易知∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°.∴∠A＝∠ABC＝∠ACB.∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝3－1＝2(cm)．
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6．
【证明】∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.
∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD.
∴∠BAC＝∠BCA.∴AB＝BC.
[2025绵阳期末]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN.
(1)求证：AB＝BC；
(2)若∠CAB＝30°，求证：△AMN是等边三角形.
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7．
如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
【点拨】
如图，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，连接MN，∴∠PMO＝∠PNO＝90°.∴∠MPN＝360°－∠AOB－∠PMO－∠PNO＝60°.∵OP平分∠AOB，∴∠POM＝∠PON.又∵OP＝OP，∴△POM≌△PON.∴PM＝PN.∴△PMN是等边三角形．当点M向MO方向移动，点N向NB方向移动时，移动后的位置分别记为M1，N1，若∠MPM1＝∠NPN1，则∠M1PN1＝∠M1PN＋∠NPN1＝∠M1PN＋∠MPM1＝∠MPN＝60°.
【答案】D
∵∠PMM1＝∠PNN1＝90°，PM＝PN，∠MPM1＝∠NPN1，∴△PMM1≌△PNN1.∴PM1＝PN1.∴△M1PN1是等边三角形．∴当点M向MO方向移动，点N向NB方向移动时，存在无数个满足条件的△PMN.同理，当点M向MA方向移动， N向NO方向移动时，也存在无数个满足条件的△PMN.综上，满足条件的△PMN有无数个．
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8．
如图，BD是等边三角形ABC的中线，E是直线BD上一点，连接AE，以AE为边，向下方作等边三角形AEF，连接DF.若AB＝8，则DF的最小值为(　　)
A．1
B．1.5
C．2
D．3
【点拨】
【答案】C
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9．
6
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为________.
【点拨】
∴∠ABD＝∠ADB＝60°.∵CE∥AB，
∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°.∴∠EFD＝∠FED＝∠EDF＝60°.∴△EFD是等边三角形．∴EF＝ED＝3.∴CF＝CE－EF＝9－3＝6.
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10．
【点拨】
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11．
如图，某轮船上午8时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该轮船以每小时10 n mile的速度向正东方向航行，到C处观测海岛B在北偏东30°方向，测得BC＝
20 n mile.又以同样的速度和航向继续航行，到D处观测海岛B在北偏西30°方向，请你确定轮船到达C处和D处的时间.
【解】∵∠BAC＝90°－60°＝30°，∠BCD＝90°－30°＝60°，
∴∠CBA＝∠BCD－∠BAC＝30°.∴∠BAC＝∠CBA.∴AC＝BC.
∵∠BDC＝90°－30°＝60°，
∴∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝60°. ∴△BCD为等边三角形．
∴BC＝CD. ∴AC＝CD＝BC＝20 n mile.
∴轮船从A处到达C处所用的时间为20÷10＝2(h)，
轮船从C处到达D处所用的时间为20÷10＝2(h)．
∴轮船到达C处的时间为10时30分，到达D处的时间为12时30分．
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12．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速运动，点P的运动速度为2 cm/s，点Q的运动速度为
1 cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t s.
(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
【解】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°.
∵60÷2＝30(s)，∴0≤t≤30.
根据题意，得BP＝(60－2t)cm，BQ＝t cm.
当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形，
∴60－2t＝t，解得t＝20.
∴当t＝20时，△PBQ为等边三角形．
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【解】若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ，
即60－2t＝2t，解得t＝15；
②当∠BPQ＝90°时，∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，
即t＝2(60－2t)，解得t＝24.
综上，当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形．
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13．
＝
已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
(1)如图①，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE________DB；(填“>”“<”或“＝” )
(2)如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE________DB；(填“>”“<”或“＝”)
理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你补充解答过程)
＝
【解】∵△ABC为等边三角形，
∴易知△AEF为等边三角形．
∴AE＝EF＝AF.∴易得BE＝CF.
∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.
易得∠DEB＝60°－∠D，∠ECF＝60°－∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF.∴△DBE≌△EFC.
∴DB＝EF.∴AE＝DB.
(3)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长.
【解】根据题意可知点E在AB的延长线上，如图，作EF∥AC，则易得△EFB为等边三角形．
∴BE＝BF＝EF，∠EBF＝∠EFB＝60°.
∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1.∴BF＝1.
易知BE＝BC＝1，∴∠BEC＝∠BCE＝30°.
∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECB＝30°.
∴∠FED＝∠BFE－∠D＝30°.∴∠D＝∠FED.
∴DF＝EF＝BE＝1.∴CD＝BC＋BF＋DF＝3.
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第一章　三角形的证明
2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
C
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1．
[2025广安期中]已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是(　　)　　　　　　　　　　　　　
A．40°　　　　
B．100°　
C．40°或100°　
D．以上都不正确
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B
2．
[2025扬州]在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　)
A．∠ADB＝∠ADC
B．∠B＝∠C
C．BD＝CD
D．AD平分∠BAC
B
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3．
如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　)
A．45°
B．39°
C．29°　
D．21°
4．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝B
C＝AD，则∠DBC的度数是(　　)
A．30°
B．36°
C．45°
D．54°
【点拨】
【答案】B
设∠A＝x°.∵BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝x°.∴∠BDC＝2x°.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝2x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x°.∴∠DBC＝x°.∴x＋2x＋2x＝180，解得x＝36.∴∠DBC＝36°.
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5．
2 cm2
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为4 cm2，则△BPC的面积为________.
【点拨】
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6．
返回
84°
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝________.
7．
【证明】∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF，
即∠BAC＝∠FAD. 又∵AC＝AD，∠ACB＝∠ADF，
∴△ABC≌△AFD.
[2025河北]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，
∠BAF＝∠EAD．
(1)求证：△ABC≌△AFD；
(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD．
【证明】 ∵△ABC≌△AFD，∴AB＝AF.
∵BE＝FE，∴AE⊥BF，即AC⊥BD.
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8．
[2025北京]如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为(　　)
A．80°
B．100°
C．110°
D．120°
【点拨】
【答案】B
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9．
如图，在射线OA，OB上分别取一点A1，B1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…，按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则∠A2 025B2 025O＝(　　)
【点拨】
【答案】A
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10．
2α－β
如图，在△ABC中，AB＝AC，△DEF为等边三角形，则γ＝________(用含α，β的代数式表示).
【点拨】
如图．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠2＋γ＝∠1＋α.
∴∠2－∠1＝α－γ.∵△DEF是等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°.∴∠2＋α＝∠1＋β＝120°.∴∠2－∠1＝β－α.∴α－γ＝β－α.∴γ＝2α－β.
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11．
如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠BAC，E是线段AC上的动点，P是线段AD上的动点，则PC＋PE的最小值为________.
【点拨】
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12．
【证明】∵BA＝BC，F是AC的中点，
∴BF⊥AC.∴∠AFB＝90°.
如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点，连接BF.
(1)求证：∠AFB＝90°；
(2)求证：△ADC≌△AEC；
【证明】∵AE⊥BC，∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°.
∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB.
∵BA＝BC，∴∠ECA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠ECA. 又∵AC＝AC，∴△ADC≌△AEC.
(3)连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明.
【解】DE∥BF.证明：设DE交AC于点H.
∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE，∠DAH＝∠EAH.
∴AH⊥DE.∴∠AHE＝90°.
∵∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠AHE.∴DE∥BF.
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13．
在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，DE，且∠ADE＝∠AED．
(1)当点D在BC边(点B，C除外)上运动(如图)，且点E在AC边上时，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并证明你的猜想；
【解】猜想：∠BAD＝2∠CDE.证明如下：
设∠B＝x，∠ADE＝y. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x.
∵∠AED＝∠ADE，∴∠AED＝y.
∴∠CDE＝∠AED－∠C＝y－x，
∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝180°－2y.
∴∠BAD＝180°－∠B－∠C－∠DAE＝
180°－x－x－(180°－2y)＝2(y－x)．
∴∠BAD＝2∠CDE.
(2)当点D在直线BC上运动(∠BAC>25°)，且点E在AC边所在的直线上时，若∠BAD＝25°，求∠CDE的度数.
【解】 ∵∠BAC>25°，∠BAD＝25°，
∴点D不在BC的延长线上，故可分为以下情况：
当点D在线段BC上时，如图①，
此时点E在CA的延长线上或线段AC上，
则∠ADE ＝∠AED，∠ADE′＝∠AE′D，
∴∠ADE＋∠ADE′＝∠AED＋∠AE′D.
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第一章　三角形的证明
3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
A
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1．
如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC．要根据“HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF，则需添加一个条件是(　　)
A．AB＝DC
B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠C
D．AE＝DF
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D
2．
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，高BD，CE相交于点O，连接AO，图中全等三角形共有(　　)
A．2对　
B．3对　
C．4对　
D．5对
42°
3．
如图，在△ABC中，∠BAC＝24°，在△DEF中，∠F＝66°，BC，EF边上的高相等，若AC＝DF，则∠B的度数为________.
【点拨】
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4．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
(1)求证：△ACD≌△ABD；
(2)过点C作CE⊥AB于点E，CE交AD于点F，若CE＝AE.求证：AF＝2CD．
【证明】∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEF＝∠CEB＝90°.
∴∠EAF＋∠B＝90°，∠B＋∠BCE＝90°.
∴∠EAF＝∠BCE.
∵AE＝CE，∴△AEF≌△CEB.∴BC＝AF.
∵Rt△ACD≌Rt△ABD.∴CD＝BD.
∴BC＝2CD.∴AF＝2CD.
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5．
如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD平分∠ABC，作DH⊥BC于点H，BC＝9，AB＝5，则CH的长度为(　　)
【点拨】
【答案】B
如图，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E.∵DH⊥BC，DE⊥BA，∴∠DEB＝∠DHB＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBH.又∵BD＝BD，∴△DBE≌△DBH(AAS)．∴DE＝DH，BE＝BH.
又∵AD＝CD，∴Rt△ADE≌Rt△CDH(HL)．
∴AE＝CH. ∵BC＝BH＋CH＝BE＋CH，∴BC＝AB＋AE＋CH＝AB＋2CH.∵BC＝9，AB＝5，∴CH＝2.
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6．
【点拨】
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7．
【证明】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD.
又∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)．
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE并延长交BD于点F.
(1)求证：△ACE≌△ABD；
(2)过点A作AH⊥BD于点H，请探究EF，DH，HF三条线段的数量关系，并给出证明.
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第一章　三角形的证明
2 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定和反证法
D
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1．
下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3
B．BC：AC：AB＝2：2：3
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．2∠A＝∠B＋∠C
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A
2．
用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设(　　)
A．两直线不平行
B．同旁内角不互补
C．同旁内角相等
D．同旁内角不相等
B
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3．
如图，等腰三角形共有(　　)
A．4个
B．5个
C．3个
D．2个
4．
10
[教材P17习题T7 ]如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为________.
【点拨】
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵MN⊥BC，∴∠MNC＝∠MNB＝90°.∴∠B＋∠BON＝90°，∠C＋∠M＝90°.∴∠M＝∠BON.∵∠BON＝∠MOA，∴∠M＝∠MOA.∴AM＝AO＝3.∵BO＝4，∴AC＝AB＝AO＋BO＝7.∴MC＝AM＋AC＝10.
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5．
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60
如图，一条船上午8时从A处以20 n mile/h的速度向北偏西60°方向航行，上午11时到达B处，B处在灯塔C的正南方向，从A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，则B处离灯塔C的距离为________n mile.
若船接着从B处以15 n mile/h的速度
向灯塔C航行，当船到达灯塔C时
是________时.
15
6．
【证明】∵AD＋EC＝AB＝AD＋DB，
∴DB＝EC.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵BE＝CF，∴△BED≌△CFE.
∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BE＝CF，AD＋EC＝AB．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)用反证法证明△DEF不可能是直角三角形.
【解】假设△DEF是直角三角形，则∠DEF＝90°，
∴∠DEB＋∠FEC＝90°.由(1)知△BED≌△CFE，
∴∠BDE＝∠CEF.
∴∠DEB＋∠BDE＝90°.
∴∠B＝90°.∴∠C＝90°.
∴∠A＋∠B＋∠C>180°，与三角形内角和定理相矛盾．
∴△DEF不可能是直角三角形．
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7．
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B
下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成
两个小等腰三角形的是(　　)
8．
【点拨】
∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB.∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB.∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC.∴DB＝DF，EF＝EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形，故①正确；∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，故②正确；∴△ADE的周长＝AD＋DF＋FE＋AE＝AD＋BD＋CE＋AE＝AB＋AC，故③正确；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB.∴BF与CF不一定相等，故④错误；
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【答案】D
9．
40°或70°或100°或20°
如图，直线a，b交于点O，∠α＝40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，当∠OAB＝______________________时，以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形.
【点拨】
若点B在OA下方，如图④，
当OA＝OB时，∠OBA＝∠OAB.
∵∠OBA＋∠OAB＝∠α＝40°，∴∠OAB＝20°.
综上，当∠OAB＝40°或70°或100°或20°时，以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形．
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10．
如图，在四边形ABDC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为AC的中点，连接BE交AD于点O，则图中两个阴影三角形 (△OBD与△OAE)的面积之差的最大值为________.
【点拨】
如图，延长BD，AC交于点H.∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH ＝90°.∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠HAD.∴∠ABD＝∠H.∴AB＝AH.又∵AD⊥BH，∴BD＝DH.∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD.又∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H.∴CD＝CH＝AC.
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11．
(16－t)cm
如图，在△ABC中，AB＝16 cm，BC＝12 cm，AC＝
20 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1 cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为
每秒2 cm，它们同时出发，设出发的时间为t s.
(1)BP＝________________(用含t的代数式表示)；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发________s后，△PQB是等腰三角形；
(3)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是等腰三角形？
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12．
【证明】∵AD平分∠BAC，
AB＝AC，∴AD⊥BC.
如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)如图②，点E为△ABC内一点，连接AE，DE，点F为AE上一点，连接DF并延长至点G，使得AG＝DE.若∠EDG＋∠AGF＝180°，求证：AF＝EF；
【证明】如图①，过点A作AM⊥DG，交DG的延长线于点M，过点E作EN⊥DG，垂足为N.∴∠END＝∠AMG＝90°.∵∠EDG＋∠AGF＝180°，∠AGM＋∠AGF＝180°，∴∠EDN＝∠AGM.又∵AG＝DE，∴△EDN≌△AGM.∴AM＝EN.∵∠AMF＝∠ENF＝90°，∠EFN＝∠AFM，∴△AMF≌△ENF.∴AF＝EF.
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