资源简介

1.1 三角形内角和定理
1.1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理和全等三角形
情境导入
知识讲解
随堂小测
课堂小结
学习目标
1.进一步了解作为证明依据的八条基本事实的内容；（重点）
2.理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；（重点）
3.能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明；（难点）
4.理解并掌握全等三角形的判定和性质.（重点、难点）
复习回顾
你还记得我们在八年级上册“平行线的证明”一章中给出的基本事实吗？补全下面的几条基本事实.
1.两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行；
2. 分别相等的两个三角形全等（SAS）；
3. 分别相等的两个三角形全等（ASA）；
4. 分别相等的两个三角形全等（SSS）.
同位角相等
两边及其夹角
两角及其夹边
三边
命题：三角形的三个内角和是180°
你能验证这个命题吗？
我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?
情境导入
图1
图2

图3
A
B
C
C
B
A
A
B
B
C
C

B
A
B
验证：三角形的三个内角和是180°
结论：三角形的内角和等于1800.
证明：过点A作EF∥BC，
则∠B=∠2（两直线平行，内错角相等）.
同理∠C=∠1.
因为∠2+∠1+∠BAC=180°（平角定义），
所以∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）.
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C =180°
1
2
F
E
根据下面的图形,写出相应的证明.
你还能想出其它证法吗?
(1)
A
B
C
P
Q
R
T
S
N
(3)
A
B
C
P
Q
R
M
T
S
N
(2)
A
B
C
P
Q
R
M
知识讲解
知识点1 三角形内角和定理
定理：三角形的三个内角和是180°
∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:
∠A=180° –(∠B+∠C).
∠B=180°–(∠A+∠C).
∠C=180° –(∠A+∠B).
∠A+∠B=180° –∠C.
∠B+∠C=180° –∠A.
∠A+∠C=180° –∠B.
A
B
C
知识拓展
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
例1
如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
分析：①根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数；
②根据角平分线的性质求出∠BAD的度数；
③根据三角形内角和求出∠ADB的度数．
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°, ∠C=62°,∴ ∠BAC=180° -38° - 62° = 80°.
∵AD平分 ∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×80° =40°.
在△ADB中，∠B+ ∠BAD+ ∠ADB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°, ∠BAD= 40°,∴∠ADB= 180° - 38° - 40° = 102°.
?
知识点2 全等三角形的判定及性质
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
想一想
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
证明：在△ABC 和△DEF中，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠C =∠F（等量代换）.
∵BC=EF，∠B=∠E ,
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
A
B
C
D
E
F
已知：如下图，在△ABC 和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
总结归纳
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
证明两个三角形全等的方法：
两边及其夹角分别相等（SAS）.
两角及其夹边分别相等（ASA）.
三边分别相等（SSS）.
两角和其中一角的对边分别相等（AAS）.
1 . 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于(　　 )
A．45° B．60° C．75° D．90°
2. 如图，AB∥CD，AE交CD于点C， ∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为(　　)

A．17° B．34° C．56° D．124°
随堂小测
C
C
3.如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是 (　 　)
A．AB＝DE B．AC＝DF
C．∠A＝∠D D．BF＝EC
A
B
C
D
E
F
C
注意：证明两个三角形全等需要三个条件，三个条件中至少有一组对应边相等.
4.（1）在△ABC中,∠A=35°，∠ B=43°，则∠ C= .
（2）在△AB中,∠C=90°，∠B=50，则∠A = .
（3）在△ABC中， ∠A=40°，∠A=2∠B，则∠C = .
102°
40°
120°
5.如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝12∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
?
6.在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
7. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是直角三角形．
理由：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，
∴可设∠A，∠B，∠C的度数分别为x°，2x°，3x°.
在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形三个内角的和等于180°)，
∴x＋2x＋3x＝180，解得x＝30.
∴∠A＋∠B＝x°＋2x°＝3x°＝90°.
∴∠C＝180°－90°＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
8.如图，∠B＝∠E，∠1＝∠2，BC＝EC.
求证：AB＝DE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ACB=∠1+∠ACE，∠DCE=∠2+∠ACE，
∴∠ACB =∠DCE.
在△ABC 和△DEF中，
∵∠B=∠E ,BC=EC，∠ACB =∠DCE，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
∴AB＝DE（全等三角形对应边相等）.
A
B
C
D
E
1
2
课堂小结
三角形的内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
全等三角形
判定
SAS，ASA，AAS，SSS
性质
全等三角形的对应边相等、对应角相等
1.1 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
情境导入
知识讲解
随堂小测
课堂小结
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义．（重点）
2.掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．（难点）
情境导入
问题：在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
1
2
3
思 考
知识讲解
知识点1 外角的概念
观察：∠1 的两条边与△ABC的两条边有什么关系？
C
B
A
D
1
观察：∠1 的顶点与△ABC的顶点有什么关系？
①顶点是三角形的顶点；
②一条边是三角形内角的一边；
③另一条边是该内角另一条边的
反向延长线.
C
B
A
D
1
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角.
∠1 是△ABC的一个外角
问题1 延长AC 到E ，∠2是△ABC的一个外角吗？
∠3是△ABC的一个外角吗？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
它们互为对顶角，∠1 =∠2；
C
B
A
D
∠2是△ABC的一个外角，
∠3不是△ABC的一个外角.
问题2 三角形每个顶点处有几个外角？它们有怎样的关系？
1
2
3
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
A
C
B
D
∠1=∠A+∠B
你能证明此结论吗？
观察：∠1 与△ABC的三个内角之间有什么关系？
∠1与∠2互补
1
2
?
?
∠1 ＞ ∠A ， ∠1＞ ∠B
∠1+∠2=180°(平角的定义).
知识点2 三角形外角的性质
已知：△ABC.
求证：∠ACD=∠A+∠B，
∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
证明：∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性质），
∵ ∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义）
∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性质）
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
定理：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
A
B
C
符号语言：
三角形内角和定理有关外角的两个推论：
∵ ∠1 是△ABC 的外角
∴ ∠1=∠B+∠C
符号语言：
∵ ∠1 是△ABC 的外角
∴ ∠1 ＞ ∠B， ∠1＞ ∠C
1
定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角 ∠EAC。
求证：AD//BC。
证明：∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于
和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C，
∴∠C=12∠EAC.
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC=12∠EAC.
∴∠DAC=∠C.
∴ AD//BC.
?
还有其他证法吗？
例3 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B= ∠C.
求证:∠BPC＞∠A.
证明:如图，延长BP，交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),
∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角
大于和它不相邻的任何一个内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义),
∴ ∠PDC>∠A
(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）
A
B
C
P
D
还有其他证法吗？
1.如图，在△ABC中， D是BC延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
【解析】根据三角形外角的性质可得，∠ACD =∠B+∠A，所以∠A=∠ACD -∠B= 120°-40°= 80°.
C
随堂小测
2.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是( )
A.∠3=2∠1+∠2
B.∠3=2∠1-∠2
C.∠3=∠1+∠2
D.∠3=180°-∠1-∠2
【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，∠3是△COD的外角，
∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1.
C
3.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.
证明:∵CE平分∠ACD
∴∠1=∠2
∵∠BAC＞∠1
∴∠BAC＞∠2
∵∠2＞∠B
∴∠BAC＞∠B
A
B
3
1
2
F
D
E
C
4.已知：如图6，∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC
的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明：∵ ∠1 +∠BAF=180°（1平角= 180°），
∠2 +∠CBD=180°， ∠3 +∠ACE=180°，
∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠BAF +∠CBD +∠ACE=3×180°=540°.
又∵ ∠1+ ∠2 + ∠3= 180°（三角形内角和定理），
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE=540 °-180°= 360°.
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
1.1 三角形内角和定理
第3课时 多边形的内角和
情境导入
知识讲解
随堂小测
课堂小结
学习目标
1.经历探索多边形内角和公式的过程.（重点）
2.掌握多边形的内角和公式.（重点）
情境导入
某小区健身广场中心的边缘是一个五边形（如图），你能求出它的五个内角的和吗？
小明
小亮
180°×3=540°
180°×5－360°=540°
还有其他方法吗？
情境导入
180°×4－180°=540°
180°×4－180°=540°
知识讲解
多边形
的边数
图形
从一个顶点引出的对角线条数
分割出的三角形的个数
多边形的
内角和
3
4
5
6
……
……
……
……
……
n
(n－2)×180?
4× 180?=720°
2× 180?=360°
3× 180?=540°
1× 180?=180°
0
1
1
2
2
3
3
4
n－3
n－2
想一想
一般地，从n 边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)
条对角线，它们将n 边形分为(n － 2)个三角形，n 边形的内角和等于(n － 2)·180°.(n是大于或等于3的自然数)
例 4
如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠B与∠D有怎样的关系？
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D
=（4－2）×180°=360°，
∴ ∠B+∠D
=360°－（ ∠A+∠C ）
=360°－180°=180°.
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？
正多边形定义：在平面内，每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形。
正n边形的每个内角度数为 .
想一想
剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和 是多少度？
议一议
（1）纸片剩下5 个角，得到的五边形的内角和为:
（5-2）×180°＝540°；
（2）纸片剩下4 个角，得到的四边形的内角和为:
（4-2）×180°＝360°；
（3）纸片剩下3 个角，得到的三角形的内角和为180°.
总结归纳

1. n 边形的内角和等于(n － 2)·180°.(n是大于或等于3的自然数)
2.正n边形的每个内角度数为 .
2. 一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是(　　)
A．10　 B．11　 　C．12　　 D．以上都有可能
D
1.四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（ ）
A．80° B．90° C．170° D．20°
A
随 堂 小 测
4. 如图,已知正六边形ABCDEF,连接FD,则∠FDC的度数为　 .
3. 一个多边形的内角和是1080°,这个多边形的边数是　 　.
8
90?
5. 小彬求出一个正多边形的一个内角为145°. 他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由.
解：不正确．
理由：假设是正n 边形，由多边形的内角和定理，得(n－2)×180°＝n×145°，解得n＝ ，不是整数，所以不正确．
6. 在五边形ABCDE中，∠A +∠B =240°,∠C =∠D=∠E=2∠B.求∠B的度数.
解：∵五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，
又∵∠A+∠B＝240°，
∴∠A＝240°－∠B，
又∵∠C＝∠D＝∠E＝2∠B，
∴240°－∠B+∠B+2∠B+2∠B+2∠B＝540°，
解得∠B＝50°
解：如图，连接AD.
∵∠1＝∠E＋∠F，∠1＝∠FAD＋∠EDA，
∴∠E＋∠F＝∠FAD＋∠EDA，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
＝∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C.
又∵∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
7. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
课堂小结
多边形内角和
公式
数学思想
方法
转化、方程、从特殊到一般
已知边数求内角和：代入法
已知内角和求边数：方程法
①n边形的内角和等于(n － 2)·180°.
②正n边形的每个内角度数为 .
1.1 三角形内角和定理
第4课时 多边形的外角和
情境导入
知识讲解
随堂小测
课堂小结
学习目标
1.经历探索多边形外角和公式的过程.（重点）
2.掌握多边形的外角和公式.（重点）
情境导入
小明沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？它们的和是多少吗？
情境导入
把上面的问题抽象为数学问题，如右图.
上面的问题中，小刚跑步方向改变的角实际分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.
小刚跑步方向改变的角共有5个，它们的和就是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的和.
外角
小刚是这样思考的：如图，跑步方向改变的角分别是∠l，∠2，∠3，∠4，∠5.
∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，
∠5＋∠DEA＝180°，
∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC ＋∠3＋∠BCD ＋ ∠4＋∠CDE ＋∠5＋∠DEA＝900°.
∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
即 ∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°.
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.
你的思路与小刚一样吗？
与同伴交流.
知识讲解
想一想
如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？
请用小刚的方法计算六边形、八边形的外角和.
360°
360°
你能猜测一下，多边形的外角和是多少度吗？
猜测：多边形的外角和都等于360°.
证明：n边形的外角和为360°.
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
证明：如图所示，作n边形A1A2A3···An.
∠1+∠2+∠3+··· ···∠n
=（∠1+∠AnA1A2）+（∠2+∠A1A2A3）+
（∠3+∠A2A3A4）+··· ···+（∠n+∠An-1AnA1）－
180°·（n－2）
=180°·n－180°·（n－2）=360°.
所以，n边形的外角和为360°.
1.定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
2.定理：多边形的外角和都等于360°.
例 5
一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n 边形，则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于 360°.
根据题意，得 (n－2)·180°＝3×360°.
解得n＝8.
所以，这个多边形是八边形.
总结归纳

1.多边形的外角和为360°.
2.多边形的内(外)角和与边数间的关系：
(1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加．
(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关.
3.应用：①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．
随 堂 小 测
1. 七边形的外角和等于(　　)
A．180° B．360° C．540° D．720°
B
2. 如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
C
3. 一个正多边形的内角和是540゜，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．60゜ B．72゜ C．90゜ D．108゜
B
4. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
C
5. 如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10 m后向左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第一次回到出发地A 点时，他一共走了 ．
120 m
6. 如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长是多少？
解：如图，分别作AB，CD，EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G，P，H.
∵六边形ABCDEF 的六个内角都相等，∴六个内角都是120°.
∴六边形ABCDEF 的每一个外角的都是60°.
∴△AHF，△BGC，△DPE，△GHP 都是等边三角形．
∴GB＝GC＝BC＝3，DP＝DE＝PE＝2，AH＝HF＝AF.
∴GH＝HP＝GP＝GC＋CD＋DP＝3＋3＋2＝8，
∴HF＝FA＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4.
∴EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2.
∴六边形的周长为1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.
H
G
P
课堂小结
多边形外角和
定理
应用
①已知多边形的边数求外角的度数；
②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数；
③已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数．
多边形的外角和都等于360°.

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