资源简介

(共71张PPT)
1.2 等腰三角形
1.2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形和等边三角形的性质
情境导入
知识讲解
随堂小测
课堂小结
学习目标
1.理解掌握等腰三角形的性质定理；（重点）
2.理解掌握等边三角形的性质定理；（重点）
3.能够运用等腰三角形、等边三角形的性质定理解决问题（难点）
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？回忆一下.
议一议
定理：等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角）
（2）你能用已有的公理和定理证明这个结论吗？
适用条件：必须在同一个三角形中.
情境导入
定理：等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角）
已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
证明：取BC的中点D，连接AD.
D
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法1
知识讲解
知识点1 等腰三角形的性质定理及推论
已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
证明：在△ABC和△ACB中，
∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，
∴△ABC≌△ACB（SAS） .
∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） .
证法2
你还有其他证明方法吗？
已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
证明：作∠A的角平分线，交BC于点D.
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，∠BAD =∠CAD，AD=AD ,
∴△ABD≌△ACD （ SAS ）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
证法3
你还有其他证明方法吗？
D
想一想
在左图中，线段AD除是底边上的中线外还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
A
B
C
D
由△ABC≌△ACB，可知
∵∠BAD =∠CAD，∴AD是等腰三角形顶角的平分线；
∵∠BDA =∠CDA，∴∠BDA =∠CDA=90°，AD是等腰三角形底边上的高线.
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）
总结归纳
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）
知识点2 等边三角形的性质定理
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
回忆一下，怎样的三角形叫做等边三角形？
等边三角形与等腰三角形有什么关系呢，它又有哪些性质呢？
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
想一想
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
这个定理是否正确呢？试着用学过的公理或定理证明一下吧.
证明：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知：如下图，在△ABC中，AB=BC=AC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）.
又∵AC=BC，
∴∠A=∠B（等边对等角）.
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）.
∴∠A=∠B=∠C=60°.
A
B
C
知识拓展
等边三角形是特殊的等腰三角形，把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
（3）等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线.
（1）等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质.
（2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.
总结归纳
等边三角形的性质
（1）定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
（2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.
（3）等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线.
1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
A
随堂小测
2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是(　　)
A. BC边上的高和中线互相重合
B. AB，AC边上的中线相等
C. 在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等
D. AB，BC边上的高相等
D
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为 （ ）
A.25° B.60°　
C.85° D.95°
D
4.如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为(　　)
A．(1，1)　
B．( ，1)　
C．( ， )　
D．(1， )
D
5.等腰三角形有一个角是96°，则另两个角分别是____________.
42°、42°
6.在△ABC中，AB＝AC.
（1）若∠A＝40°，则∠C等于多少度？
（2）若∠B＝72°，则∠A等于多少度？
A
B
C
解：（1）∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.
∵AB＝AC，∴∠B=∠C=140°÷2=70°.
（2）∵AB＝AC，∴∠B=∠C=72°.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-72°-72°=36°.
7.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.
解：如图，在等边三角形ABC中，中线BD，CE相交与点F，
A
B
C
D
E
F
∴CE⊥AB，BD平分∠ABC.
∴∠CEB=90°，∠ABD= ∠ABC= ×60°=30°.
在△EFB中，
∠EFB=180°-∠CEB-∠ABD=180°-90°-30°=60°.
∴等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.
1
2
1
2
8.如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC＝BC＝CD.
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数.
A
B
C
D
（1）证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACB =∠ACD=90°.
∵AC =AC，BC =DC，
∴△ACB≌△ACD（SAS）.
∴AB=AD.
∴△ABD是等腰三角形.
（2）解：∵AC =BC，∠ACB =90°，
∴∠B =∠BAC=45°.
同理，∠D=∠DAC=45°.
∴∠BAD =∠BAC+∠DAC=45°+45°=90°.
9.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=∠AED=60°.
又∵E是BC的三等分点，∴BD=DE=EC.
∴AD=BD，∴∠DBA=∠BAD.
又∵∠DBA＋∠BAD=∠ADE＝60°，
∴∠BAD=30°.同理可得，∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAD＋∠DAE＋∠CAE=30°+60°+30°=120°.
10.如图，AB=AC，BD=DC，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E.
求证:DE=DF.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD=∠CED=90°，
在△BDF和△CDE中，
BD=DC，∠B=∠C， ∠BFD=∠CED，
∴△BDF≌△CDE（AAS），∴DE=DF.
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB上的一点，且DE∥AC.若DE=3，则AB等于多少？
解：∵AC =AC，AD是BC边上的中线，
∴∠EAD =∠CAD，∠B =∠C，
∵DE∥AC,
∴∠EDA =∠CAD，∠EDB =∠C，
∴∠EAD =∠EDA ，∠EDB =∠B，
∴DE=AE，DE=BE，
∴AB=2DE=6.
12.如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
（1）求证：AD=BE；
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，
又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
（2）求∠AEB的度数.
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）
课堂小结
等边三角形的性质
（1）定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
（2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.
（3）等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线.
1.2 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定与反证法
情境导入
知识讲解
随堂小测
课堂小结
学习目标
1.探索等腰三角形判定定理；
2.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；（重点）（难点）
3.知道反证法的步骤，能对一些比较简单的特殊命题用反证法予以证明.（重点）
情境导入
1.等腰三角形是怎样定义的？
复
习
回
顾
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
2.等腰三角形有哪些性质和推论？
（1）等腰三角形是轴对称图形；
（2）等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角）；
（3）等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等.
知识讲解
知识点1 等腰三角形的判定
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
C
B
A
已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
分析：只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.
C
B
A
已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：作∠BAC的平分线，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD.
∵∠B = ∠C，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）.
证法一：
D
C
B
A
已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：过点A作BC的垂线，垂足为点D.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°.
∵∠B = ∠C，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）.
证法二：
D
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简述为：等角对等边）
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
例1
已知：如下图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS).
∴∠ADB=∠DAC（全等三角形的对应角相等）.
∴AE=DE（等角对等边）.
∴△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
知识点2 反证法
小明认为在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
C
B
A
想一想
我们来看看小明的想法：
C
B
A
如右图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时 AB 与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC.
你能理解他的推理过程吗？
小明的证明方法有什么特点吗？
在小明的证法中，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法.
例2
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.
于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°.
这与三角形内角和定理矛盾，所以“∠A和∠B是直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
总结归纳
（1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立.
用反证法证题的一般步骤
（2）归谬:将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推导，导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结论.
（3）结论:因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，那么结论一定成立.
1.用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(　　)
A．一个三角形中有两个钝角
B．一个三角形中至多有一个钝角
C．一个三角形中至少有一个钝角
D．一个三角形中没有钝角
随堂小测
A
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是 （ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°
当堂检测
D
2.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 (　　)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
D
3.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设结论不成立，
即：∠A___60°，∠B ___60°，∠C ___60°,
则∠A +∠B +∠C ＞3×60°=180 °.
这与_____________________相矛盾.
所以______不成立，所求证的结论成立.
>
>
>
三角形的内角和定理
假设
4.如图，△ABC中，AB=6，BC=5，AC=7，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，则△ADE的周长= .
13
E
D
C
B
A
O
5.已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 .
1
5
证明：假设这五个正数a1，a2，a3，a4，a5中没有一个大于或等于 ，即都小于 ，那么a1+a2+a3+a4+a5<5× =1，这与已知a1+a2+a3+a4+a5=1矛盾.所以原命题得证.
1
5
1
5
1
5
6.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.
求证:△BDE是等腰三角形.
证明：∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD⊥BD，∴∠EAD+∠B=90°，∠EDA+∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE，∴△BDE是等腰三角形.
7.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
解：△BDE是等腰三角形.
理由：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD.
∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD.
∴∠EBD=∠EDB.∴EB=ED（等角对等边）.
∴△BDE是等腰三角形.
课堂小结
等腰三角形的判定方法：
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简述为：等角对等边）
（1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立.
用反证法证题的一般步骤
（2）归谬:将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推导，导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结论.
（3）结论:因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，那么结论一定成立.
情境导入
知识讲解
随堂小测
当堂检测
1.2 等腰三角形
第3课时 等边三角形的判定及含30 角的直角三角形的性质
课堂小结
学习目标
1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理，并能加以运用；（重点）
2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.（难点）
情境导入
1.等边三角形是怎样定义的？
复
习
回
顾
三条边相等的三角形,叫做等边三角形.
2.等腰三角形有哪些性质和推论？
（1）等边三角形的三边都相等；
（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
（3）各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等；
（4）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的高（中线、对应的角平分线）所在的直线.
知识讲解
知识点1 等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
之前我们学过等边三角形的性质：三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
猜想：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
猜想是否正确呢，需要通过证明进行判断.
已知：如右图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
C
B
A
证明：∵∠A =∠B，∠B =∠C ，
∴AC =BC， AB=AC（等角对等边）．
∴AB =BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
那一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，说一说哪些方面比较特殊.
等边三角形的角都是60°.
猜想：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
这个角可能是顶角，也可能是底角，证明时需要分类讨论.
已知：如右图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°.
求证：△ABC是等边三角形.
C
B
A
证明：①当∠A=60°时，
∵AB=AC，
∴∠B＝∠C，
∵在△ABC中，∠A= 60 °，
∴∠B＝∠C＝ （180。-∠A） = 60°.
∴∠A= ∠ B =∠C.
∴△ABC是等边三角形.
1
2
已知：如右图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°.
求证：△ABC是等边三角形.
C
B
A
②当∠B=60°（或∠C=60°）时，
∵AB=AC，
∴∠B＝∠C=60°，
∴∠A（180。-∠B-∠C） = 60°.
∴∠A= ∠ B =∠C.
∴△ABC是等边三角形.
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
总结归纳
等边三角形的判定方法：
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 (　 　)
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
随堂小测
D
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE为等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C= （180°-∠BAC）=30°.
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠BAE=∠CAD=90°.
∴∠DEA=∠EDA=60°，
∴∠DAE=60°,
∴△ADE为等边三角形.
1
2
知识讲解
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
用两个含30°角的全等三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
做一做
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
等边三角形
30°
2a
2a
a
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
还需要证明这个结论.
C
B
A
已知：如右图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC= AB.
1
2
证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD．
D
∵∠ACB=90°，∠BAC=30° ，
∴∠ACD=90°，∠B =60°.
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（ SAS ）.
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC= BD= AB.
1
2
1
2
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
通过上面的证明，我们可以得到以下定理.
这个定理的条件有两个：
（1）是在直角三角形中；
（2）一个角是30°.
例3
求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．
已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD= AB
1
2
C
B
A
D
证明：在△ABC中，∵AB=AC ，∠B=15°，
∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）.
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°.
∴CD= AC.
∴CD= AB.
1
2
1
2
总结归纳
含30°角的直角三角形的性质：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为 （ ）
A．BD＝CD
B．BD＝2CD
C．BD＝3CD
D．BD＝4CD
随堂小测
B
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B＝60°， CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长.
C
B
A
D
解：因为CD是△ABC的高，所以∠BDC=90°.
又因为∠B=60°，
所以∠BCD=30°. 所以BC=2BD=2.
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
所以∠A=30°. 所以AB=2BC=4.
所以AD=AB-BD=4-1=3.
1.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E，如果AD=1，BC=6，那么CE等于 (　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
当堂检测
B
2.如图，在△ABC中，∠B=60°，D是BC延长线上一点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD=CF。
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=∠AEF=90°，
∵∠B=60°，∴∠D=30°.
∵CD=CF，∴∠D=∠CFD=30°（等边对等角），
∴∠C=∠CFD+∠D=30°+30°=60°，
∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形.
课堂小结
等边三角形的判定方法：
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
含30°角的直角三角形的性质：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

展开更多......

收起↑