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1.3 直角三角形
情境导入
知识讲解
随堂小测
当堂检测
1.3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
课堂小结
学习目标
1.证明直角三角形的性质定理及判定定理；（重点）
2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.（难点）
情境导入
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.
复
习
回
顾
直角三角形的定义：
有一个是直角的三角形叫直角三角形.
直角三角形的性质：
（1）直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.
（2）直角三角形的两个锐角互余.
（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
知识讲解
知识点1 直角三角形的性质与判定
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
想一想
性质定理：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
证明：△ABC中，
∠A+∠B +∠C = 180°.
∵∠C = 90°，
∴∠A+ ∠B = 180°- ∠C= 180°-90°= 90°.
性质定理的证明
（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
已知：如右图，在△ABC中，∠A+∠B=90°.
求证：△ABC是直角三角形.
C
B
A
证明：在△ABC中，
∠A +∠B +∠C = 180°.
∵∠A +∠B = 90°，
∴∠C = 180°-（∠A+∠B ）= 180°-90°=90°.
∴△ABC是直角三角形.
判定定理的证明
你还记得勾股定理的内容吗？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
反过来，在在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗？
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如右图（1），在△ABC中，AB2+AC2=BC2.
求证：△ABC是直角三角形.
A
C
B
（1）
证明：如右图（2），作Rt△A'B'C'，使∠A'=90°，A'B'=AB，A'C'=AC.
A'
C'
B'
（2）
则 A'B'2+A'C'2 =B'C'2（勾股定理）.
∵AB2+AC2=BC2，
∴BC2=B'C'2.∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
∴∠A=∠A'= 90°（全等三角形的对应角相等）.
因此，△ABC是直角三角形.
总结归纳
直角三角形的性质定理：
直角三角形的两个锐角互余.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
1. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是 （ ）
A.75° B.65° C.55° D.45°
随堂小测
C
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=70°，则∠A的度数为(　　)
A.80° B.70° C.60° D.50°
A
3. 在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的长.
C
B
A
解：∵∠A=∠B=45°，∴AC=BC=3.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°.
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∴AB2=32+32=18，∴AB=3 或AB=-3 （舍去）.
∴AB的长为3 .
知识讲解
知识点2 互逆命题与互逆定理
观察下面两组定理，他们的条件和结论之间有怎样的关系？用同伴交流.
议一议
直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
这两组定理的条件和结论恰好互换了位置．
再观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
这几组中的两个命题也有类似的关系吗？
有，这几组命题的条件和结论也恰好互换了位置．
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.这个命题为逆命题的原命题.
思考一下：一个命题是真命题，它的逆命题也是真命题吗？
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方根相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆定理.
直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
互逆定理
互逆定理
你还能写出哪些互逆定理？
两直线平行，内错角相等；
内错角相等，两直线平行.
等边对等角；
等角对等边.
同一个三角形中
总结归纳
如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.
互逆命题
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆定理.
不是所有的定理都有逆定理，只有这个定理的逆命题是真命题时，才能称这个逆命题是逆定理.
互逆命题不一定都是真的，但互逆定理一定都是真命题.
1.下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A.对顶角相等
B.直角都相等
C.全等三角形的面积相等
D.同位角相等，两直线平行
随堂小测
D
解：（1）逆命题：多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.
（2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为真命题.
（3）逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真命题.
2.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0，那么a=0，b=0.
1.如图，AC⊥BD，∠1=∠2，∠D=40°，则∠BAD的度数是 (　 　)
A.85° B.90°
C.95° D.100°
2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 (　 　)
A.3，4，5 B.2，3，4
C.4，6，7 D.5，11，12
当堂检测
C
A
2. 写出下列命题的逆命题，并判断真假.
（1）对顶角相等;
（2）如果a=b，那么ac=bc;
（3）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等.
解:（1）逆命题:如果两个角相等,那么它们是对顶角.这是假命题.
（2）逆命题:如果ac=bc,那么a=b.这是假命题.
（3）逆命题:如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的角相等.这是真命题.
3.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5 cm，BC＝3 cm，
由勾股定理得AC2＝AB2－BC2，∴AC＝4 cm，
又∵S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，
∴CD＝BC·AC÷AB＝2.4 cm，
∴CD的长是2.4 cm.
1
2
1
2
课堂小结
直角三角形的性质定理：
直角三角形的两个锐角互余.
勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.
互逆命题
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆定理.
不是所有的定理都有逆定理，只有这个定理的逆命题是真命题时，才能称这个逆命题是逆定理.
互逆命题不一定都是真的，但互逆定理一定都是真命题.
情境导入
知识讲解
随堂小测
当堂检测
1.3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
课堂小结
学习目标
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”；（难点）
2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等；（重点）
3.已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形.
情境导入
想一想，两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？动手画一画.
C
D
B
A
如右图所示，在△ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等.
如果其中一组等边所对的角是直角呢？
知识讲解
知识点 直角三角形全等的判定定理
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
做一做
已知：如下图，线段a，c（a求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.
（1）作∠MCN=∠α=90°.
M
C
N
（2）在射线CM上截取CB =a.
M
C
N
B
（3）以点 B为圆心，线段 c的长为半径作弧，交射线CN于点A.
M
C
N
B
A
M
C
N
B
A
（4）连接AB，得到Rt△ABC.
剪下来，比一比，你与同桌两人作出的直角三角形全等吗？你能试着证明一下吗？由此你得出了什么结论？
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
C
B
A
A'
B'
C'
证明：在△ABC 中，
∵ ∠C= 90 ° ，
∴ BC2=AB2-AC2（勾股定理）.
同理， B′C′2= A′B′2- A′C′2.
∵ AB=A′B′，AC=A′C′，
∴ BC=B′C′.
∴ △ABC≌△A′B′C′ （SSS）.
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
直角三角形全等的判定定理
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.
例
如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
解：根据题意可知
∠BAC =∠EDF = 90°,
BC =EF，AC =DF.
∴Rt△BAC≌ Rt△EDF（HL）.
∴∠B =∠DEF（全等三角形的对应角相等） .
∵∠DEF +∠F =90°（直角三角形的两锐角互余），
∴∠B +∠F =90°.
1.判断下列命题的真假，并说说你的理由。
（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
（4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线也相等的两个直角三角形全等.
随堂小测
×
√（AAS）
√（SAS）
√（先用HL，再用SAS）
2.如图，两根长度均为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
解：相等.理由：根据题意可知，
∠AOB =∠AOC = 90°,
AB =AC，AO =AO.
∴Rt△AOB≌ Rt△AOC（HL）.
∴OB =OC .
1.如图，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D.若AC＝DB，则下列结论中不正确的是 （ ）
A.∠A＝∠D
B.∠ABC＝∠DCB
C.OB＝OD
D.OA＝OD
当堂检测
C
2．如图，点O是∠BAC内一点，OP⊥AC于点P，OD⊥AB于点D，OP=OD，则直接得到△OPA≌△ODA的理由是 （ ）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
A
3.如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°.
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC=35°，则∠CAO=________.
证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形．
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
AB=BA，BC=AD，∴Rt△ACB≌Rt△BDA.
20°
4.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F. 求证：CE=DF.
证明：∵ AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ ACB= ∠ BDA=90°.
在Rt △ ABC 和Rt △ BAD 中，
AB=BA，BC=AD，
∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ BAD(HL).
∴∠ CBE= ∠ DAF.
∵ CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠ CEB=∠ DFA=90°.
在△ BCE 和△ ADF 中，
∠ CEB= ∠ DFA，
∠ CBE= ∠ DAF，
BC=AD，
∴△ BCE ≌△ ADF(AAS). ∴ CE=DF.
课堂小结
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
直角三角形全等的判定定理
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.

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