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(共44张PPT)
1.4 线段的垂直平分线
情境导入
知识讲解
随堂小测
当堂检测
1.4 线段的垂直平分线
第1课时 垂直平分线的性质及判定
课堂小结
学习目标
1.探索证明线段垂直平分线的性质和判定；（重点）
2.能运用线段垂直平分线性质和其判定解决实际问题；（难点）
情境导入
复
习
回
顾
1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
B
2.什么叫线段的垂直平分线？
3.线段的垂直平分线有什么性质？
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，这条线段的垂直平分线(中垂线).
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
你能证明这个性质吗？
知识讲解
知识点 垂直平分线的性质与判定
已知：如下图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
N
A
P
B
C
M
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）.
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
你能写出上面这个定理的逆命题吗？
做一做
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
这个命题是真命题还是假命题呢？
已知：线段AB，点 P 是平面内一点且PA=PB.
求证：点P在AB的垂直平分线上.
B
P
A
C
证明：如右图，过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
∴PC是△PAB的中线.
∴AC=BC，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线.
即点P在AB的垂直平分线上.
还可以过P点作AB的中线或∠APB的角平分线.
所以，“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”这个命题是真命题.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
互为逆定理
例1
已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
用尺规作线段的垂直平分线
已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．
作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧，两弧相交于点C和D；
2.连接直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
D
C
B
A
知识拓展
1.已知：如图，AB是CD的垂直平分线， E， F是AB上两点.
求证：∠ECF=∠EDF.
随堂小测
A
B
C
D
E
F
证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴EC=ED，FC=FD.
又∵EF=EF，
∴△ECF≌△EDF.
∴∠ECF=∠EDF.
2. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC .
P
B
D
C
A
证明：如右图，连接B，C.
∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上.
同理， D在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点 ，
∴PB=PC.
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，BE=6 cm，∠AEC=30°，则AC等于 （ ）
A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D.3 cm
当堂检测
D
2.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16 cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
3.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD.
求证:AB∥DF.
证明:∵EF垂直平分BD，
∴FB=FD，
∴∠FBD=∠BDF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠FBD，
∴∠ABD=∠BDF，
∴AB∥DF.
4.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE.
（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数.
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC，
∵∠AEB=∠EAC+∠C=70°，
∴∠C=35°.
（1）证明：∵AD⊥BC，点E在BC上，
∴AD⊥BE，又∵BD=DE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB= （180°-∠BAE）=70°，
∵EF垂直平分AC，
1
2
4.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE.
（2）若△ABC的周长为14 cm，AC=6 cm，求DC的长.
（2）解：∵△ABC的周长为14 cm，AC=6 cm，
∴AB+BC+AC=14 cm，
∴AB+BC=8 cm，
∴AB+BD+DE+CE=8 cm，
∵BD=DE，AB=AE，AE=CE，
∴2DE+2CE=8 cm，∴DE+CE=4 cm，即DC=4 cm.
课堂小结
垂直平分线的性质定理：
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
垂直平分线的判定定理：
情境导入
知识讲解
随堂小测
当堂检测
1.4 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三条边的垂直平分线
课堂小结
学习目标
1.推理论证“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”这一性质；（重点）
2.利用尺规作图确定三角形三边垂直平分线交点的位置，并会作出已知底边和底边上的高的等腰三角形；
3.利用三角形三边的垂直平分线的性质解决问题.（难点）
情境导入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
猜想：要到三个小区的距离相等，那么应建在三角形三边垂直平分线的交点.
那三角形三边的垂直平分线是否交于一点呢？
知识讲解
知识点1 线段垂直平分线的作图及应用
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？
议一议
A1
D
C
B
A
a
h
D
C
B
A
a
h
A1
能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
(D)
C
A
a
h
A1
B
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？
议一议
这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形.
如图，这些三角形不都全等.
（3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
议一议
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
你能通过尺规作图，作出这个三角形吗？
已知一个等腰三角形的底及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：如图①，线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
作法：
（1）作线段BC=a（如右图）.
a
h
图①
B
C
（2）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.
（3）在l上作线段DA，使DA=h.
l
D
A
（4）连接AB，AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
做一做
已知直线l和l上上一点P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
小明的作法如右图，你能明白小明作法吗？
A
B
P
m
l
作法：
（1）以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点A，B.
（2）作线段AB的垂直平分线m.
直线m就是过点P的直线l的垂线.
议一议
如果点P是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作l 的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法.
A
B
P
m
l
作法：
（1）以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点A，B.
（2）作线段AB的垂直平分线m.
直线m就是过点P的直线l的垂线.
作图 已知、求作 作法
作等腰三角形 已知：如图，线段a，h. 求作：△ ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. （1）如图，作线段BC=a.
（2）作线段BC 的垂直平分
线l，交BC于点D.
（3）在l上作线段DA，
使DA=h.
（4）连接AB，AC.
△ ABC 为所求作的等腰三角形.
总结归纳
作图 已知、求作 作法
过直线上一点，作这个直线的垂线 已知：如图，直线 l 和l 上一点P. 求作：直线l 的垂 线，使它过点P. （1）以点P为圆心，
适当长为半径作弧，
交直线l于点A，B.
（2）作线段AB的
垂直平分线m.
直线m就是过点P的
直线l的垂线.
作图 已知、求作 作法
过直线外一点，作这个直线的垂线 已知：如图，直线 l 和l 外一点P. 求作：直线l 的垂 线，使它过点P. （1）以点P为圆心，
适当长为半径作弧，
交直线l于点A，B.
（2）作线段AB的
垂直平分线m.
直线m就是过点P的
直线l的垂线.
1.已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是 （ ）
随堂小测
D
2.（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点E，使得E到P，C两点的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）在图中，如果AC=5 cm，AP=3 cm，则
△APE的周长是 cm.
E
8
知识讲解
知识点2 三角形三条边的垂直平分线
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线.
画一画
剪下一个三角形，通过折叠找出每边的垂直平分线.
做一做
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
通过这两次动手操作，你发现了什么？
你能证明这个结论吗？
例 2
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如右图，在△ABC 中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.
A
B
C
P
已知：如右图，在△ABC 中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.
A
B
C
P
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相等）
同理，PB=PC.
∴PA=PB=PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上），
即 边AC的垂直平分线经过点P.
知识拓展
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现.
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点.
②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处.
③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.
这个点叫做三角形的外心.
总结归纳
三角形三边的垂直平分线的性质定理
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
1.三角形三边的垂直平分线的交点（ ）
A．到三角形三边的距离相等
B．到三角形三个顶点的距离相等
C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等
D．不能确定
随堂小测
B
2.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.
解:设AB的垂直平分线交AB于点D，AC的垂直平分线交AC于点G.则图中相等的线段有：
AD=BD，BE＝AE，AG=CG，AF＝CF.
△AEF的周长为AE＋EF＋AF=BE+EF+FC=BC=2.
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是 （ ）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
当堂检测
D
2. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是 （ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
A
3.如图，有A，B，C三个村庄，他们合作打一口井，为了公平，需要这口井到三个村庄的距离相等，那么，这口井应该在哪个位置？请画出来.
A
B
C
P
课堂小结
三角形三边的垂直平分线的性质定理
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
有关垂直平分线的尺规作图.

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