资源简介

(共37张PPT)
1.5 角平分线
1.5 角平分线
第1课时 角平分线的性质及判定
情境导入
知识讲解
随堂小测
课堂小结
学习目标
1.证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力；（重点）（难点）
2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.
情境导入
复
习
回
顾
1.什么是点到直线的距离？
O
P
l
从直线外一点，作直线的垂线，垂线段的长度为点到直线的距离.
2.什么是角平分线？
3.角平分线上的点有什么性质？
复
习
回
顾
你能尝试证明这一性质吗？
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
情境导入
知识讲解
知识点 角平分线的性质与判定
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.
求证：PD=PE.
2
1
E
D
C
P
O
B
A
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∵∠1=∠2，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS）.
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
想一想
你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上.
角平分线是一条射线，在角的外部也有到角两边距离相等的点，但不在这个角的角平分线上.所以是假命题.
这个命题应怎样改，才是真命题呢？请你修改一下，并证明.
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
2
1
E
D
P
O
B
A
已知：如图，点 P 为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，
∴∠ODP=∠OEP=90°．
∴PD=PE，OP=OP，
∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）．
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．
∴OP平分∠AOB．
例1
如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长.
解：∵DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴DE = AD= ×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
1
2
1
2
知识拓展
角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理中都提到了“距离相等”，你认为这两个“距离”含义相同吗？
不相同.
线段垂直平分线的性质定理中“距离”是两点之间的距离；
而角平分线的性质定理中的“距离”指的是点到线的距离.
知识拓展
角平分线的画法（尺规作图）：
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使OC平分∠AOB.
O
A
B
作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径作弧分别交OA，OB于点D，E；
A
D
E
（2）分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，交于点C；
1
2
C
（3）作射线OC.
OC就是∠AOB的角平分线.
总结归纳
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
随堂小测
1. 如下图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4 ，则AC的长是 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
A
2. 如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？
解：互相垂直.理由如下：
∵AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，
∴∠CAD= ∠BAC，∠CAE= ∠CAF.
∴∠CAD+∠CAE= ∠BAC+ ∠CAF= （∠BAC+∠CAF）= ×180°=90°.
即∠DAE=90°.∴AD⊥AE.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3.如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，在图上标出它的位置(比例尺1 ∶20 000).
解：把公路、铁路看成两条相交直线，相交点为O，作其夹角（A区所在角）的角平分线OB，再OB上截取OC=2.5 cm，C点即为所求目标.
1.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS.下面三个结论:
①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.正确的是 （ ）
A.①和② B.②和③　
C.①和③ D.全对
当堂检测
A
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，则下面四个结论：①若AD⊥BC，则EM＝EN；②若EM＝EN，则∠BAD＝∠CAD；③若EM＝EN，则AM＝AN； ④若EM＝EN，则∠AEM＝∠AEN.其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
3. 已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点F，E，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG.
求证:OC是∠AOB的平分线.
证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDF=∠PEG=90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中,
∵PF=PG，DF=EG，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)，
∴PD=PE.
∵P是OC上点，PD⊥OA，PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.
课堂小结
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
情境导入
知识讲解
随堂小测
当堂检测
1.5 角平分线
第2课时 三角形三个内角的平分线
课堂小结
学习目标
1.利用角平分线的性质和判定探索证明三角形三条角平分线的特殊位置关系及性质；（难点）
2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.（重点）
情境导入
复
习
回
顾
之前我们学习了三角形三边上的垂直平分线的性质，你还记得它的内容吗？
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
上节课我们学习了角平分线，这节课我们将一块儿学习三角形角平分线的综合应用以及三角形三个内角的平分线的性质.
知识讲解
知识点1 角平分线的综合应用
例2
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.
（1）已知CD=4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB=AC+CD.
D
A
B
E
C
例2
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.
（1）已知CD=4 cm，求 AC 的长；
D
A
B
E
C
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE =CD=4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等边对等角）.
∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°.
∴∠BDE=90°-45°=45°. ∴BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形BDE中， BD = =4 cm （勾股定理）.
∴AC =BC= CD + BD = （4+4 ）cm.
1
2
（2）求证：AB=AC+CD.
（2）证明：由（1）的求解过程可知
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
D
A
B
E
C
知识点2 三角形三条边角平分线的性质
画出下面三角形三个内角的平分线.
画一画
剪下一个三角形，通过折叠找出各角平分线.
做一做
发现：三角形三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等．
通过这两次动手操作，你发现了什么？
你能证明这个结论吗？
总结归纳
三角形三角平分线的性质定理
三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等．
例3
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P。
求证：∠A的平分线经过点P。
解：如图，过点P分别作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
同理，PE=PF.∴ PD = PE = PF.
∴点P在LA的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即ZA的平分线经过点P。
随堂小测
1.三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在 （ ）
A. 三角形的三条角平分线的交点处
B. 三角形的三条中线的交点处
C. 三角形的三条高的交点处
D. 以上位置都不对
A
2.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ .
4 ∶5 ∶6
（易错题）3.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？（ ）
A. 1处
B. 2处
C. 3处
D. 4处
l1
l2
l3
P1
P2
P3
P4
D
1.如图，在△ABC中，AP平分∠BAC交BC于点P，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且AC=4，PM=2，则△APC的面积是 （ ）
A. 4 B. 2 C. 8 D. 6
当堂检测
A
2.如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°，∠B=40°， D，E分别在边BC，AB上，且 DE⊥AB于E，CD=DE，则∠CAD = ________.
A
C
B
D
E
25°
3.在 Rt△ACB 中，∠BAC =90°，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，DF⊥BC于点F.
（1）求证：AB=BF；
证明：∵DF⊥BC，∴∠DFB=∠BAD =90°，
∵BD平分∠ABC，∴DA=DF，
又∵BD=BD，
∴Rt△ADB≌Rt△FDB（HL）.
∴AB=BF.
3.在 Rt△ACB 中，∠BAC =90°，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，DF⊥BC于点F.
（2）试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由.
（2）AD=AG，理由如下：
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEC=∠DFC =90°，
∴AE∥DF，
∴∠AGD=∠FDG，
又因为Rt△ADB≌Rt△FDB，
∴∠ADB=∠FDB，
∴∠AGD=∠ADG，
∴AD=AG（等角对等边）.
课堂小结
三角形三角平分线的性质定理
三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等．

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