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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第二章 方程与不等式
2.3一元二次方程
一元二次 方 程 概念 （1）两边都是 ，只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程． （2）一元二次方程的一般形式： ，其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0. ★注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0，因为当a＝0时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
解一元二次方程的方法 （降次） （1）直接开平方法：形如或（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． ① 如果方程化成的形式，那么可得x＝±； ②如果方程能化成（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． ★注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方．
（2）配方法：将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式 ★用配方法解一元二次方程的一般步骤为： ① 将方程变为一般式 ②化二次项系数a为 ③常数项c移到右边 ④配方：方程两边同时加一次项系数 ，使左边配成一个完全平方式 ⑤把方程变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，直接降次；如果q＜0，方程无实数根。
（3）公式法：ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 ★用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出的值（若，方程无实数根）； ③在的前提下，把a，b，c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②．
（4）因式分解法：将方程右边化为 ，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解． ★因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
根的判别式 用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系： ①当b2-4ac>0时，方程 实数根； ②当b2-4ac=0时，方程 实数根； ③当b2-4ac<0时，方程 实数根． 上面的结论反过来也成立．
根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根为x1和x2，则 其成立的前提条件是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0，判别式b2－4ac≥0.
一元二次方程的实际问题 （1）平均增长/下降率问题： 如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为 ．
（2）利润问题：总利润＝ 单件利润×销售数量 =（售价-进价）×销售数量 利润＝售价－ ， 利润率＝ ， 销售价＝(1＋ )×进货价．
（3）面积问题 类型1：如图1所示的矩形长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． 类型2：如图2所示的矩形长为a，宽为b，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． 类型3：如图3所示的矩形长为a，宽为b，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3
（4）相互问题：握手问题： 礼物问题：x(x－1)
（5）传染问题：第二轮总数：(1+x)2 第n轮总数：(1+x)n
（6）分支问题和转发问题：x2+x+1=总数
【题型一】一元二次方程的解
【例1.1】（2024 温州模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
【例1.2】（2025 富阳区一模）已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为（　　）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2018
【题型二】解一元二次方程
【例2.1】（2024 金东区二模）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，将方程化为（x﹣3）2＝a的形式，则a的值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【例2.2】解方程：（1）（2025 徐州）x2+2x﹣4＝0；
（2）（2025 安徽模拟）3x2+3x﹣1＝0．
【例2.3】（2024 丽水一模）小红解方程3x（x﹣1）﹣x+1＝0的过程加下．
解：3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0， ①
3x﹣1＝0，…②
3x＝1，…③
x＝．…④
（1）小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号；
（2）写出你的解答过程．
【题型三】根的判别式的应用
【例3.1】（2025 定海区三模）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【例3.2】（2025 宁波一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝2 B．k＝0 C．k＝﹣1 D．k＝﹣2
【例3.3】（2025 五华县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
【题型四】根与系数的关系
【例4.1】（2025 绍兴二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+6a＝0有两个不同的解，其中一个解是x＝2a，则该方程的另一个解是 　 ．
【例4.2】（2024 钱塘区三模）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为 　 　 ．
【例4.3】（2024 鄞州区模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根，则式子的值是 　 　 ．
【题型五】一元二次方程的实际问题
【例5.1】（2024 浙江模拟）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（　　）
A．x （60+x）＝864 B．x （60﹣2x）＝864
C．x （30﹣x）＝864 D．x （60﹣x）＝864
【例5.2】（2024 长兴县模拟）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　）
A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2
C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2
【例5.3】（2025 固原一模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
1．（2024 浙江模拟）若x＝﹣1是方程x2+cx＝c的一个根，则c＝（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．
2．（2025 嵊州市模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2025的值为（　　）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
3．（2025 富阳区二模）利用“配方法”解方程x2﹣4x﹣7＝0，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝11 D．（x﹣4）2＝3
4．（2025 温州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　）
A．﹣36 B．﹣9 C．9 D．36
5．（2023 衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
6．（2024 富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或x＝1 D．x＝或x＝1
7．（2025 西湖区二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx+15＝0的两个实数根，x1﹣x2＝2，则m的值为（　　）
A．±8 B．8 C．﹣8 D．±4
8．（2025 衢州三模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864
9．（2025 三台县模拟）已知关于x的方程x2+4x+k＝0有两个同号的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜0 B．0＜k≤4 C．0≤k＜4 D．k＞0
10．（2022 浦江县模拟）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（　　）
A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm
11．（2025 宁波一模）解方程4x2﹣1＝0得 ．
12．（2025 浙江模拟）若x＝4是关于x的方程ax2﹣bx＝8的解，则2025﹣8a+2b的值为 　 　 ．
13．（2022 杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　 　 （用百分数表示）．
14．（2025 宁波一模）使得方程x2+3x+c＝0有实数根的最大的整数c＝　 　 ．
15．（2025 西湖区校级模拟）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　 　 ．
16．解方程：
（1）（2025 滨江区一模）x2+2x﹣1＝0． （2）（2024 钱塘区二模）（x﹣2）2+2x﹣4＝0；
17．（2023 杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
18．（2025 嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如下框：
小李： 解：两边同除以（x﹣2），得 2＝x﹣2， 则x＝4． 小王： 解：移项，得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 提取公因式，得（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0． 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．
19．（2025 新昌县一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0．
（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值．
20．（2023 宁波模拟）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
（1）用含a，b的代数式表示AD的长．
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由．
21．（2024 定海区三模）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元.
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求.
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
1．（2025 莲都区二模）已知a是方程x2+2x+1＝0的一个根，则代数式2a2+4a+3的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．（2023 庆元县一模）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
3．（2024 鄞州区模拟）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1
4．（2025 扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况
5．（2025 宁波模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值可以是（　　）
A． B．1 C． D．2
6．（2025 福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）
A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6
7．（2025 台州一模）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，x年内的碳排放量共计2450吨．为求x的值，列出如下方程，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025 椒江区二模）已知一元二次方程x2+2mx+1＝0的一个根为1，则m＝ 　 　 ．
9．（2024 温州二模）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　 　 ．
10．（2025 南京）设方程x2+2x﹣9＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝　 　 ．
11．（2024 下城区校级模拟）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+3＝0的两个根，则x2+x1＝　　 ．
12．（2024 平湖市模拟）关于x的方程的根满足（2x﹣m）（x+2m）＝0，则m的值是 　 　 ．
13．解方程：（1）（2024 滨江区二模）x2+2x＝1；
（2）（2025 宁波一模）x2﹣1＝x．
（3）（2025 齐齐哈尔）x2﹣7x＝﹣12．
14．（2025 淮安一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）若此方程恰有一个根等于﹣1，求k的值；
（2）求证：不论k取何值，方程总有实数根．
15．（2024 拱墅区一模）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值；
（2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1 x2＝25，求k的值．
16．（2025 泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第二章 方程与不等式
2.3一元二次方程
一元二次 方 程 概念 （1）两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2次 ，这样的方程叫做一元二次方程． （2）一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0) ，其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0. ★注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0，因为当a＝0时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
解一元二次方程的方法 （降次） （1）直接开平方法：形如或（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． ① 如果方程化成的形式，那么可得x＝±； ②如果方程能化成（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． ★注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方．
（2）配方法：将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式 ★用配方法解一元二次方程的一般步骤为： ① 将方程变为一般式 ②化二次项系数a为1 ③常数项c移到右边 ④配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式 ⑤把方程变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，直接降次；如果q＜0，方程无实数根。
（3）公式法：ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 ★用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出的值（若，方程无实数根）； ③在的前提下，把a，b，c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②．
（4）因式分解法：将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解． ★因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
根的判别式 用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系： ①当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当b2-4ac<0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立．
根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，其成立的前提条件是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0，判别式b2－4ac≥0.
一元二次方程的实际问题 （1）平均增长/下降率问题： 如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
（2）利润问题：总利润＝ 单件利润×销售数量 =（售价-进价）×销售数量 利润＝售价－成本， 利润率＝×100%， 销售价＝(1＋利润率)×进货价．
（3）面积问题 类型1：如图1所示的矩形长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． 类型2：如图2所示的矩形长为a，宽为b，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． 类型3：如图3所示的矩形长为a，宽为b，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3
（4）相互问题：握手问题： 礼物问题：x(x－1)
（5）传染问题：第二轮总数：(1+x)2 第n轮总数：(1+x)n
（6）分支问题和转发问题：x2+x+1=总数
【题型一】一元二次方程的解
【例1.1】（2024 温州模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
【点拨】先根据一元二次方程解的定义，把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得关于k的方程，解方程即可．
【解析】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得：
1+k﹣6＝0，
k＝5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．
【例1.2】（2025 富阳区一模）已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为（　　）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2018
【点拨】把m的值代入一元二次方程，得2m2﹣m的值，再整体代入得结论．
【解析】解：∵m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，
∴2m2﹣m﹣3＝0，即2m2﹣m＝3．
∴﹣2m2+m＝﹣3．
∴2024﹣2m2+m＝2024﹣3＝2021．
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握整体代入的思想方法和方程解的定义是解决本题的关键．
【题型二】解一元二次方程
【例2.1】（2024 金东区二模）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，将方程化为（x﹣3）2＝a的形式，则a的值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【点拨】先把方程中的常数项移到等号右边，再把方程两边同时加9，进行配方，然后根据配方结果求出a即可．
【解析】解：x2﹣6x+1＝0，
x2﹣6x＝﹣1，
x2﹣6x+9＝﹣1+9，
（x﹣3）2＝8，
∴a＝8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用配方法解一元二次方程．
【例2.2】解方程：（1）（2025 徐州）x2+2x﹣4＝0；
（2）（2025 安徽模拟）3x2+3x﹣1＝0．
【点拨】（1）用配方法解方程即可；
（2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可．
【解析】解：（1）x2+2x﹣4＝0，
（x+1）2＝5，
∴x+1＝或x+1＝﹣，
解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1；
（2）3x2+3x﹣1＝0，
Δ＝32﹣4×3×（﹣1）＝21＞0，
则x＝，
所以．
【点睛】解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
【例2.3】（2024 丽水一模）小红解方程3x（x﹣1）﹣x+1＝0的过程加下．
解：3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0， ①
3x﹣1＝0，…②
3x＝1，…③
x＝．…④
（1）小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号；
（2）写出你的解答过程．
【点拨】（1）根据等式的基本性质求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解析】解：（1）步骤②错误；
（2）∵3x（x﹣1）﹣x+1＝0，
∴3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
【题型三】根的判别式的应用
【例3.1】（2025 定海区三模）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【点拨】计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解．
【解析】解：由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，
∵m2＞0，
∴m2+4＞0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
【例3.2】（2025 宁波一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝2 B．k＝0 C．k＝﹣1 D．k＝﹣2
【点拨】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解析】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝0，
解得k＝2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【例3.3】（2025 五华县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
【点拨】（1）求出判别式Δ＝（﹣3m）2﹣4（m2﹣2）＝5m2+8＞0，据此可得答案；
（2）将x＝0代入方程，解关于m的方程可得m的值．
【解析】（1）证明：∵Δ＝（﹣3m）2﹣4（m2﹣2）＝5m2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为x＝0，
∴m2﹣2＝0，解得m＝±，
∵m是正数，
∴m＝．
【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型四】根与系数的关系
【例4.1】（2025 绍兴二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+6a＝0有两个不同的解，其中一个解是x＝2a，则该方程的另一个解是x＝3　 ．
【点拨】根据根与系数的关系进行计算即可．
【解析】解：∵x2﹣ax+6a＝0有两个不同的解，
设另一个解是x＝m，
∴2a m＝6a，
∴m＝3，
故答案为：x＝3．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【例4.2】（2024 钱塘区三模）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为 　﹣1　 ．
【点拨】根据一元二次方程根与系数的关系，用k表示出x1+x2和x1x2，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）＝5建立关于k的方程即可解决问题．
【解析】解：因为x1和x2是关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根，
所以x1+x2＝2k﹣1，，Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k2≥0，
解得k≤．
因为（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，
所以x1x2﹣（x1+x2）+1＝5，
则k2﹣（2k﹣1）+1＝5，
解得k1＝﹣1，k2＝3．
因为k≤，
所以k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【例4.3】（2024 鄞州区模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根，则式子的值是 　2　 ．
【点拨】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣2，ab＝﹣1，再通过通分得到原式＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：根据题意得a+b＝﹣2，ab＝﹣1，
所以＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
【题型五】一元二次方程的实际问题
【例5.1】（2024 浙江模拟）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（　　）
A．x （60+x）＝864 B．x （60﹣2x）＝864
C．x （30﹣x）＝864 D．x （60﹣x）＝864
【点拨】设宽为x步，则长为（60﹣x）步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
【解析】解：设宽为x步，则长为（60﹣x）步，
依题意，得：x（60﹣x）＝864，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例5.2】（2024 长兴县模拟）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　）
A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2
C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2
【点拨】根据2023年的销售量＝2021年的销售量×（1+从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率）2，结合2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：根据题意得：20（1+x）2﹣20＝31.2．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例5.3】（2025 固原一模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【点拨】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出方程求解即可．
【解析】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得50（1+x）2＝72，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得（y﹣30）[500﹣10（y﹣40）]＝8000，
整理，得y2﹣120y+3500＝0，
解得y1＝50，y2＝70，
因尽可能让顾客得到实惠，
，所以y＝70不合题意，舍去．
所以y＝50．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
1．（2024 浙江模拟）若x＝﹣1是方程x2+cx＝c的一个根，则c＝（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．
【点拨】把x＝﹣1代入一元二次方程得到x2+cx＝c，然后解一次方程即可．
【解析】解：把x＝﹣1代入方程x2+cx＝c得1﹣c＝c，
解得c＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（2025 嵊州市模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2025的值为（　　）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
【点拨】根据已知易得：m2﹣2m﹣2＝0，从而可得m2﹣2m＝2，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解析】解：∵m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣2＝0，
∴m2﹣2m＝2，
∴2m2﹣4m+2025＝2（m2﹣2m）+2025＝2×2+2025＝4+2025＝2029，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2025 富阳区二模）利用“配方法”解方程x2﹣4x﹣7＝0，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝11 D．（x﹣4）2＝3
【点拨】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解析】解：x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝11，
（x﹣2）2＝11．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4．（2025 温州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　）
A．﹣36 B．﹣9 C．9 D．36
【点拨】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，然后解一次方程即可．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．（2023 衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
【点拨】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝36．
【解析】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
6．（2024 富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或x＝1 D．x＝或x＝1
【点拨】分析题意，按新定义的运算对方程变形可得3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1；对以上方程整理，先化为一般形式，再因式分解，可得（5x+4）（x﹣1）＝0；接下来用一元一次方程的解法求出方程的两个解即可．
【解析】解：∵a※b＝3（a+b）﹣5ab，
∴方程x※（x+1）＝﹣1变形为3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1，
∴5x2﹣x﹣4＝0，
∴（5x+4）（x﹣1）＝0，
∴5x+4＝0，x﹣1＝0，
∴x＝﹣或x＝1．
故选：C．
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法．
7．（2025 西湖区二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx+15＝0的两个实数根，x1﹣x2＝2，则m的值为（　　）
A．±8 B．8 C．﹣8 D．±4
【点拨】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解析】解：由题知，
因为x1，x2是一元二次方程x2﹣mx+15＝0的两个实数根，
所以x1+x2＝m，x1x2＝15．
又因为x1﹣x2＝2，
所以，
则，
即m2﹣4×15＝4，
解得m＝±8，
所以m的值为±8．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
8．（2025 衢州三模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864
【点拨】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2025 三台县模拟）已知关于x的方程x2+4x+k＝0有两个同号的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜0 B．0＜k≤4 C．0≤k＜4 D．k＞0
【点拨】首先根据有两个实数根得到Δ＝42﹣4k≥0，求出k≤4，然后由两根同号得到，求出k＞0，即可求解．
【解析】解：由题意得，Δ＝42﹣4k≥0，
解得：k≤4，
由条件可知x1x2＝k＞0，
∴0＜k≤4，
故选：B．
【点睛】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键．
10．（2022 浦江县模拟）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（　　）
A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm
【点拨】设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米，根据包装盒的容积为200cm3，得5（5x﹣10） （2x﹣10）＝200，解方程即可．
【解析】解：设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米，
根据题意，得5（5x﹣10） （2x﹣10）＝200，
解方程，得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝6，
∴这张长方形纸板的长为30厘米，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键．
11．（2025 宁波一模）解方程4x2﹣1＝0得x1＝，x2＝﹣　 ．
【点拨】这个式子先移项，变成x2＝，从而把问题转化为求的平方根．
【解析】解：由原方程，得
x2＝，
开平方，得
x＝±，
解得x1＝，x2＝﹣．
故答案为：x1＝，x2＝﹣．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
12．（2025 浙江模拟）若x＝4是关于x的方程ax2﹣bx＝8的解，则2025﹣8a+2b的值为 　2021　 ．
【点拨】将x＝4代入方程得到6a﹣4b＝8，再根据2025﹣8a+2b＝2025﹣2（4a﹣b），将数值代入即可求出答案．
【解析】解：将x＝4代入方程，
得：6a﹣4b＝8，
∴4a﹣b＝2．
∴2025﹣8a+2b
＝2025﹣2（4a﹣b）
＝2025﹣2×2
＝2021．
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
13．（2022 杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　30%　 （用百分数表示）．
【点拨】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
0.3＝30%，
∴新注册用户数的年平均增长率为30%．
故答案为：30%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2025 宁波一模）使得方程x2+3x+c＝0有实数根的最大的整数c＝　2　 ．
【点拨】由方程有实数根，得Δ＝32﹣4c＝9﹣4c≥0，解得，这样就很快得到满足条件的c的非负整数值．
【解析】解：由题意得，Δ＝32﹣4c＝9﹣4c≥0，
解得．
所以满足的最大整数值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
15．（2025 西湖区校级模拟）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　6　 ．
【点拨】直接根据根与系数的关系求解．
【解析】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，
∴2m2﹣4m＝1，m+n＝﹣＝2，mn＝﹣，
∴3m2﹣4m+n2
＝2m2﹣4m+m2+n2
＝1+（m+n）2﹣2mn
＝1+22﹣2×（﹣）
＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
16．解方程：
（1）（2025 滨江区一模）x2+2x﹣1＝0． （2）（2024 钱塘区二模）（x﹣2）2+2x﹣4＝0；
【点拨】（1）先利用配方法得到（x+1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
【解析】解：（1）x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
x2+2x+1＝2，
（x+1）2＝2，
x+1＝±，
所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）（x﹣2）2+2x﹣4＝0，
（x﹣2）2+2（x﹣2）＝0；
（x﹣2）（x﹣2+2）＝0，
x（x﹣2）＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2；
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17．（2023 杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【点拨】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在②③中选取，然后求解方程即可．
【解析】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝．
【点睛】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
18．（2025 嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如下框：
小李： 解：两边同除以（x﹣2），得 2＝x﹣2， 则x＝4． 小王： 解：移项，得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 提取公因式，得（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0． 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．
【点拨】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解析】解：两个都错：×；×
2（x﹣2）＝（x﹣2）2，
2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0，
（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]＝0，
（x﹣2）（4﹣x）＝0，
x1＝2，x2＝4．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法．
19．（2025 新昌县一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0．
（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值．
【点拨】（1）根据Δ＞0求得m的取值范围，再进一步在范围之内确定m的一个整数值；
（2）根据根与系数的关系，对α2+β2+αβ进行变形求解．
【解析】解：（1）根据题意，得Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜5．
∴只要是m＜5的整数即可．
如：令m＝1．
（2）当m＝1时，则得方程x2+4x＝0，
∵α，β是方程x2+4x＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣4，αβ＝0，
∴α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ＝（﹣4）2﹣0＝16．
【点睛】（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
②Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
③Δ＜0 方程没有实数根．
（2）一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于．
20．（2023 宁波模拟）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
（1）用含a，b的代数式表示AD的长．
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由．
【点拨】（1）由勾股定理求出AB的长，即可得出结论；
（2）设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x+，由勾股定理得出方程，即可得出结论．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，
∴AB＝＝＝＝，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝；
（2）线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根，理由如下：
设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x+，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：b2+（）2＝（x+）2，
整理得：x2+ax＝b2，
∴线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及数学常识，弄清题意是解本题的关键．
21．（2024 定海区三模）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元.
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求.
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
【点拨】（1）根据“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度x的取值范围；
（2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为（300﹣2x）米、宽为（200﹣2×2x）米的长方形，根据中间种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，取其符合题意的值，再对照（1）中x的取值范围，即可得出结论；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出（5000+100y）平方米草莓，利用总利润＝销售利润﹣承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论．
【解析】解：（1）根据题意得：5≤x≤12；
（2）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣2×2x）＝44800，
整理得：x2﹣200x+1900＝0，
解得：x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去），
∵5≤10≤12，
∴路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出5000+×500＝（5000+100y）平方米草莓，
根据题意得：（100﹣y）（5000+100y）﹣20000＝520000，
整理得：y2﹣50y+400＝0，
解得：y1＝10，y2＝40，
又∵要让利于顾客，
∴y＝40．
答：每平方米草莓平均利润下调40元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
1．（2025 莲都区二模）已知a是方程x2+2x+1＝0的一个根，则代数式2a2+4a+3的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【点拨】由题意可得a2+2a＝﹣1，将原式变形后代入数值计算即可．
【解析】解：由条件可知a2+2a+1＝0，
∴a2+2a＝﹣1，
∴2a2+4a+3＝2（a2+2a）+3＝2×（﹣1）+3＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的意义，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2023 庆元县一模）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
【点拨】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
【解析】解：把方程x2+4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x＝1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4＝1+4
配方得（x+2）2＝5．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．（2024 鄞州区模拟）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1
【点拨】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可．
【解析】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
4．（2025 扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【点拨】根据根的判别式即可求出答案．
【解析】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根是解题的关键．
5．（2025 宁波模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值可以是（　　）
A． B．1 C． D．2
【点拨】由于所给方程有两个不相等的实数根，可知Δ＞0，求解即可．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1，
∴a的取值可以是，不能为1或或2．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是知道：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
6．（2025 福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）
A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6
【点拨】设矩形的一边长为x米，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：由题意可得，x（5﹣x）＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
7．（2025 台州一模）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，x年内的碳排放量共计2450吨．为求x的值，列出如下方程，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】根据该企业去年的碳排放量及从今年开始每年的碳排放量均比上年减少10吨，可得出该企业今年及x年后的碳排放量，结合x年内的碳排放量共计2450吨，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵该企业去年的碳排放量为300吨，且从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，
∴该企业今年的碳排放量为300﹣10＝290（吨），x年后的碳排放量为（300﹣10x）吨．
根据题意得：＝2450，
即x（590﹣10x）＝2450．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2025 椒江区二模）已知一元二次方程x2+2mx+1＝0的一个根为1，则m＝ 　﹣1　 ．
【点拨】把x＝1代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解析】解：把x＝1代入方程x2+2mx+1＝0得1+2m+1＝0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．（2024 温州二模）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　9　 ．
【点拨】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，然后解一次方程即可．
【解析】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，
解得c＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（2025 南京）设方程x2+2x﹣9＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝　2　 ．
【点拨】利用配方法解出x的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可．
【解析】解：x2+2x﹣9＝0，
移项得：x2+2x＝9，
配方得：x2+2x+1＝9+1，
即（x+1）2＝10，
直接开平方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1，
∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
则m＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
11．（2024 下城区校级模拟）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+3＝0的两个根，则x2+x1＝　　 ．
【点拨】利用根与系数关系求解．
【解析】解：∵x1，x2是方程2x2﹣7x+3＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴x2+x1＝x1x2（x1+x2）＝×＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查根与系数关系，解题的关键是理解x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，
12．（2024 平湖市模拟）关于x的方程的根满足（2x﹣m）（x+2m）＝0，则m的值是 　6　 ．
【点拨】解方程得x＝﹣6﹣m，结合﹣6﹣m≠±2知m≠﹣4且m≠﹣8，再将x＝﹣6﹣m代入（2x﹣m）（x+2m）＝0得（﹣12﹣2m﹣m）（﹣6﹣m+2m）＝0，即（﹣3m﹣12）（m﹣6）＝0，解之可得答案．
【解析】解：解方程得：x＝﹣6﹣m，
且﹣6﹣m≠±2，
解得m≠﹣4且m≠﹣8，
将x＝﹣6﹣m代入（2x﹣m）（x+2m）＝0，得：
（﹣12﹣2m﹣m）（﹣6﹣m+2m）＝0，即（﹣3m﹣12）（m﹣6）＝0，
则﹣3m﹣12＝0或m﹣6＝0，
解得m＝﹣4或m＝6，
所以m＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查解分式方程和一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
13．解方程：（1）（2024 滨江区二模）x2+2x＝1；
（2）（2025 宁波一模）x2﹣1＝x．
（3）（2025 齐齐哈尔）x2﹣7x＝﹣12．
【点拨】（1）配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）利用公式法求解即可．
（3）先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可．
【解析】解：（1）x2+2x＝1，
x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
（2）方程整理得x2﹣x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（3）整理得：x2﹣7x+12＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0，
所以x﹣4＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝4，x2＝3．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．（2025 淮安一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）若此方程恰有一个根等于﹣1，求k的值；
（2）求证：不论k取何值，方程总有实数根．
【点拨】（1）将x＝﹣1代入方程进行计算即可．
（2）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可．
【解析】（1）解：由题知，
将x＝﹣1代入方程得，
1+k+5+6+2k＝0，
解得k＝﹣4，
所以k的值为﹣4．
（2）证明：因为Δ＝[﹣（k+5）]2﹣4（6+2k）
＝k2+10k+25﹣24﹣8k
＝k2+2k+1
＝（k+1）2，
又因为（k+1）2≥0，
所以不论k取何值，方程总有实数根．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、解一元一次方程及一元二次方程的解，熟知解一元一次方程的步骤及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
15．（2024 拱墅区一模）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值；
（2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1 x2＝25，求k的值．
【点拨】（1）根据方程有两个相等的实数根可知Δ＝0，求出k的值即可；
（2）求出x1 x2与x1+x2的值，代入代数式进行计算即可．
【解析】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0，
解得k＝9；
（2）∵x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个根，
∴x1 x2＝k，x1+x2＝6，
∵++3x1 x2＝25，
∴++3x1 x2
＝（x1+x2）2﹣2x1x2+3x1x2
＝（x1+x2）2+x1x2
＝62+k，
∴62+k＝25，
解得k＝﹣11．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．
16．（2025 泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【点拨】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，利用乙种商品2024年每件的进价＝乙种商品2022年每件的进价×（1﹣乙种商品每件进价的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解析】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
根据题意得：125（1﹣x）2＝80，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）．
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，
根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800，
解得：y≥40，
∴y的最小值为40．
答：最少购进40件甲种商品．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
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