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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第二章 方程与不等式
2.4一元一次不等式（组）
不 等 式 或 组 不等式 定义 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式。
基本性质 (1)不等式的两边都 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则a±c b±c． (2)不等式的两边都 同一个 ，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则ac bc， ． (3)不等式的两边都 同一个 ，不等号的方向改变． 若a＞b，c＜0，则ac bc， ．
一元一次不等式 定义 含有 未知数，未知数的次数是 且未知数的系数不为0，左右两边为 的不等式，叫做一元一次不等式。
解法 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ . 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
一元一次不等式组 定义 一般地,关于 未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
解法 解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解不了．
四种基本不等式组的解集 不等式组(a大大取大
　 小小取小
大小小大中间找
大大小小解不了
一元一次不等式（组）的应用 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
列不等式（组）解应用题的基本步骤 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。 第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。 第5步：检验并写出答案。
【题型一】不等式的性质
【例1.1】（2025 仙居县二模）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．3x＜3y B．﹣2x＜﹣2y C．x+2＞y+2 D．x﹣1＞y﹣1
【例1.2】（2025 临平区二模）已知2x＜3y，那么下列不等式成立的是（　　）
A．2x+1＜3y B．2x＜3y﹣1 C．2x+1＜3y﹣1 D．2x﹣1＜3y+1
【题型二】 一元一次不等式（组）的解法
【例2.1】（2025 吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　）
A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【例2.2】（2024 浙江）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【例2.3】（2025 路桥区二模）解不等式3x﹣5≤x+1，并把解集在数轴上表示出来．
【例2.4】（2025 钱塘区三模）解不等式组：
【例2.5】（2025 建德市校级模拟）关于x的不等式x﹣1≤2的正整数解有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【例2.5】（2025 扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
【题型三】含字母的不等式的解集问题
【例3.1】（2025 南充）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 　 ．
【例3.2】（2025 黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　 　 ．
【例3.3】（2025 乐清市校级模拟）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围为（　　）
A．a＜2 B．a≤2 C．a≥2 D．a＞2
【题型四】一元一次不等式（组）的应用
【例4.1】（2024 临安区一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　）
A．50x+60+80＝1000 B．50x+60+80≤1000 C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥1000
【例4.2】（2025 南宁二模）若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有x条船，则可列不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
【例4.3】（2025 温州模拟）每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季．某水果专销商购进脐橙和蜜桔共1000箱．这两种水果的售价与进价如下表所示：
品种 售价（元/箱） 进价（元/箱）
蜜枯 28 20
脐橙 31 25
（1）该商家售完这1000箱水果所获得的利润为6400元，则该商家购进了蜜桔多少箱？
（2）为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的，未打包的按原价出售．若这两种水果全部卖出，利润不少于6500元，则该商家至少要购进蜜桔多少箱？
【例4.4】（2025 攀枝花）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝﹣20x+2200．
（1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
（2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围．
1．（2022 杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
2．（2023 台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023 长兴县二模）据中央气象台报道，某日我市最高气温是33℃，最低气温是25℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t＞25 B．t≤25 C．25＜t＜33 D．25≤t≤33
4．（2025 玉环市二模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023 丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
6．（2025 杭州模拟）不等式2x﹣1≥3x﹣3的自然数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025 舟山三模）已知不等式组有解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞2 B．a≥2 C．a＜2 D．a≤2
8．（2025 嘉善县一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
9．（2025 杭州一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A．1＜x≤3 B．2＜x≤3 C．3≤x＜5 D．2≤x＜5
10．（2025 浙江模拟）已知关于x的不等式的所有解都小于3．若a是整数，但不是正数，则满足条件的a的值为（　　）
A．﹣3，﹣2 B．﹣3，﹣2，﹣1 C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0
11．（2024 丽水一模）“x与5的差大于x的3倍”用不等式表示为 ．
12．（2024 绍兴一模）不等式的解集是 　 ．
13．（2025 浙江）不等式组的解集是　 　 ．
14．（2024 上城区一模）不等式2x+2≤4的最大整数解是 　 　 ．
15．（2024 拱墅区一模）小真用100元钱去购买笔记本和钢笔共20件．已知每本笔记本3元，每支钢笔8元．则小真最多能买 　 　 支钢笔．
16．（2025 杭州模拟）已知3x﹣2y＝5，且x＞﹣1，y≤2，若k＝x﹣y，则k的取值范围是 　 　 ．
17．（2025 婺城区二模）下面是小亮解不等式的过程：
解：去分母，得3x+12﹣x+2＞4x+2①，
移项，得3x﹣x+4x＞2﹣2﹣12②，
合并同类项，得6x＞﹣12③，
系数化为1，得x＞﹣2④．
小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程．
18．（2025 杭州模拟）解不等式：，并写出它的正整数解．
19．（2025 富阳区一模）解不等式组
20．（2025 永嘉县三模）解不等式组：，并求出x的整数解．
21．（2025 临平区模拟）哈市某化妆品商店决定购进A、B两种品牌的防晒护肤霜．经预算知，若购进A品牌防晒霜5套，B品牌防晒霜6套，则需950元；若购进A品牌防晒霜3套，B品牌防晒霜2套，则需450元．
（1）求A、B两种品牌的防晒霜每套的进价各为多少元？
（2）根据市场需求，商店购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍多4套，销售1套A品牌防晒霜的价格为130元，销售1套B品牌防晒霜的价格为95元，若这批防晒霜全部售出后，利润不少于1200元．求A种品牌防晒霜至少要进多少套？
1．（2024 萧山区一模）已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（　　）
A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2
2．（2025 介休市一模）不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 上城区校级三模）下列四个不等式组中，无解的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 东阳市二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 金东区二模）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（　　）
A．x+10%x＜20 B．x+10%x≤20 C．（1+10%）x＞20 D．（1+10%）x≥20
6．（2025 龙泉市二模）如图表示关于x的不等式x﹣a≤2的解，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
7．（2025 嵩县模拟）若不等式（a﹣3）x＜1的解集是x＞，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≠3 D．以上均不对
8．（2025 金水区校级模拟）若不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3
9．（2025 通州区一模）关于x的不等式2x+b≤0恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（　　）
A．﹣6＜b≤﹣4 B．﹣6＜b＜﹣4 C．﹣6≤b≤﹣4 D．﹣6≤b＜﹣4
10．（2025 拱墅区校级二模）已知点（﹣1，2a﹣3）位于第三象限，则a的取值范围是 　 ．
11．（2025 涪城区三模）不等式﹣x+2＞0的最大整数解是 　 　 ．
12．（2025 驻马店二模）不等式3（x﹣1）≤5x+2的非正整数解有　 　 个．
13．（2025 中原区模拟）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在 　 　 范围内．
14．（2025 烟台模拟）若关于x的不等式5x﹣2m＜3x只有3个正整数解，则m的取值范围是 　 　 ．
15．（2025 浙江模拟）解不等式：．
小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：5﹣1﹣x＞5x① ﹣x﹣5x＞1﹣5② ﹣6x＞﹣4③ ④
16．（1）（2025 陕西）解不等式3（2x﹣1）≤4x+1，把它的解集表示在如图所示的数轴上．
（2）（2025 浙江一模）解不等式：．
17．解不等式组：（1）（2025 龙泉市一模）．
（2）（2025 温州模拟）．
18．（2025 哈尔滨）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯．若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元．
（1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
（2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
19．（2025 绵阳）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元．
（1）这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
（2）若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
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第二章 方程与不等式
2.4一元一次不等式（组）
不 等 式 或 组 不等式 定义 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式。
基本性质 (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则a±c ＞ b±c． (2)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则ac ＞ bc， ＞ ． (3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 若a＞b，c＜0，则ac ＜ bc， ＜ ．
一元一次不等式 定义 含有一个未知数，未知数的次数是1且未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式。
解法 ① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 未知数的系数化为1. 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
一元一次不等式组 定义 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
解法 解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解不了．
四种基本不等式组的解集 不等式组(ax≥b 大大取大
　 x≤a 　 小小取小
a≤x≤b 大小小大中间找
无解 大大小小解不了
一元一次不等式（组）的应用 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
列不等式（组）解应用题的基本步骤 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。 第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。 第5步：检验并写出答案。
【题型一】不等式的性质
【例1.1】（2025 仙居县二模）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．3x＜3y B．﹣2x＜﹣2y C．x+2＞y+2 D．x﹣1＞y﹣1
【点拨】根据x＜y，应用不等式的性质，逐项判断即可．
【解析】解：∵x＜y，
∴3x＜3y，
∴选项A符合题意；
∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，
∴选项B不符合题意；
∵x＜y，
∴x+2＜y+2，
∴选项C不符合题意；
∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是关键．
【例1.2】（2025 临平区二模）已知2x＜3y，那么下列不等式成立的是（　　）
A．2x+1＜3y B．2x＜3y﹣1 C．2x+1＜3y﹣1 D．2x﹣1＜3y+1
【点拨】本题主要利用若a＜b，c＜d，则a+c＜b+d，依次进行判断即可．
【解析】解：本题主要利用若a＜b，c＜d，则a+c＜b+d，依次进行判断如下：
A中，由2x＜3y，1＞0，则2x+1＜3y不一定成立，故选项A错误，不符合题意；
B中，由2x＜3y，0＞﹣1，则2x＜3y﹣1不一定成立，故选项B错误，不符合题意；
C中，由2x＜3y，1＞﹣1，则2x+1＜3y﹣1不一定成立，故选项C错误，不符合题意；
D中，由2x＜3y，﹣1＜1，则2x﹣1＜3y+1成立，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【题型二】 一元一次不等式（组）的解法
【例2.1】（2025 吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　）
A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【点拨】移项、合并同类项即可得出答案．
【解析】解：∵x﹣3＞2，
∴移项得：x＞2+3，
合并同类项得：x＞5，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【例2.2】（2024 浙江）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解析】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
∴原不等式组的解集为：1≤x＜4，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【例2.3】（2025 路桥区二模）解不等式3x﹣5≤x+1，并把解集在数轴上表示出来．
【点拨】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【解析】解：3x﹣5≤x+1，
移向，得3x﹣x≤1+5，
合并同类项，得2x≤6，
化系数为1，得x≤3．
在数轴上表示不等式的解集如图所示，
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键．
【例2.4】（2025 钱塘区三模）解不等式组：
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集．
【解析】解：，
解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【例2.5】（2025 建德市校级模拟）关于x的不等式x﹣1≤2的正整数解有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【点拨】先求出所给不等式的解集，再得出解集内的正整数解即可．
【解析】解：解不等式x﹣1≤2得，
x≤3，
所以此不等式的正整数解有：1，2，3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【例2.5】（2025 扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：，
由①得，x≤1，
由②得，x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
负整数解有：﹣2、﹣1．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【题型三】含字母的不等式的解集问题
【例3.1】（2025 南充）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是m≤3　 ．
【点拨】分别求出每个不等式的解集，结合不等式组的解集得出关于m的不等式，解之即可．
【解析】解：由x﹣3＞﹣1得：x＞2，
由﹣x＜﹣m+1得：x＞m﹣1，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m﹣1≤2，
解得m≤3，
故答案为：m≤3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【例3.2】（2025 黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　 ．
【点拨】根据所给不等式组恰有3个整数解，得出关于a的不等式，据此可解决问题．
【解析】解：由2x﹣3≤0得，x≤．
由x﹣a＞0得，x＞a．
因为此不等式组恰有3个整数解，
则这3个整数解为1，0，﹣1，
所以﹣2≤a＜﹣1．
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【例3.3】（2025 乐清市校级模拟）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围为（　　）
A．a＜2 B．a≤2 C．a≥2 D．a＞2
【点拨】结合关于x的一元一次不等式组无解，得出a≤2，即可作答．
【解析】解：∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴a≤2，
故选：B．
【点睛】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，熟练掌握该知识点是关键．
【题型四】一元一次不等式（组）的应用
【例4.1】（2024 临安区一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　）
A．50x+60+80＝1000 B．50x+60+80≤1000 C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥1000
【点拨】根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可．
【解析】解：设每次搬x箱重物，根据题意得，50x+60+80≤1000，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【例4.2】（2025 南宁二模）若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有x条船，则可列不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】设有x条船，根据“每条船坐4人，则2人无船坐”可得学生有（4x+2）人，再根据“每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可．
【解析】解：设有x条船，则学生有（4x+2）人，
由题意得：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
【例4.3】（2025 温州模拟）每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季．某水果专销商购进脐橙和蜜桔共1000箱．这两种水果的售价与进价如下表所示：
品种 售价（元/箱） 进价（元/箱）
蜜枯 28 20
脐橙 31 25
（1）该商家售完这1000箱水果所获得的利润为6400元，则该商家购进了蜜桔多少箱？
（2）为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的，未打包的按原价出售．若这两种水果全部卖出，利润不少于6500元，则该商家至少要购进蜜桔多少箱？
【点拨】（1）设蜜桔x箱，则脐橙（1000﹣x）箱，根据题意列出方程式即可得出答案；
（2）设蜜桔y箱，则脐橙（1000﹣y）箱，根据题意列出方程组即可得出答案．
【解析】解：（1）设蜜桔x箱，则脐橙（1000﹣x）箱，
（28﹣20）x+（31﹣25）（1000﹣x）＝6400，
解得x＝200，
答：该商家购进了蜜桔200箱．
（2）设蜜桔y箱，则脐橙（1000﹣y）箱，
y（55﹣20﹣25）+（31﹣25）（1000﹣y﹣）+（28﹣20）×（y﹣）≥6500，
解得：y，
∵y是整数且是5的整数倍，
∴y至少取420．
答：商家至少要购进蜜桔420箱．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系和不等关系是解题的关键．
【例4.4】（2025 攀枝花）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝﹣20x+2200．
（1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
（2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围．
【点拨】（1）求出当x＝80时y的值，即可解决问题；
（2）根据规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
【解析】解：（1）∵y＝﹣20x+2200，
∴当x＝80时，y＝﹣20×80+2200＝600，
∴600×（80﹣60）＝12000（元），
答：若芒果的售价为80元/箱，合作社每天芒果的销售利润为12000元；
（2）由题意得：，
解得：86≤x≤95，
答：芒果的售价x的范围为86≤x≤95．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
1．（2022 杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
【点拨】根据不等式的性质判断A选项；根据特殊值法判断B，C，D选项．
【解析】解：A选项，∵a＞b，c＝d，
∴a+c＞b+d，故该选项符合题意；
B选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝3时，a+b＜c+d，故该选项不符合题意；
C选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝﹣3时，a+c＜b﹣d，故该选项不符合题意；
D选项，当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝d＝3时，a+b＜c﹣d，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个整式（或相等的整式），不等号的方向不变是解题的关键．
2．（2023 台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
【解析】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
3．（2023 长兴县二模）据中央气象台报道，某日我市最高气温是33℃，最低气温是25℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t＞25 B．t≤25 C．25＜t＜33 D．25≤t≤33
【点拨】最高气温与最低气温之间的气温即为当天气温t（℃）的变化范围．
【解析】解：当天气温t（℃）的变化范围是25≤t≤33，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是抓住关键词语，最高和最低，从而可列出不等式组．
4．（2025 玉环市二模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】求出不等式组中各个不等式的解集，在数轴上表示这两个解集的公共部分即可．
【解析】解：，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤3，
将两个不等式的解集在数轴上表示如下：
故选：A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握一元一次不等式组解法以及在数轴上表示不等式组解集的方法是正确解答的关键．
5．（2023 丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
【点拨】利用小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，求出即可．
【解析】解：由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
6．（2025 杭州模拟）不等式2x﹣1≥3x﹣3的自然数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式的解集找出即可．
【解析】解：2x﹣1≥3x﹣3，
移项得：2x﹣3x≥1﹣3，
合并同类项得：﹣x≥﹣2，
不等式的两边都除以﹣1得：x≤2，
∴不等式的自然数解有：0，1，2共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能正确地根据不等式的性质解不等式是解此题的关键．
7．（2025 舟山三模）已知不等式组有解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞2 B．a≥2 C．a＜2 D．a≤2
【点拨】利用不等式组取解集的方法“同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了”确定a的范围即可．
【解析】解：已知不等式组有解，
则不等式组取解集的方法“同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了，
可得：a＞2．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解题的关键．
8．（2025 嘉善县一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
【点拨】解第二个不等式求得其解集，再根据原不等式组无解确定m的取值范围即可．
【解析】解：解第二个不等式得：x＜1，
∵原不等式组无解，
∴m≥1，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
9．（2025 杭州一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A．1＜x≤3 B．2＜x≤3 C．3≤x＜5 D．2≤x＜5
【点拨】依据题意，根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可．
【解析】解：由题意得，，
解不等式①得x≤3，
解不等式②得，x＞2，
∴x的取值范围是2＜x≤3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
10．（2025 浙江模拟）已知关于x的不等式的所有解都小于3．若a是整数，但不是正数，则满足条件的a的值为（　　）
A．﹣3，﹣2 B．﹣3，﹣2，﹣1 C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0
【点拨】先解不等式得，由所有解都小于3，得，求解并结合a是整数，但不是正数，即可得．
【解析】解：解不等式得：，
∵所有解都小于3，
∴，
∴a≥﹣3，
∵a是整数，但不是正数，
∴﹣3≤a≤0，且a是整数，
∴满足条件的a的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，和一元一次不等式的解，熟练根据题意将“所有解都小于3”转化为不等式是解题的关键．
11．（2024 丽水一模）“x与5的差大于x的3倍”用不等式表示为 x﹣5＞3x ．
【点拨】根据“x与5的差大于x的3倍”列不等式即可．
【解析】解：“x与5的差大于x的3倍”用不等式表示为x﹣5＞3x．
故答案为：x﹣5＞3x．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
12．（2024 绍兴一模）不等式的解集是 x＜1　 ．
【点拨】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集．
【解析】解：，
去分母，得：x+1＞4x﹣2，
移项及合并同类项，得：﹣3x＞﹣3，
系数化为1，得：x＜1，
故答案为：x＜1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
13．（2025 浙江）不等式组的解集是　﹣2≤x＜4　 ．
【点拨】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集即可．
【解析】解：解不等式2x﹣3＜5得，x＜4，
所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜4．
故答案为：﹣2≤x＜4．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
14．（2024 上城区一模）不等式2x+2≤4的最大整数解是 　1　 ．
【点拨】解不等式求得x的范围，再该范围内可得其最大整数解．
【解析】解：移项、合并，得：2x≤2，
系数化为1，得：x≤1，
∴不等式的最大整数解为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的整数解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
15．（2024 拱墅区一模）小真用100元钱去购买笔记本和钢笔共20件．已知每本笔记本3元，每支钢笔8元．则小真最多能买 　8　 支钢笔．
【点拨】设小真购买x支钢笔，则购买（20﹣x）本笔记本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过100元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解析】解：设小真购买x支钢笔，则购买（20﹣x）本笔记本，
根据题意得：8x+3（20﹣x）≤100，
解得：x≤8，
∴x的最大值为8，即小真最多能买8支钢笔．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16．（2025 杭州模拟）已知3x﹣2y＝5，且x＞﹣1，y≤2，若k＝x﹣y，则k的取值范围是 　1≤k＜3　 ．
【点拨】先把3x﹣2y＝5，变形为y＝，再由y≤2，可得≤2，解得x≤3，从而可得﹣1＜x≤3，再把y＝代入k＝x﹣y，可得k＝x﹣，从而确定k的范围．
【解析】解：∵3x﹣2y＝5，
∴y＝，
∵y≤2，
∴≤2，
∴x≤3，
∵x＞﹣1，
∴﹣1＜x≤3，
∵k＝x﹣y，
∴k＝x﹣，
当x＝﹣1时，k＝3，
当x＝3时，k＝1，
∴1≤k＜3，
∴k的取值范围是：1≤k＜3，
故答案为：1≤k＜3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（2025 婺城区二模）下面是小亮解不等式的过程：
解：去分母，得3x+12﹣x+2＞4x+2①，
移项，得3x﹣x+4x＞2﹣2﹣12②，
合并同类项，得6x＞﹣12③，
系数化为1，得x＞﹣2④．
小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程．
【点拨】解一元一次不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，系数化为1需要注意不等号的方向是否需要改变．
【解析】解：∵4x从不等号的右边移到不等号的左边需要变号，小明没有变号，
∴小明的解答过程从第②步开始出现错误，
，
3x+12﹣x+2＞4x+2，
3x﹣x﹣4x＞2﹣2﹣12，
﹣2x＞﹣12，
x＜6．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确进行计算是解题关键．
18．（2025 杭州模拟）解不等式：，并写出它的正整数解．
【点拨】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解析】解：去分母得：x+5≥6（x﹣2），
去括号得，x+5≥6x﹣12，
移项得，x﹣6x≥﹣12﹣5，
合并同类项得，﹣5x≥﹣17，
x的系数化为1得，x≤．
所以不等式的正整数解为：x＝1，2，3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键．
19．（2025 富阳区一模）解不等式组
【点拨】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解析】解：，
解①得：x＜10，
解②得：1≤x，
故不等式组的解集为：1≤x＜10．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20．（2025 永嘉县三模）解不等式组：，并求出x的整数解．
【点拨】分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定答案即可．
【解析】解：，
解不等式①，得 x≥﹣2，
解不等式②，得，x＜1，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
则x的整数解为﹣2，﹣1，0．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．
21．（2025 临平区模拟）哈市某化妆品商店决定购进A、B两种品牌的防晒护肤霜．经预算知，若购进A品牌防晒霜5套，B品牌防晒霜6套，则需950元；若购进A品牌防晒霜3套，B品牌防晒霜2套，则需450元．
（1）求A、B两种品牌的防晒霜每套的进价各为多少元？
（2）根据市场需求，商店购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍多4套，销售1套A品牌防晒霜的价格为130元，销售1套B品牌防晒霜的价格为95元，若这批防晒霜全部售出后，利润不少于1200元．求A种品牌防晒霜至少要进多少套？
【点拨】（1）设A种品牌的防晒霜每套的进价为x元，B种品牌的防晒霜每套的进价为y元，根据“若购进A品牌防晒霜5套，B品牌防晒霜6套，则需950元；若购进A品牌防晒霜3套，B品牌防晒霜2套，则需450元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种品牌防晒霜购进m套，则B种品牌防晒霜购进（2m+4）套，根据总利润＝单套利润×数量结合总利润不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解析】解：（1）设A种品牌的防晒霜每套的进价为x元，B种品牌的防晒霜每套的进价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种品牌的防晒霜每套的进价为100元，B种品牌的防晒霜每套的进价为75元．
（2）设A种品牌防晒霜购进m套，则B种品牌防晒霜购进（2m+4）套，
依题意，得：（130﹣100）m+（95﹣75）（2m+4）≥1200，
解得：m≥16．
答：A种品牌防晒霜至少要进16套．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
1．（2024 萧山区一模）已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（　　）
A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2
【点拨】运用不等式的性质和整式的混合运算知识进行逐一辨别．
【解析】解：∵0＞a＞b时，a2+m＜b2+m，
∴选项A不符合题意；
∵a，b，m是实数，且a＞b时，a+m2＞b+m2，
∴选项B符合题意；
∵a，b，m是实数，且a＞b时，a2m＞b2m不一定成立，
∴选项C不符合题意；
∵a，b，m是实数，且a＞b时，am2＞bm2不一定成立，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
【点睛】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用不等式的性质和整式混合运算知识．
2．（2025 介休市一模）不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】求出已知不等式的解集，表示在数轴上即可．
【解析】解：不等式移项得：3x＞6，
解得：x＞2，
表示在数轴上得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．（2025 上城区校级三模）下列四个不等式组中，无解的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据确定不等式组的解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解，逐一判断即可．
【解析】解：A．选项式子的解集为﹣3＜x≤7，不符合题意；
B．选项式子无解，符合题意；
C．选项式子的解集为x≥7，不符合题意；
D．选项式子的解集为x＜﹣3，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，掌握求不等式组的方法是关键．
4．（2025 东阳市二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】先解不等式组，然后把解集表示在数轴上，再根据所求结果进行判断即可．
【解析】解：，
由①得：3x﹣x＜2，
2x＜2，
x＜1，
由②得：2x﹣2≥x﹣4，
2x﹣x≥2﹣4，
x≥﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
解集在数轴上表示为：
，
∴A，B，D选项错误，C选项正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．
5．（2025 金东区二模）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（　　）
A．x+10%x＜20 B．x+10%x≤20 C．（1+10%）x＞20 D．（1+10%）x≥20
【点拨】根据题意，建立关于x的不等式即可解决问题．
【解析】解：由题知，
x斤糯米做成清明粿的质量为（1+10%）x斤，
则（1+10%）x＞20．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，能根据题意建立关于x的不等式是解题的关键．
6．（2025 龙泉市二模）如图表示关于x的不等式x﹣a≤2的解，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【点拨】先用a表示出x的取值范围，再根据数轴上x的取值范围求出a的值即可．
【解析】解：∵x﹣a≤2，
∴x≤2+a，
∵x≤﹣1，
∴2+a＝﹣1，
解得a＝﹣3．
故选：A．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，根据数轴上表示的不等式的解集得出关于a的一元一次方程是解答此题的关键．
7．（2025 嵩县模拟）若不等式（a﹣3）x＜1的解集是x＞，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≠3 D．以上均不对
【点拨】根据不等式的性质，不等式两边同乘或同除一个负数，不等号方向改变，由题意可得a﹣3＜0，即可得出答案．
【解析】解：根据题意可得，
a﹣3＜0，
即a＜3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握求不等式解集的方法进行求解是解决本题的关键．
8．（2025 金水区校级模拟）若不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3
【点拨】根据不等式解集判断口诀同大取大可知：a≥﹣3．
【解析】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知a≥﹣3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是不等式组的解集的判断方法，掌握不等式组解集的判断口诀是解题的关键．
9．（2025 通州区一模）关于x的不等式2x+b≤0恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（　　）
A．﹣6＜b≤﹣4 B．﹣6＜b＜﹣4 C．﹣6≤b≤﹣4 D．﹣6≤b＜﹣4
【点拨】由不等式2x+b≤0得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得．
【解析】解：解不等式2x+b≤0得：，
由题意可得：，
∴﹣6＜b≤﹣4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式有三个非负整数解得出的范围是解题的关键．
10．（2025 拱墅区校级二模）已知点（﹣1，2a﹣3）位于第三象限，则a的取值范围是a＜1.5　 ．
【点拨】在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答．
【解析】解：∵点（﹣1，2a﹣3）位于第三象限，
∴2a﹣3＜0，
∴a＜1.5，
故答案为：a＜1.5．
【点睛】本题考查了一元一次不等式、点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键．
11．（2025 涪城区三模）不等式﹣x+2＞0的最大整数解是 　5　 ．
【点拨】先求出不等式的解集，即可得到不等式的最大整数解．
【解析】解：﹣x+2＞0，
移项，得：﹣x＞﹣2，
系数化为1，得：x＜6，
∴该不等式的最大整数解是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
12．（2025 驻马店二模）不等式3（x﹣1）≤5x+2的非正整数解有　3　 个．
【点拨】先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1解不等式，根据解集找出非正整数解的个数即可．
【解析】解：3（x﹣1）≤5x+2，
3x﹣3≤5x+2，
3x﹣5x≤3+2，
﹣2x≤5，
x≥﹣2.5，
∴不等式3（x﹣1）≤5x+2的非正整数解有﹣2，﹣1，0，共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确地解不等式，求出解集是解答题的关键．
13．（2025 中原区模拟）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在 　20≤x≤25　 范围内．
【点拨】根据题意列出不等式组，求不等式解集的公共部分即可．
【解析】解：由题意得：，
解得：20≤x≤25，
故答案为：20≤x≤25．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解．
14．（2025 烟台模拟）若关于x的不等式5x﹣2m＜3x只有3个正整数解，则m的取值范围是 　3＜m≤4　 ．
【点拨】解不等式得出x＜m，由关于x的不等式5x﹣2m＜3x只有3个正整数解，知不等式的正整数解为1、2、3，据此可得答案．
【解析】解：∵5x﹣2m＜3x，
∴5x﹣3x＜2m，
2x＜2m，
x＜m，
∵关于x的不等式5x﹣2m＜3x只有3个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2、3，
∴3＜m≤4，
故答案为：3＜m≤4．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤．
15．（2025 浙江模拟）解不等式：．
小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：5﹣1﹣x＞5x① ﹣x﹣5x＞1﹣5② ﹣6x＞﹣4③ ④
【点拨】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】解：错误步骤为①④，
正确的过程：
．
5﹣（1﹣x）＞5x，
5﹣1+x＞5x，
x﹣5x＞1﹣5，
﹣4x＞﹣4，
x＜1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
16．（1）（2025 陕西）解不等式3（2x﹣1）≤4x+1，把它的解集表示在如图所示的数轴上．
（2）（2025 浙江一模）解不等式：．
【点拨】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
【解析】解：（1）3（2x﹣1）≤4x+1，
去括号，得6x﹣3≤4x+1，
移项，合并同类项，得2x≤4，
系数化为1，x≤2，
原不等式的解集在数轴上表示如图：
．
（2），
去分母，得：3（1+x）﹣4（2x+1）≤12．
去括号，得：3+3x﹣8x﹣4≤12，
移项，得：3x﹣8x≤12﹣3+4，
合并同类项，得：﹣5x≤13，
两边都除以﹣5，得：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
17．解不等式组：（1）（2025 龙泉市一模）．
（2）（2025 温州模拟）．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解：（1）解不等式2（x﹣1）≤4得：x≤3，
解不等式1﹣2x＜2得：x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣x≤3．
（2），
解不等式①得x≤1，
解不等式②得x＜2，
所以不等式组的解集为x≤1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（2025 哈尔滨）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯．若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元．
（1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
（2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
【点拨】（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据“购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m盏甲型节能灯，则购买（50﹣m）盏乙型节能灯，利用总价＝单价×数量，结合总费用不超过360元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解析】解：（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元；
（2）设购买m盏甲型节能灯，则购买（50﹣m）盏乙型节能灯，
根据题意得：6m+8（50﹣m）≤360，
解得：m≥20，
∴m的最小值为20．
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．（2025 绵阳）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元．
（1）这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
（2）若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
【点拨】（1）设这家商场A型相册每本的零售价是x元，B型相册每本的零售价是y元，根据“购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m本A型相册，则购买（15﹣m）本B型相册，根据“购买A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论．
【解析】解：（1）设这家商场A型相册每本的零售价是x元，B型相册每本的零售价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：这家商场A型相册每本的零售价是60元，B型相册每本的零售价是50元；
（2）设购买m本A型相册，则购买（15﹣m）本B型相册，
根据题意得：，
解得：10≤m≤12，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；
方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；
方案3：购买12本A型相册，3本B型相册．
选择购买方案1所需费用为60×10+50×5＝850（元）；
选择购买方案2所需费用为60×11+50×4＝860（元）；
选择购买方案3所需费用为60×12+50×3＝870（元），
∵850＜860＜870，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；
方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；
方案3：购买12本A型相册，3本B型相册，方案1所需费用最少．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
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