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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第二章 方程与不等式
2.1一次方程（组）
一 元 一 次 方 程 概念 只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程．其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).
解法 解法依据是等式的基本性质. 性质①：等式的两边都加上(或减去)同一个数或式，所得结果仍是等式． 若a=b，则a±m=b±m； 应用：移项 性质②：等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式． 若a=b，则am=bm； 应用：去分母； 若a=b，则(d≠0). 应用：系数化为1
解一元一次方程的一般步骤： 1、一般步骤： (1)去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘． (2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，注意括号前的系数与符号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号． (4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a，得x＝．
二 元 一 次 方 程 组 定义 （3）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程. (4) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．
解法 1、用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． ⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值． ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
常见 应用题型 解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工程问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总; 追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程; (异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程 水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
利润问题：利润=售-进价；利润率=×100%.售价=标价×折扣；销售额=售价×数量
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
【题型一】等式的基本性质
【例1.1】（2025 织金县模拟）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（　　）
A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc2 C．若a+3＝b+3，则a＝b D．若a＝b，则
【点拨】根据等式的性质对各选项进行判断即可．
【解析】解：A．若ac2＝bc2，则a＝b错误，当c＝0时，a不一定等于b，故选项A错误；
B．若a＝b，则ac2＝bc2，故选项B正确；
C．若a+3＝b+3，则a＝b，故选项C正确；
D．若a＝b，则，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
【例1.2】（2025 贵州模拟）若a+3＝2b﹣5，则下列等式不一定成立的是（　　）
A．a+8＝2b B．a+5＝2b+3 C．a﹣2b＝﹣8 D．
【点拨】根据等式的性质对各选项进行计算判断即可．
【解析】解：A．若a+3＝2b﹣5，
等式两边同时加5，得a+3+5＝2b﹣5+5，
即a+8＝2b，故选项A成立；
B．若a+3＝2b﹣5，
等式的两边同时加2，得a+3+2＝2b﹣5+2，
即a+5＝2b﹣3，故选项B不成立；
C．若a+3＝2b﹣5，
等式两边同时减去2b，得a+3﹣2b＝2b﹣5﹣2b，
即a+3﹣2b＝﹣5，
等式两边再同时减去3，得a+3﹣2b﹣3＝﹣5﹣3，
即a﹣2b＝﹣8，故选项C成立；
D．若a+3＝2b﹣5，
等式两边同时减去2b，得a+3﹣2b＝2b﹣5﹣2b，
即a+3﹣2b＝﹣5，
等式两边再同时减去3，得a+3﹣2b﹣3＝﹣5﹣3，
即a﹣2b＝﹣8，
等式两边同时除以2，得，故选项D成立．
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
【例1.3】（2025 芜湖三模）已知实数a，b，c满足a+b+c≠0，a+b＝c，a＝b+c，则下列结论正确的是（　　）
A．ab≠0 B．ac≠0 C．bc≠0 D．abc≠0
【点拨】根据已知条件求出a、b、c的值，再逐一分析选项．
【解析】解：由条件可知a+b+a＝c+b+c，
2a+b＝b+2c，
a＝c．
把a＝c代入a+b＝c，
解得b＝0．
∵a＝b+c，
∴a＝c，
∴a≠0．
A．因为b＝0，所以ab＝0，该选项错误，不符合题意；
B．由前面计算可知a≠0，c≠0，所以ac≠0，该选项正确，符合题意；
C．因为b＝0，所以bc＝0，该选项错误，不符合题意；
D．因为b＝0，所以abc＝0，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的运算与等式性质，解题关键是通过对已知等式进行运算求出a、b、c的值．
【题型二】一次方程（组）的相关概念
【例2.1】（2025 贵州）已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】经已知解代入方程x+m＝7中解得m的值即可．
【解析】解：已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，
则2+m＝7，
解得：m＝5，
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．
【例2.2】（2023 舟山模拟）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣2023的值为 　﹣2017　 ．
【点拨】根据二元一次方程解的定义可得a+2b＝3，再将2a+4b﹣2023化成2（a+2b）﹣2023，整体代入计算即可．
【解析】解：∵是方程ax+by＝3的解，
∴a+2b＝3，
∴2a+4b﹣2023＝2（a+2b）﹣2023
＝6﹣2023
＝﹣2017，
故答案为：﹣2017．
【点睛】本题考查二元一次方程解，理解二元一次方程解的定义是正确解答的前提．
【例2.3】（2025 徐州）若二元一次方程组的解为，则a+b的值为　1　 ．
【点拨】由题意可知，解二元一次方程组即可求解．
【解析】解：∵二元一次方程组的解为，
∴，
①+②得5a＝5，
解得a＝1，
将a＝1代入①得b＝0，
∴a+b＝1+0＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【题型三】一次方程（组）的解法
【例3.1】（2025 南通模拟）解方程：﹣＝2
【点拨】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解析】解：去分母得：4（2x﹣1）﹣3（3x﹣5）＝24，
8x﹣4﹣9x+15＝24，
8x﹣9x＝24+4﹣15，
﹣x＝13，
x＝﹣13．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
【例3.2】（2025 淄博）解方程组：．
【点拨】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解析】解：，
由①得：x＝2+③，
把③代入②得：4+y+3y＝12，
∴y＝2，
把y＝2代入③得：x＝2+1＝3，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
【例3.3】（2024 西湖区模拟）某同学解方程．的过程如下框：
解：． 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得x＝60……③
请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
【点拨】第①步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项得，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解．
【解析】解：出现错误的步骤是①，
正确的解法如下：对于方程，将系数化为整数，得：，
合并同类项，得：，
未知数的系数化为1，得：x＝6．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键．
【例3.4】（2024 钱塘区三模）已知二元一次方程组，则2m﹣n的值为 　7　 ．
【点拨】把两个方程相加，从而可求解．
【解析】解：，
①+②得：2m﹣n＝7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
【题型四】由实际问题抽象出二元一次方程（组）
【例4.1】（2025 南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　）
A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3
【点拨】根据“有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”，结合这些物体的总数量不变，即可可列出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：根据题意得：3x+2＝5y+3．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【例4.2】（2025 拱墅区校级三模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可．
【解析】解：由题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键．
【题型五】一次方程（组）的应用
【例5.1】（2025 南京）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？
【点拨】设每杯A饮料x元，每杯B饮料y元，根据“小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】解：设每杯A饮料x元，每杯B饮料y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每杯A饮料12元，每杯B饮料8元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【例5.5】（2024 舟山一模）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题．
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步，
问题：（1）起点与终点的距离为 　4000　 米；
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红 　　 分钟．
【点拨】（1）设小红每步跑x米，则小明每步跑（x+0.2）米，利用距离＝每步跑的距离×步数，结合起点到终点的距离不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入（5340﹣340）x中，即可求出结论；
（2）利用小明每分钟跑的步数＝（跑完全程的步数﹣出发时刻的步数）÷跑完全程的时间，可求出小明每分钟跑的步数，结合小明每分钟比小红多跑20步，可求出小红每分钟跑的步数，利用小红跑完全程所需时间＝小红跑完全程的步数÷小红每分钟跑的步数，再利用小明要在终点处等小红的时间＝小红跑完全程所需时间﹣小明跑完全程所需时间，即可求出结论．
【解析】解：（1）设小红每步跑x米，则小明每步跑（x+0.2）米，
根据题意得：（5340﹣340）x＝（4690﹣690）（x+0.2），
解得：x＝0.8，
∴（5340﹣340）x＝（5340﹣340）×0.8＝4000（米），
∴起点与终点的距离为4000米．
故答案为：4000；
（2）根据题意得：小明每分钟跑的步数为＝200（步），
∴小红每分钟跑的步数为200﹣20＝180（步），
∴小红跑完全程所需时间为（5340﹣340）÷180＝（分钟），
∴﹣20＝（分钟），
∴明要在终点处等小红分钟．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
1．（2025 浙江模拟）x＝3是下列哪个方程的解（　　）
A．5x﹣2＝4x+1 B．5x﹣2＝4x﹣1 C．5x+2＝4x﹣1 D．5x+2＝﹣4x﹣1
【点拨】把x＝3分别代入各个选项中的方程左右两边进行计算，然后根据左边＝右边是方程的解，左边≠右边不是方程的解，进行判断即可．
【解析】解：A．把x＝3代入5x﹣2＝4x+1，左边＝13，右边＝13，∵左边＝右边，∴x＝3是5x﹣2＝4x﹣1的解，故此选项符合题意；
B．把x＝3代入5x﹣2＝4x﹣1，左边＝13，右边＝11，∵左边≠右边，∴x＝3不是5x﹣2＝4x﹣1的解，故此选项不符合题意；
C．把x＝3代入5x+2＝4x﹣1，左边＝17，右边＝11，∵左边≠右边，∴x＝3不是5x+2＝4x﹣1的解，故此选项不符合题意；
D．把x＝3代入5x+2＝﹣4x﹣1，左边＝17，右边＝﹣13，∵左边≠右边，∴x＝3不是5x﹣2＝4x﹣1的解，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．
2．（2023 衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】代入x，y的值，找出方程左边＝方程右边的选项，即可得出结论．
【解析】解：A．当x＝1，y＝2时，方程左边＝2×1+3×2＝8，方程右边＝8，
∴方程左边＝方程右边，选项A符合题意；
B．当x＝2，y＝1时，方程左边＝2×2+3×1＝7，方程右边＝8，7≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项B不符合题意；
C．当x＝﹣1，y＝2时，方程左边＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右边＝8，4≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意；
D．当x＝2，y＝4时，方程左边＝2×2+3×4＝16，方程右边＝8，16≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
3．（2025 宁波模拟）将等式a＝b﹣1进行变形，其中变形正确的是（　　）
A．a﹣1＝b B．﹣a＝1﹣b C．a﹣3＝b﹣2 D．2a＝2b﹣1
【点拨】等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，结果仍相等．据此依次对各选项进行分析即可．
【解析】解：根据等式的基本性质逐项分析判断如下：
A．∵a＝b﹣1，
∴a﹣1＝b﹣2，原变形不正确，故此选项不符合题意；
B．∵a＝b﹣1，
∴﹣a＝﹣b+1，即﹣a＝1﹣b，原变形正确，故此选项符合题意；
C．∵a＝b﹣1，
∴a﹣3＝b﹣4，原变形不正确，故此选项不符合题意；
D．∵a＝b﹣1，
∴2a＝2b﹣2，原变形不正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的基本性质．
4．（2025 杭州模拟）如果是方程2x﹣3y＝2025的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【点拨】根据二元一次方程的解的定义把代入方程2x﹣3y＝2025中得到2m﹣3n＝2025，然后将代数式变形，最后代入求值即可．
【解析】解：把代入方程2x﹣3y＝2025中，得2m﹣3n＝2025，
∴2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2025＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，正确求出2m﹣3n＝2025是解题的关键．
5．（2025 衢州四模）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用加减消元法解方程组即可．
【解析】解：，
①+②，得3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入②，得2﹣y＝1，
解得：y＝1，
∴方程组的解为．
故选：A．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键．
6．（2023 温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（　　）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
【点拨】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5xg，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为xg，
∴碳水化合物含量是1.5xg．
根据题意得：1.5x+x+y＝30，
∴x+y＝30．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7．（2025 浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据“一共用了17张彩色纸和10捆细木条，”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解析】解：根据题意可列方程组．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2025 杭州模拟）定义一种新运算“Δ”，其运算规则是，已知，则x的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【点拨】根据新运算规则，得到一元一次方程，即可解答．
【解析】解：根据题意可知，，
解得：x＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
9．（2025 宁波模拟）桌面上有若干枚壹元硬币和伍角硬币，其中10枚正面向上．现将壹元硬币全部翻面，此时正面向上的壹元硬币比正面向上的伍角硬币多2枚，则桌面上的壹元硬币有（　　）
A．12枚 B．11枚 C．10枚 D．9枚
【点拨】设桌面上的壹元硬币有x枚，其中翻面前正面朝上的有a枚，根据题意列出方程，求解即可．
【解析】解：设桌面上的壹元硬币有x枚，其中正面朝上的有a枚，
∵10枚正面向上，
∴正面向上的伍角硬币为（10﹣a）枚，
由题可得x﹣a＝10﹣a+2，
解得x＝12，
∴桌面上的壹元硬币有12枚，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，列出正确方程是解题的关键．
10．（2025 开化县模拟）由方程组可以得出x与y的关系是（　　）
A．y＝﹣8x+2 B．y＝﹣8x﹣2 C．y＝8x+2 D．y＝8x﹣2
【点拨】利用加减法消去字母m，即可得到x与y的关系．
【解析】解：，
①×2，得2m﹣4x＝4③，
②﹣③，得，
整理得y＝8x+2，
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
11．（2025 浙江模拟）若式子3x+2与式子2（x﹣2）﹣3的值相等，则x的值为　﹣9　 ．
【点拨】由题意可得3x+2＝2（x﹣2）﹣3，再解方程即可．
【解析】解：由条件可知3x+2＝2（x﹣2）﹣3，
解得x＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，熟练掌握该知识点是关键．
12．（2025 拱墅区模拟）方程组的解是　　 ．
【点拨】先有①×3+②得出10x＝5，求出x＝，再把x＝代入①求出y即可．
【解析】解：，
①×3+②得：10x＝5，
解得：x＝，
把x＝代入①得：2×﹣y＝5，
解得：y＝﹣4，
所以方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
13．（2025 舟山三模）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则m﹣2n的值为　3　 ．
【点拨】根据题意，把x＝﹣2，y＝1分别代入方程组中，求出m，n的值，然后把m，n的值分别代入m﹣2n进行计算即可大小答案．
【解析】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，
∴2×（﹣2）+3×1＝m，﹣2n﹣1＝3，
解得：m＝﹣1，n＝﹣2，
∴m﹣2n＝﹣1﹣2×（﹣2）＝﹣1+4＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
14．（2025 衢州一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是　5　 ．
【点拨】根据方程组的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程组中，即可求出b的值．
【解析】解：把代入关于x，y的二元一次方程组中，得，
解得，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
15．（2025 临平区二模）已知二元一次方程组，则2a﹣b的值为 　1　 ．
【点拨】两个方程相加，直接得出答案．
【解析】解：，
②+①，得2a﹣b＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
16．（2023 丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为　　 斤．
【点拨】可设原有生丝为x斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解．
【解析】解：设原有生丝为x斤，
x：12＝30：（30﹣3），
解得x＝．
故原有生丝为斤．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键．
17．（2023 杭州一模）解方程：．
【点拨】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可．
【解析】解：去分母，得2（3x﹣2）﹣6＝5﹣4x，
去括号，得6x﹣4﹣6＝5﹣4x，
移项，合并同类项，得10x＝15，
系数化为1，得x＝1.5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18．（2025 浙江模拟）下面是小畅解方程的解答过程．
解：去分母，得2﹣（x﹣1）＝2（x+1）．
去括号，得2﹣x+1＝2x+2．
移项、合并同类项，得﹣3x＝﹣1．
两边同除以﹣3，得．
小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【点拨】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
【解析】解：小畅的解答过程有错误，正确的解答过程如下：
去分母，得2﹣（x﹣1）＝4（x+1），
去括号，得2﹣x+1＝4x+4，
移项、合并同类项，得﹣5x＝1，
将系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
19．（2024 浙江）解方程组：．
【点拨】先有①×3+②得出10x＝5，求出x＝，再把x＝代入①求出y即可．
【解析】解：，
①×3+②得：10x＝5，
解得：x＝，
把x＝代入①得：2×﹣y＝5，
解得：y＝﹣4，
所以方程组的解是．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
20．（2025 西湖区模拟）小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
【点拨】（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，根据彩色地砖和单色地砖的总价为5600及地砖总数为100建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60﹣a）块，根据采购地砖的费用不超过3200元建立不等式，求出其解即可．
【解析】解：（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，由题意，得
，
解得：．
答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块；
（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60﹣a）块，由题意，得
80a+40（60﹣a）≤3200，
解得：a≤20．
故彩色地砖最多能采购20块．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时认真分析单价×数量＝总价的关系建立方程及不等式是关键．
21．（2025 拱墅区二模）对于关于二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值（k≠1），解x、y一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
【点拨】根据解二元一次方程组的步骤进行计算．
【解析】解：不同意他的结论，理由如下：，
①×k﹣②得（k2﹣1）y＝kb﹣b，
②×k﹣①得（k2﹣1）x＝kb﹣b，
当k2﹣1≠0，即k≠±1时，x＝y＝，
则当k≠±1时，无论b为何值，x与y的值相等；
当k＝﹣1且b≠0时，方程组无解．
故不同意小聪的结论．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．
1．（2025 兰山区一模）运用等式性质进行的变形，正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果，那么a＝b
C．如果a＝b，那么 D．如果a2＝3a，那么a＝3
【点拨】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【解析】解：A、利用等式性质1，两边都加c，得到a+c＝b+c，所以A不成立，故A选项错误；
B、利用等式性质2，两边都乘以c，得到a＝b，所以B成立，故B选项正确；
C、成立的条件c≠0，故C选项错误；
D、成立的条件a≠0，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】主要考查了等式的基本性质．
等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
2．（2025 贵州模拟）已知等式6a＝9b+8，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．6a﹣8＝9b B．6a+3＝9b+11 C． D．6ac＝9bc+8
【点拨】利用等式的性质进行求解即可．
【解析】解：∵6a＝9b+8，
∴6a﹣8＝9b+8﹣8，6a+3＝9b+8+3，，6ac＝9bc+8c，
∴6a﹣8＝9b，6a+3＝9b+11，，
∴四个选项中，只有D选项中的等式不一定成立，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．
3．（2025 邢台模拟）某同学在解关于x的一元一次方程2a+x＝3时，误将+x看作÷x，得到方程的解为x＝2，则原方程的解为（　　）
A．x＝﹣3 B． C．x＝2 D．x＝3
【点拨】把x＝2代入2a÷x＝3，得2a÷2＝3，求出a的值，再代入原方程求解即可．
【解析】解：根据题意，得2a÷2＝3，解得a＝3．
由条件可知2×3+x＝3，解得x＝﹣3．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
4．（2025 淮安区一模）把方程＝1去分母后正确的是（　　）
A．4x﹣3（x﹣1）＝1 B．4x﹣3x﹣3＝12 C．4x﹣3（x﹣1）＝12 D．4x+3x﹣3＝12
【点拨】方程两边乘以12得到结果，即可作出判断．
【解析】解：方程＝1，
去分母得：4x﹣3（x﹣1）＝12．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
5．（2025 连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　）
A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1
【点拨】根据野鸭和大雁到达目的地所需时间，可得出野鸭每天飞行全程的，大雁每天飞行全程的，利用总路程＝野鸭的飞行速度×时间+大雁的飞行速度×时间，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】解：根据题意得：x+x＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2025 平湖市二模）我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长x尺，绳长y尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（　　）
A．y﹣x＝4.5 B． C． D．
【点拨】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后变形，即可判断哪个选项符合题意．
【解析】解：由题意可得，
y﹣x＝4.5，y＝x﹣1，故选项A不符合题意；选项B符合题意；
∴＝x﹣1，y＝y﹣4.5﹣1，故选项C、D均不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．（2025 宁夏）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的45钱＝羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱＝羊价．
【解析】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
根据题意，得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系是解题的关键．
8．（2024 镇海区校级模拟）已知关于a、b的方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　　 ．
【点拨】将方程组可化为，然后根据题意即可得出，从而求出x、y的值．
【解析】解：方程组可化为，
∵关于a、b的方程组的解为，
∴方程组的解是，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组可化为是解题的关键．
9．（2025 余姚市三模）已知制作甲型机器人需要A零件3个，B零件2个，制作乙型机器人需要A零件4个，B零件1个，现制作两种型号机器人若干，用去A零件a个，B零件b个，则a+b的值可能是（　　）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【点拨】设制作甲型机器人x个，乙型机器人y个，根据零件使用情况列出a、b关于x、y的表达式，分析其特征，结合选项判断a+b的可能值．
【解析】解：设制作甲型机器人x个，乙型机器人y个，
a＝3x+4y，b＝2x+y，
a+b＝（3x+4y）+（2x+y）＝5x+5y＝5（x+y），
即a+b是5的倍数，
在2024、2025、2026、2027中，只有2025是5的倍数，
故a+b的值可能是2025．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键．
10．（2023 丽水模拟）已知关于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，则m的值为 　2　 ．
【点拨】直接把x的值代入方程求出答案．
【解析】解：∵关于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，
∴2×3+m﹣8＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．
11．（2025 路桥区二模）若是二元一次方程2x+my＝3的一个解，则m的值为 　﹣1　 ．
【点拨】将入原方程，可得出2×2+m＝3，解之即可得出m的值．
【解析】解：将代入原方程得2×2+m＝3，
解得：m＝﹣1，
∴m的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
12．（2025 广西模拟）若有a，b两个数满足关系式：a+b＝ab﹣1，则称a，b为“共生数对”，记作（a，b）．例如：当2，3满足2+3＝2×3﹣1时，则（2，3）是“共生数对”．若（﹣x，4）是“共生数对”，则x＝　　 ．
【点拨】根据已知条件中的新定义，列出关于x的方程，解方程即可．
【解析】解：∵（﹣x，4）是“共生数对”，
∴﹣x+4＝﹣4x﹣1，
﹣x+4x＝﹣1﹣4，
3x＝﹣5，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程和新定义的含义．
13．（2025 陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是 　1.2　 小时．
【点拨】利用小康采摘的草莓比小悦多2.4kg得出等式求出答案．
【解析】解：设小康和小悦采摘了x小时，
依题意：6x﹣4x＝2.4，
解得：x＝1.2，
因此，小康采摘了1.2小时，
故答案为：1.2．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．
14．（2025 绍兴三模）我国古代问题：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．则大桶可盛酒 　　 斛．
【点拨】设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解析】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
依题意得：，
解得：，
即1个大桶可以盛酒斛，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（2025 富阳区三模）《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为50cm，宽为30cm的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为xcm，若要使整个挂图的长与宽之比为3：2，则可列关于x的方程为　或2（50+2x）＝3（30+2x）　 ．
【点拨】设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为（50+2x），宽为（30+2x），再根据整个挂图的长与宽之比为3：2列出方程即可．
【解析】解：设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为（50+2x）cm，宽为（30+2x）cm，
依题意得：或2（50+2x）＝3（30+2x）．
故答案为：或2（50+2x）＝3（30+2x）．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，分别得出等量关系是解题关键．
16．（2025 萧山区模拟）李老师花费480元购买了三类笔记本，其中A，B，C三类笔记本的单价分别为20元，15元，24元．已知购买C类笔记本花费的总价是B类总价的2倍．李老师一共购买了　24　 本笔记本．
【点拨】设李老师购买了x本A类笔记本，y本B类笔记本，z本C类笔记本，根据“购买三类笔记本共花费480元，且购买C类笔记本花费的总价是B类总价的2倍”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，通过代入、整理、变形后，求出（x+y+z）的值即可．
【解析】解：设李老师购买了x本A类笔记本，y本B类笔记本，z本C类笔记本，
根据题意得：，
将②代入①得：20x+45y＝480，
∴4x+9y＝96③，
②化简得：4z＝5y④，
将④代入③得：4x+4y+4z＝96，
∴x+y+z＝24，
∴李老师一共购买了24本笔记本．故答案为：24．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
17．（2024 德化县模拟）解方程：．
【点拨】方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【解析】解：去分母得：5（x﹣1）＝20﹣2（x+2），
去括号得：5x﹣5＝20﹣2x﹣4，
移项合并得：7x＝21，
解得：x＝3．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解．
18．（2024 路桥区二模）以下是亮亮解方程的解答过程．
解：去分母，得3x﹣1﹣1＝2x．
移项，得3x﹣2x＝1+1．
合并同类项，得x＝2．
亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【点拨】根据一元一次方程的解题步骤检查并求解即可．
【解析】解：亮亮的解答过程有错误．正确的解答过程如下：
去分母，得3x﹣1﹣2＝2x，
移项，得3x﹣2x＝1+2，
合并同类项，得x＝3．
【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是本题的关键．
19．（2025 丽水一模）解方程组：．
【点拨】利用加减消元法①×3+②，即可解方程组．
【解析】解：，
①×3+②得，15x+x+3y﹣3y＝9+7，
16x＝16，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得，1﹣3y＝7，
﹣3y＝6，
解得：y＝﹣2，
方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．
20．（2025 广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：
湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示）
（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．
【点拨】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出方程组求解即可．
【解析】解：（1）此次行程高速费原价总共为：a+b+c元，
实际支付高速费用：0.95a+0+0.5c＝（0.95a+0.5c）元，
优惠了a+b+c﹣（0.95a+0.5c）＝（0.05a+b+0.5c）元；
（2）设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别x元和y元，
，
解得：，
故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元．
【点睛】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键．
21．（2024 平湖市模拟）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分 a b 100 无
积分可以兑换部分商品，具体如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数 800 1500 2000 1000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分．
（1）求a，b的值；
（2）小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？
【点拨】（1）根据“2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由小明家一季度产出的垃圾数量，可求出小明家一季度获得的积分，设兑换垃圾袋x卷，5元话费券y张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，根据这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可列出关于x，y，m，n的四元一次方程，由15，20，10均为5的倍数，可得出x＝3，再结合y，m，n均为自然数，即可得出各兑换方案．
【解析】解：（1）根据题意得：，
解得：．
答：a的值为50，b的值为20；
（2）小明家一季度获得的积分为46×50+100×20+1×100＝4400，
设兑换垃圾袋x卷，5元话费券y张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
根据题意得：800x+1500y+2000m+1000n＝4400，
化简得：8x+15y+20m+10n＝44，
∵15，20，10均为5的倍数，
∴x＝3，
∴原式为3y+4m+2n＝4，
又∵y，m，n均为自然数，
∴或，
∴共有2种兑换方案，
方案1：兑换垃圾袋3卷，水果店打折券1张；
方案2：兑换垃圾袋3卷，小区临时停车券2张．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及四元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出四元一次方程．
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第二章 方程与不等式
2.1一次方程（组）
一 元 一 次 方 程 概念 只含有 未知数，并且未知数的指数是 ，这样的方程叫做一元一次方程．其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).
解法 解法依据是等式的基本性质. 性质①：等式的两边都加上(或减去) ，所得结果仍是等式． 若a=b，则a±m=b±m； 应用：移项 性质②：等式的两边都乘或都除以 ，所得结果仍是等式． 若a=b，则am=bm； 应用：去分母； 若a=b，则(d≠0). 应用：系数化为1
解一元一次方程的一般步骤： 1、一般步骤： (1) ：在方程两边都乘各分母的 ，注意不要漏乘． (2) ：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，注意括号前的系数与符号． (3) ：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要 ． (4) ：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a，得x＝．
二 元 一 次 方 程 组 定义 （3）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程. (4) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有 的方程组，叫做二元一次方程组．
解法 1、用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． ⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值． ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
常见 应用题型 解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工程问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总; 追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程; (异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程 水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
利润问题：利润=售-进价；利润率=×100%.售价=标价×折扣；销售额=售价×数量
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
【题型一】等式的基本性质
【例1.1】（2025 织金县模拟）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（　　）
A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc2 C．若a+3＝b+3，则a＝b D．若a＝b，则
【例1.2】（2025 贵州模拟）若a+3＝2b﹣5，则下列等式不一定成立的是（　　）
A．a+8＝2b B．a+5＝2b+3 C．a﹣2b＝﹣8 D．
【例1.3】（2025 芜湖三模）已知实数a，b，c满足a+b+c≠0，a+b＝c，a＝b+c，则下列结论正确的是（　　）
A．ab≠0 B．ac≠0 C．bc≠0 D．abc≠0
【题型二】一次方程（组）的相关概念
【例2.1】（2025 贵州）已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例2.2】（2023 舟山模拟）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣2023的值为 　 　 ．
【例2.3】（2025 徐州）若二元一次方程组的解为，则a+b的值为　 　 ．
【题型三】一次方程（组）的解法
【例3.1】（2025 南通模拟）解方程：﹣＝2
【例3.2】（2025 淄博）解方程组：．
【例3.3】（2024 西湖区模拟）某同学解方程．的过程如下框：
解：． 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得x＝60……③
请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
【例3.4】（2024 钱塘区三模）已知二元一次方程组，则2m﹣n的值为 　7　 ．
【题型四】由实际问题抽象出二元一次方程（组）
【例4.1】（2025 南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　）
A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3
【例4.2】（2025 拱墅区校级三模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A． B． C． D．
【题型五】一次方程（组）的应用
【例5.1】（2025 南京）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？
【例5.5】（2024 舟山一模）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题．
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步，
问题：（1）起点与终点的距离为 　4000　 米；
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红 　 　 分钟．
1．（2025 浙江模拟）x＝3是下列哪个方程的解（　　）
A．5x﹣2＝4x+1 B．5x﹣2＝4x﹣1 C．5x+2＝4x﹣1 D．5x+2＝﹣4x﹣1
2．（2023 衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 宁波模拟）将等式a＝b﹣1进行变形，其中变形正确的是（　　）
A．a﹣1＝b B．﹣a＝1﹣b C．a﹣3＝b﹣2 D．2a＝2b﹣1
4．（2025 杭州模拟）如果是方程2x﹣3y＝2025的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（2025 衢州四模）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（　　）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
7．（2025 浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 杭州模拟）定义一种新运算“Δ”，其运算规则是，已知，则x的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
9．（2025 宁波模拟）桌面上有若干枚壹元硬币和伍角硬币，其中10枚正面向上．现将壹元硬币全部翻面，此时正面向上的壹元硬币比正面向上的伍角硬币多2枚，则桌面上的壹元硬币有（　　）
A．12枚 B．11枚 C．10枚 D．9枚
10．（2025 开化县模拟）由方程组可以得出x与y的关系是（　　）
A．y＝﹣8x+2 B．y＝﹣8x﹣2 C．y＝8x+2 D．y＝8x﹣2
11．（2025 浙江模拟）若式子3x+2与式子2（x﹣2）﹣3的值相等，则x的值为　 　 ．
12．（2025 拱墅区模拟）方程组的解是　　 ．
13．（2025 舟山三模）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则m﹣2n的值为　 　 ．
14．（2025 衢州一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是　 　 ．
15．（2025 临平区二模）已知二元一次方程组，则2a﹣b的值为 　 　 ．
16．（2023 丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为　　 斤．
17．（2023 杭州一模）解方程：．
18．（2025 浙江模拟）下面是小畅解方程的解答过程．
解：去分母，得2﹣（x﹣1）＝2（x+1）．
去括号，得2﹣x+1＝2x+2．
移项、合并同类项，得﹣3x＝﹣1．
两边同除以﹣3，得．
小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
19．（2024 浙江）解方程组：．
20．（2025 西湖区模拟）小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
21．（2025 拱墅区二模）对于关于二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值（k≠1），解x、y一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
1．（2025 兰山区一模）运用等式性质进行的变形，正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果，那么a＝b
C．如果a＝b，那么 D．如果a2＝3a，那么a＝3
2．（2025 贵州模拟）已知等式6a＝9b+8，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．6a﹣8＝9b B．6a+3＝9b+11 C． D．6ac＝9bc+8
3．（2025 邢台模拟）某同学在解关于x的一元一次方程2a+x＝3时，误将+x看作÷x，得到方程的解为x＝2，则原方程的解为（　　）
A．x＝﹣3 B． C．x＝2 D．x＝3
4．（2025 淮安区一模）把方程＝1去分母后正确的是（　　）
A．4x﹣3（x﹣1）＝1 B．4x﹣3x﹣3＝12 C．4x﹣3（x﹣1）＝12 D．4x+3x﹣3＝12
5．（2025 连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　）
A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1
6．（2025 平湖市二模）我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长x尺，绳长y尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（　　）
A．y﹣x＝4.5 B． C． D．
7．（2025 宁夏）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024 镇海区校级模拟）已知关于a、b的方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　　 ．
9．（2025 余姚市三模）已知制作甲型机器人需要A零件3个，B零件2个，制作乙型机器人需要A零件4个，B零件1个，现制作两种型号机器人若干，用去A零件a个，B零件b个，则a+b的值可能是（　　）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
10．（2023 丽水模拟）已知关于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，则m的值为 　 　 ．
11．（2025 路桥区二模）若是二元一次方程2x+my＝3的一个解，则m的值为 　 　 ．
12．（2025 广西模拟）若有a，b两个数满足关系式：a+b＝ab﹣1，则称a，b为“共生数对”，记作（a，b）．例如：当2，3满足2+3＝2×3﹣1时，则（2，3）是“共生数对”．若（﹣x，4）是“共生数对”，则x＝　　 ．
13．（2025 陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是 　 　 小时．
14．（2025 绍兴三模）我国古代问题：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．则大桶可盛酒 　　 斛．
15．（2025 富阳区三模）《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为50cm，宽为30cm的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为xcm，若要使整个挂图的长与宽之比为3：2，则可列关于x的方程为　　 ．
16．（2025 萧山区模拟）李老师花费480元购买了三类笔记本，其中A，B，C三类笔记本的单价分别为20元，15元，24元．已知购买C类笔记本花费的总价是B类总价的2倍．李老师一共购买了　 　 本笔记本．
17．（2024 德化县模拟）解方程：．
18．（2024 路桥区二模）以下是亮亮解方程的解答过程．
解：去分母，得3x﹣1﹣1＝2x．
移项，得3x﹣2x＝1+1．
合并同类项，得x＝2．
亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
19．（2025 丽水一模）解方程组：．
20．（2025 广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：
湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示）
（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．
21．（2024 平湖市模拟）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分 a b 100 无
积分可以兑换部分商品，具体如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数 800 1500 2000 1000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分．
（1）求a，b的值；
（2）小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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