资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考数学一轮复习精讲精练
第二章 方程与不等式
2.2分式方程
分 式 方 程 定义 的方程叫做分式方程．
解法 1、解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
2、解分式方程的步骤 （1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为 。 （2）去括号。系数分别乘以括号里的数。 （3）移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。 （4）合并同类项。 （5）系数化为1。 （6）检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。
增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做 ．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
分式方程无解 （1）分式方程化为整式方程后所得整式方程无解，则原程无解； （2）整式方程有解，但所求得的解经检验是增根，此时分式无解。
分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤： (审清题意)、 (设未知数)、 (找相等关系)、 (列方程)、 (解出这个方程)、 (既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)．
1、利用常见数量关系确定等量关系。例如行程问题中的相遇时间、追击时间相等。 （1）工程问题：工作效率=工作总量÷工作时间。 （2）行程问题。路程=速度×时间。
（3）销售问题。总价=单价×数量。 2、利用关键词确定等量关系。例如“倍”“多”“少”等。
3、列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程； ⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答．
【题型一】解分式方程
【例1.1】（2025 哈尔滨）方程的解为（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝1
【例1.2】（2025 龙马潭区一模）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
【例1.3】（2025 陕西）解方程：．
【题型二】分式方程的参数问题
【例2.1】（2025 斗门区一模）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【例2.2】（2025 龙江县三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3
【例2.3】（2025 宿松县模拟）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【例2.4】（2025 三台县模拟）关于x的分式方程无解，则a的取值是（　　）
A．4 B．0或﹣3 C．﹣3或4 D．0或﹣3或4
【题型三】分式方程的实际问题
【例3.1】（2025 雅安）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【例3.2】（2025 绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【例3.3】（2025 仙居县二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A．＝ B．﹣40＝ C．＝﹣40 D．＝
【例3.4】（2025 重庆）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
（1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
【例3.5】（2025 成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
1．（2023 义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
2．（2025 鹿城区校级三模）解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．1﹣2＝﹣1+x B．1﹣2（x﹣2）＝1﹣x
C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x D．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x
3．（2022 宁波一模）分式方程的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3
4．（2022 丽水一模）在如下解分式方程＝1的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　）
x﹣（3﹣x）＝x﹣2……① x﹣3+x＝x﹣2……② x+x﹣x＝﹣2+3……③ ∴x＝1……④
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
5．（2025 衢州模拟）志愿者组织到敬老院参加老年人关爱活动，其中一部分人从距离敬老院12km的集合点骑自行车出发，剩下的人过了45分钟后乘汽车出发，结果他们同时达到，已知汽车的速度是自行车速度的4倍，设骑自行车的志愿者速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 萧山区模拟）一艘轮船在静止中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为xkm/h，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022 丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（　　）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
8．（2025 临平区模拟）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆．例如：1☆，则方程（﹣2）☆x＝1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1
9．（2025 镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
10．（2021 浙江模拟）已知关于x的方程＝无解，则m的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2024 浙江）若，则x＝　 　 ．
12．（2022 金华）若分式的值为2，则x的值是 　 　 ．
13．（2025 建德市校级模拟）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是 　 ．
14．（2022 宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b＝+．若（x+1） x＝，则x的值为 　 ．
15．（2023 上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 　 　 千克．
甲种糖果 乙种糖果
千克数 20 30
单价（元/千克） 25 15
16．（2025 西湖区模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：a b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1 3＝＝﹣．则方程x （﹣2）＝﹣1的解是 　 ．
17．（2025 浙江）解分式方程：＝0．
18．（2025 温州模拟）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得（x﹣1）﹣（x﹣4）＝2﹣x， 去括号：x﹣1﹣x+4＝2﹣x， 移项：x＝1． 所以原方程的解是x＝1. 小迪： 解：去分母，得（x﹣1）+（x﹣4）＝﹣1， 去括号：x﹣1+x﹣4＝﹣1， 移项并合并：2x＝4， 解得x＝2． 经检验：x＝2是方程增根，原方程无解．
老师批改时说小丁和小迪的解题过程都有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后重新写出正确的完整解答过程．
19．（2025 拱墅区模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
20．（2025 杭州模拟）和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天．
（1）求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品；
（2）两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？
21．（2025 杭州模拟）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属于违法行为．为确保行安全，丽江到攀枝花270千米的高速公路全程限速120千米/小时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/小时）．以下是王师傅和李师傅在全程行驶完这段高速公路后的对话片断．
王师傅：“李师傅，你的平均车速是我的1.2倍，行驶完全程比我少用了半个小时．”
李师傅：“虽然我的平均车速比你的快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊!”
根据以上对话，你认为李师傅在行驶过程中是否有超速？请说明理由．
1．（2025 道里区校级三模）方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝6
2．（2025 湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　）
A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1）
3．（2025 深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　）
A．﹣＝3 B．﹣＝3 C．＝2× D．＝2×
4．（2025 萧山区一模）我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意如图所示（单位：尺）．已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，则下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 椒江区二模）水果店老板用3000元购进了一批杨梅，以高于进价40%的价格卖出，销售收入为3500元时店里还剩25千克杨梅．问这批杨梅进价为多少元/千克？设这批杨梅进价为x元/千克，由题意列方程得（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 浙江模拟）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
7．（2025 黑龙江）已知关于x的分式方程﹣＝3解为负数，则k的值为（　　）
A．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k≠﹣ D．k＞﹣4且k≠﹣
8．（2025 齐齐哈尔）如果关于x的分式方程+＝2无解，那么实数m的值是（　　）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝﹣1 D．m≠1且m≠﹣1
9．（2025 丽水一模）分式方程的解为 　 ．
10．（2025 衢州三模）当x＝　 　 时，分式的值为2．
11．（2025 江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 　 ．
12．（2025 巴中模拟）已知关于x的方程有增根，那么a＝　 　 ．
13．（2025 嘉兴模拟）解方程：+＝2．
14．（2025 广东）在解分式方程﹣2时，小李的解法如下：
第一步： （x﹣2）＝﹣ （x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4． 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0． 第六步：∴原分式方程的解为x＝4．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
15．（2025 上海）解方程：﹣＝．
16．（2025 大渡口区模拟）某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元．
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件？
（2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？
17．（2025 肇庆二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考数学一轮复习精讲精练
第二章 方程与不等式
2.2分式方程
分 式 方 程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
解法 1、解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
2、解分式方程的步骤 （1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。 （2）去括号。系数分别乘以括号里的数。 （3）移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。 （4）合并同类项。 （5）系数化为1。 （6）检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。
增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
分式方程无解 （1）分式方程化为整式方程后所得整式方程无解，则原程无解； （2）整式方程有解，但所求得的解经检验是增根，此时分式无解。
分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤：审(审清题意)、设(设未知数)、找(找相等关系)、列(列方程)、解(解出这个方程)、验(既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)．
1、利用常见数量关系确定等量关系。例如行程问题中的相遇时间、追击时间相等。 （1）工程问题：工作效率=工作总量÷工作时间。 （2）行程问题。路程=速度×时间。
（3）销售问题。总价=单价×数量。 2、利用关键词确定等量关系。例如“倍”“多”“少”等。
3、列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程； ⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答．
【题型一】解分式方程
【例1.1】（2025 哈尔滨）方程的解为（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝1
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解
【解析】解：去分母得：5x＝3x+6，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x（x+2）≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟知分式方程的解法是解本题的关键．
【例1.2】（2025 龙马潭区一模）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
【点拨】根据分式方程的解法，两侧同乘（x﹣1）化简分式方程即可．
【解析】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
【例1.3】（2025 陕西）解方程：．
【点拨】先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【解析】解：，
方程两边同时乘2（x﹣3），得x﹣2＝2x﹣6，
解得：x＝4，
检验，把x＝4代入2（x﹣3）≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
【题型二】分式方程的参数问题
【例2.1】（2025 斗门区一模）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【点拨】将x＝1代入方程，即可求a的值．
【解析】解：∵关于x的方程的解是x＝1，
∴＝，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解．
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．
【例2.2】（2025 龙江县三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3
【点拨】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．
【解析】解：原分式方程可化为：﹣2＝，
去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，
解得x＝，
∵分式方程解是非负数，
∴≥0，且≠1，
∴m的取值范围是：m≤5且m≠3，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，x﹣1≠0，列不等式组是解题关键．
【例2.3】（2025 宿松县模拟）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【点拨】首先把分式方程化为整式方程，得到：x﹣3（x+2）＝m，然后把m看作常数解方程，可得：，因为分式方程有增根，所以可得，解关于m的一元一次方程可得m＝﹣2．
【解析】解：方程两边同时乘（x+2）得：x﹣3（x+2）＝m，
解得：，
∵方程有增根，
∴x+2＝0，
∴x＝﹣2，
∴，
∴m＝﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握该知识点是关键．
【例2.4】（2025 三台县模拟）关于x的分式方程无解，则a的取值是（　　）
A．4 B．0或﹣3 C．﹣3或4 D．0或﹣3或4
【点拨】根据分式有意义的条件可知x≠3，x≠0，将分式方程化为整式方程后将x＝3，x＝0代入求出a的值即可．
【解析】解：根据分式有意义，x≠3，x≠0，
将分式方程化为整式方程为：x（x+a）﹣7（x﹣3）＝x（x﹣3），整理得（a﹣4）x＝﹣21，
∵分式方程无解，
∴a＝4，a＝﹣3．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．
【题型三】分式方程的实际问题
【例3.1】（2025 雅安）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据甲加工200个这种零件所用的时间和乙加工160个这种零件所用的时间相等，可以列出相应的分式方程．
【解析】解：由题意可得，．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
【例3.2】（2025 绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设B货车每小时运输化工原料x吨，则A货车每小时运输化工原料（15+x）吨，根据A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等，列出分式方程即可．
【解析】解：设B货车每小时运输化工原料x吨，则A货车每小时运输化工原料（15+x）吨，
由题意得：＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例3.3】（2025 仙居县二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A．＝ B．﹣40＝ C．＝﹣40 D．＝
【点拨】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据快递公司的快递员人数不变且公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，
依题意得：＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例3.4】（2025 重庆）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
（1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
【点拨】（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣50）个，根据3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该厂每天生产甲种文创产品的数量），再将其代入（x﹣50）中，即可求出该厂每天生产乙种文创产品的数量；
（2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解析】解：（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣50）个，
根据题意得：3x﹣4（x﹣50）＝100，
解得：x＝100，
∴x﹣50＝100﹣50＝50（个）．
答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个；
（2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，
根据题意得：﹣＝10，
解得：y＝20，
经检验，y＝20是所列方程的解，且符合题意．
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
【例3.5】（2025 成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
【点拨】（1）依据题意，设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元，可得＝+7，求出x后即可判断得解；
（2）依据题意，设该游客购买m个A种挂件，则购买（m+5）个B种挂件，又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为×25＝20元，可得25m+20（m+5）≤600，进而计算可以判断得解．
【解析】解：（1）由题意，设每个A种挂件的价格为x元，
则每个B种挂件的价格为x元，
∴＝+7．
∴x＝25．
经检验：x＝25是原方程的根．
答：每个A种挂件的价格为25元．
（2）由题意，设该游客购买m个A种挂件，
则购买（m+5）个B种挂件，
又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为×25＝20元，
∴25m+20（m+5）≤600．
∴m≤＝＝11．
又∵m为整数，
∴m＝11，则该游客最多购买11个A种挂件．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
1．（2023 义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
【点拨】根据题意列出分式方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】解：根据题意得：＝1，
去分母得：x﹣2＝3，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝5．
故选：A．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2025 鹿城区校级三模）解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．1﹣2＝﹣1+x B．1﹣2（x﹣2）＝1﹣x
C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x D．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x
【点拨】方程两边同乘最简公分母（x﹣2）即可．
【解析】解：原方程去分母得：1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x，
故选：C．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
3．（2022 宁波一模）分式方程的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3
【点拨】方程两边都乘x﹣1得出1＝﹣x+2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】解：，
方程两边都乘x﹣1，得1＝﹣x+2（x﹣1），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣1≠0，
所以x＝3是原方程的解，
即原分式方程的解是x＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
4．（2022 丽水一模）在如下解分式方程＝1的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　）
x﹣（3﹣x）＝x﹣2……① x﹣3+x＝x﹣2……② x+x﹣x＝﹣2+3……③ ∴x＝1……④
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【点拨】观察4个步骤，找出根据等式的基本性质即可．
【解析】解：x﹣（3﹣x）＝x﹣2……①（等式的基本性质）
x﹣3+x＝x﹣2……②（去括号法则）
x+x﹣x＝﹣2+3……③（等式的基本性质）
∴x＝1……④（合并同类项法则）．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
5．（2025 衢州模拟）志愿者组织到敬老院参加老年人关爱活动，其中一部分人从距离敬老院12km的集合点骑自行车出发，剩下的人过了45分钟后乘汽车出发，结果他们同时达到，已知汽车的速度是自行车速度的4倍，设骑自行车的志愿者速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设骑自行车的志愿者速度为xkm/h，则汽车的速度是4xkm/h，根据剩下的人过了45分钟后乘汽车出发，结果他们同时达到，列出分式方程即可．
【解析】解：设骑自行车的志愿者速度为xkm/h，则汽车的速度是4xkm/h，45分钟＝小时，
根据题意得：﹣＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2025 萧山区模拟）一艘轮船在静止中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为xkm/h，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意可得顺水速度为（30+x）km/h，逆水速度为（30﹣x）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行90km所用时间＝以最大航速逆流航行60km所用时间，根据等量关系列出方程求解即可．
【解析】解：设江水的流速为vkm/h，
根据题意得：
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程．
7．（2022 丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（　　）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
【点拨】设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个，列出分式方程解答即可．
【解析】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．
根据题意可得：＝﹣30，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键．
8．（2025 临平区模拟）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆．例如：1☆，则方程（﹣2）☆x＝1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1
【点拨】根据定义的新运算列得分式方程，解方程并检验即可．
【解析】解：由题意可得＝1，
去分母得：﹣2+x＝1+2x，
解得：x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查解分式方程，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．
9．（2025 镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
【点拨】先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解．
【解析】解：∵关于x的分式方程有增根，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴，
方程的两边同乘（x﹣1）得：2x＝m+5（x﹣1），
解得：m＝﹣3x+5，
∴m＝﹣3×1+5＝2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．
10．（2021 浙江模拟）已知关于x的方程＝无解，则m的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣3＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解析】解：去分母得：x﹣1＝m，即x＝1+m，
∵分式方程无解，
∴x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：1+m＝3，
解得：m＝2，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
11．（2024 浙江）若，则x＝　3　 ．
【点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【解析】解：两边都乘以（x﹣1），得
2＝x﹣1，
解得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
所以原方程的解为x＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．
12．（2022 金华）若分式的值为2，则x的值是 　4　 ．
【点拨】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论．
【解析】解：由题意得：＝2，
去分母得：2＝2（x﹣3），
去括号得：2x﹣6＝2，
移项，合并同类项得：2x＝8，
∴x＝4．
经检验，x＝4是原方程的根，
∴x＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤．
13．（2025 建德市校级模拟）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是 m＜﹣1且m≠﹣2　 ．
【点拨】先根据解分式方程的一般步骤解分式方程，然后根据分式方程的解是负数和分式的分母不为0，列出关于m的不等式，解不等式即可．
【解析】解：，
方程两边同时乘x+1得：
2x﹣m＝x+1，
2x﹣x＝1+m，
x＝1+m，
∵关于x的分式方程 的解是负数，
∴1+m＜0，
解得m＜﹣1，
∵分式方程中的分母x+1≠0，即x≠﹣1，
∴1+m≠﹣1，
解得：m≠﹣2，
综上可知m的取值范围是：m＜﹣1且m≠﹣2，
故答案为：m＜﹣1且m≠﹣2．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤．
14．（2022 宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b＝+．若（x+1） x＝，则x的值为 　﹣　 ．
【点拨】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．
【解析】解：根据题意得：+＝，
化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x（x+1）≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键．
15．（2023 上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 　10　 千克．
甲种糖果 乙种糖果
千克数 20 30
单价（元/千克） 25 15
【点拨】设需加入甲种糖x千克，利用单价＝总价÷数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高1元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解析】解：设需加入甲种糖x千克，
根据题意得：﹣＝1，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴需加入甲种糖10千克．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16．（2025 西湖区模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：a b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1 3＝＝﹣．则方程x （﹣2）＝﹣1的解是 x＝5　 ．
【点拨】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．
【解析】解：根据题中的新定义化简得：＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17．（2025 浙江）解分式方程：＝0．
【点拨】先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【解析】解：，
方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
去括号，得3x﹣3﹣x﹣1＝0，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
18．（2025 温州模拟）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得（x﹣1）﹣（x﹣4）＝2﹣x， 去括号：x﹣1﹣x+4＝2﹣x， 移项：x＝1． 所以原方程的解是x＝1. 小迪： 解：去分母，得（x﹣1）+（x﹣4）＝﹣1， 去括号：x﹣1+x﹣4＝﹣1， 移项并合并：2x＝4， 解得x＝2． 经检验：x＝2是方程增根，原方程无解．
老师批改时说小丁和小迪的解题过程都有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后重新写出正确的完整解答过程．
【点拨】根据解分式方程的步骤进行计算并判断和解答即可．
【解析】解：小丁和小迪的解法都是第一步错误（划线略），
正确解法如下：
去分母得：x﹣1+x﹣4＝2﹣x，
移项得：3x＝7，
∴，
检验：当x＝时，x﹣2≠0，
所以原方程的解是x＝．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
19．（2025 拱墅区模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【点拨】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
（2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可．
【解析】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1
解得x＝0
经检验，x＝0是原分式方程的解．
（2）设？为m，
方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1
由于x＝2是原分式方程的增根，
所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1
所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．（2025 杭州模拟）和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天．
（1）求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品；
（2）两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？
【点拨】（1）设乙组每天能加工x袋食品，则甲组每天能加工2x袋食品，根据“乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天”建立分式方程求解；
（2）设乙组提高效率后每天加工a袋食品，根据题意得到3×（30+60）+（7﹣3）×（a+2a）≥600+90，再解不等式求解．
【解析】解：（1）设乙组每天能加工x袋食品，则甲组每天能加工2x袋食品．
由题意，得．
整理得，20x＝600，
解得x＝30．
经检验x＝30是分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝60．
答：甲组每天能加工60袋食品，乙组每天能加工30袋食品．
（2）设乙组提高效率后每天加工a袋食品．
由题意，得3×（30+60）+（7﹣3）×（a+2a）≥600+90，
整理得，12a≥420，
解得a≥35，
答：乙组提高效率后每天至少加工35袋食品．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到关系式是解题的关键．
21．（2025 杭州模拟）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属于违法行为．为确保行安全，丽江到攀枝花270千米的高速公路全程限速120千米/小时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/小时）．以下是王师傅和李师傅在全程行驶完这段高速公路后的对话片断．
王师傅：“李师傅，你的平均车速是我的1.2倍，行驶完全程比我少用了半个小时．”
李师傅：“虽然我的平均车速比你的快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊!”
根据以上对话，你认为李师傅在行驶过程中是否有超速？请说明理由．
【点拨】设王师傅的平均车速为x千米/小时，则李师傅的平均车速为1.2x千米/小时，列出方程求解比较即可．
【解析】解：李师傅在行驶过程中没有超速．
理由：设王师傅的平均车速为x千米/小时，则李师傅的平均车速为1.2x千米/小时．
得，解方程，得x＝90．
经检验：x＝90是分式方程的解．
∴平均车速为1.2x＝108（千米/小时），
∴最快车速为108×（1+10%）＝118.8（千米/时）．
∵120＞118.8，
∴李师傅在行驶过程中没有超速．
【点睛】本题考查分式方程的应用，正确列出方程是解题关键．
1．（2025 道里区校级三模）方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝6
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：2（x+3）＝3x，
去括号得：2x+6＝3x，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解．
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2025 湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　）
A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1）
【点拨】两边同乘x（x+1）去分母即可．
【解析】解：原方程两边同乘x（x+1）得：x+1＝2x，
故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
3．（2025 深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　）
A．﹣＝3 B．﹣＝3 C．＝2× D．＝2×
【点拨】由实际与原计划种植人数间的关系，可得出实际种植人数为2x人，利用人均种植棵数＝种植总数÷种植人数，结合实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】解：∵实际种植人数是原计划人数的2倍，且原计划人数为x人，
∴实际种植人数为2x人．
根据题意得：﹣＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．（2025 萧山区一模）我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意如图所示（单位：尺）．已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，则下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据相似三角形的性质列方程求解．
【解析】解：由题意得：AD∥BC，
设BE交AD于F，
则△EFD∽△EBC，
∴，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
5．（2025 椒江区二模）水果店老板用3000元购进了一批杨梅，以高于进价40%的价格卖出，销售收入为3500元时店里还剩25千克杨梅．问这批杨梅进价为多少元/千克？设这批杨梅进价为x元/千克，由题意列方程得（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据售价与进价间的关系，可得出这批杨梅的售价为1.4x元/千克，利用数量＝总价÷单价，结合销售收入为3500元时店里还剩25千克杨梅，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】解：∵这批杨梅的进价为x元/千克，且以高于进价40%的价格卖出，
∴这批杨梅的售价为（1+40%）x＝1.4x元/千克．
根据题意得：﹣＝25．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2025 浙江模拟）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
【点拨】绫布有x尺，则罗布有（30﹣x）尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；根据方程得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可．
【解析】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺，
设绫布有x尺，则可得方程为，
∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
故选：C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
7．（2025 黑龙江）已知关于x的分式方程﹣＝3解为负数，则k的值为（　　）
A．k＜﹣4 B．k＞﹣4
C．k＜﹣4且k≠﹣ D．k＞﹣4且k≠﹣
【点拨】首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围．
【解析】解：，
得，
得x+3k＝3x﹣12，
解得：，
根据题意，解，
即3k+12＜0，
解得：k＜﹣4，
∵分母x﹣4≠0，即x≠4，即，
解得：，
∴k＜﹣4，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是正确运算．
8．（2025 齐齐哈尔）如果关于x的分式方程+＝2无解，那么实数m的值是（　　）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝﹣1 D．m≠1且m≠﹣1
【点拨】分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．
【解析】解：方程去分母，得：mx﹣x＝2（1﹣x），
整理，得：（m+1）x＝2，
原方程无解，
∴①整式方程无解，则：m+1＝0，解得：m＝﹣1，
②分式方程有增根，则：x﹣1＝0，解得：x＝1，
把x＝1代入（m+1）x＝2，得：m+1＝2，解得：m＝1，
综上：m＝1或m＝﹣1，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解，注意正确计算．
9．（2025 丽水一模）分式方程的解为x＝1　 ．
【点拨】原方程去分母后得到整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可．
【解析】解：原方程移项得 ，
两边同乘 x﹣2得1＝﹣1 （x﹣2），
解得x＝1，
检验：当 x＝1 时，分母 x﹣2＝﹣1≠0，满足条件，
原分式方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握该知识点是关键．
10．（2025 衢州三模）当x＝　﹣4　 时，分式的值为2．
【点拨】由题意易得＝2，解方程并检验即可．
【解析】解：由题意得＝2，
去分母得：x﹣2＝2x+2，
解得：x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4时，x+1≠0，
则x＝﹣4时，分式的值为2，
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
11．（2025 江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 　＝　 ．
【点拨】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗电费为（x+50）元，根据燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，列出分式方程即可．
【解析】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗电费为（x+50）元，
由题意得：＝，
故答案为：＝．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12．（2025 巴中模拟）已知关于x的方程有增根，那么a＝　﹣1　 ．
【点拨】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
【解析】解：，
x﹣3＝3（x﹣2）+a，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程，
2﹣3＝3×（2﹣2）+a，
解得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，掌握解分式方程的步骤是关键．
13．（2025 嘉兴模拟）解方程：+＝2．
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：x﹣3﹣1＝2x﹣4，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．（2025 广东）在解分式方程﹣2时，小李的解法如下：
第一步： （x﹣2）＝﹣ （x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4． 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0． 第六步：∴原分式方程的解为x＝4．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
【点拨】先判断去分母是那步，说明依据，再解分式方程得结论．
【解析】解：小李的解法中，第一步是去分母；
去分母的依据是：等式的基本性质；
小李的解答过程不正确；
正确的解答过程：
﹣2，
去分母，得 （x﹣2）＝﹣ （x﹣2）﹣2（x﹣2），整理，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项并合并，得x＝2．
检验：当x＝2时，x﹣2＝0．
∴原分式方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
15．（2025 上海）解方程：﹣＝．
【点拨】先把整式方程化为分式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可．
【解析】解：方程两边同乘（x﹣2）（x﹣1），
得：（x﹣3）（x﹣1）﹣2＝2（x﹣2），
解得：x＝1或5，
检验：当x＝1时，（x﹣2）（x﹣1）＝0，
当x＝5时，（x﹣2）（x﹣1）≠0，
∴原方程的解为x＝5．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键．
16．（2025 大渡口区模拟）某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元．
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件？
（2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？
【点拨】（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，根据某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设甲商品的售价为a元，则乙商品的售价为（a+8）元，根据两个公司购买的商品数量刚好一样，列出分式方程，解方程，即可解决问题．
【解析】解：（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
由题意得：，
解得：，
答：甲种商品购进120件，乙种商品购进100件；
（2）设甲商品的售价为a元，则乙商品的售价为（a+8）元，
由题意得：＝，
解得：a＝30，
经检验，a＝30是原方程的解，且符合题意，
∴1500÷30＝50（件），
∴50×（30﹣25）+50×（30+8﹣30）＝650（元），
答：超市能从这次销售中获利650元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
17．（2025 肇庆二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
【点拨】（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15﹣m）个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥5，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论．
【解析】解：（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元，
由题意得：＝，
解得：x＝0.6，
经检验，x＝0.6是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝0.6+0.2＝0.8，
答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是0.6万元；
（2）解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15﹣m）个，
由题意得：15﹣m≤2m，
解得：m≥5，
设所需费用为w万元，
由题意得：w＝0.8m+0.6×（15﹣m）＝0.2m+9，
∵0.2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝5时，w取得最小值＝0.2×5+9＝10，
答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑