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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第一章 数与式
1.4 二 次 根 式
二 次 根 式 的 概 念及性质 念 二次根式的有关概念 形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
二次根式 有意义的条件： 被开方数大于等于0.
最简二次 根式 (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含开得尽的因数或因式.
同类二次 根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式，如 ,,3
二次根式的性质 1、0； a≥0（双重非负性）． 2、（）2=a（a≥0）． 3、|a|（算术平方根的意义）．
二 次 根 式 的运算 二次根式的加减 二次根式相加减时，可以先将各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并，对于不能合并的二次根式要保留在结果里，作为结果的一部分.
二次根式的乘法 一般地，二次根式的乘法法则是 即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
次根式的 除法 二次根式的除法法则是 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
二次根式 的混合 运算 二次根式的混合运算的运算顺序与实数混合运算的运算顺序一致，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如有括号，先算括号里面的.
二 次 根 式 的估值 二次根式的估算 对于形如 的无理数的近似值的确定可以通过平方运算，采用“夹逼法”求解，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分，再依次确定其十分位、百分位等小数部分.
注意 事项 ①二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数. ②二次根式加减法的实质是合并同类二次根式. ③实数运算中的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用，运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式，并且分母中不含二次根式. ④常用的二次根式的近似值
难 点 知 识 分母 有理化 (1)把分母中的根号化去叫做分母有理化，即 (2)互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不 含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.如、 与 互为有理化因式，原理是平方差公式( 如 其中 与 互为有理化因式.
■考点一　二次根式的概念
◇典例1：下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：当x<0时，无意义，故A不符合；
是二次根式，故B符合；
当x=-3时，无意义，故C不符合；
无意义，故D不符合.
故答案为B.
【分析】根据二次根式的意义，有意义的条件求解.
◆变式训练
1.下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、二次根式无意义，故A错误；
B、是三次根式，故B错误；
C、被开方数是正数，故C正确；
D、当b=0或a、b异号时，根式无意义，故D错误．
故答案为：C．
【分析】（a≥0）是二次根式；A无意义；B是三次根式，D当b=0或a、b异号时，根式无意义.
2.下列各式：①；②；③；④；⑤，其中二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①是 二次根式；②当x<0时，不是 二次根式；③无论x、y取何值，都有意义，所以它是二次根式；④无意义，它不是 二次根式；⑤ 是三次根式.这些式子中共有2个二次根式.
故答案为：B.
【分析】判断一个式子是否是二次根式，要注意：（1）具有的形式；（2）被开方数为非负数.
■考点二 二次根式有意义的条件
◇典例2：若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
【答案】D
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
◆变式训练
1.若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式成立的条件是解答本题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可．
2.若代数式有意义，则实数x的取值范围为　 　
【答案】且
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴且，
故答案为：且．
【分析】直接利用二次根式的被开方数不能为负数和分式的分母不能为零列出不等式组，求解得出答案．
■考点三 二次根式的非负性
◇典例3：若，则 ．
【答案】16
【解析】【解答】解：根据题意，得，
由二次根式的定义，被开方数必须满足非负条件：
且，
即且，
故；
故，
则，
故答案为：16．
【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定的取值范围，进而求出和 的值，最后计算．
本题考查了二次根式有意义的条件，已知字母的值求代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
◆变式训练
1.若x，y都是实数，且满足y，化简：．
【答案】解：依题意，有，得x＝1，此时y，
所以1﹣y0，
所以1．
【解析】【分析】要化简，先确定题中各式在实数范围内有意义，应把握好以下几点：一是分母不能为零；二是二次根号下为非负数．
2.已知实数a满足，求a﹣20102的值．
【答案】解：根据题意得，a﹣2011≥0，
解得a≥2011，
去掉绝对值号得，a﹣2010a，
所以，2010，
两边平方得，a﹣2011＝20102，
所以，a﹣20102＝2011．
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解．
■考点四 利用二次根式的性质化简
◇典例1：化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得，a-1＞0，则a＞1，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得a＞1，再根据二次根式的性质进行化简即可.
◆变式训练
1.若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（　　）
A．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵方程x2＋4x＋a＝0无实根，
∴Δ＝42﹣4a＜0，
∴a＞4，
＝＝|4﹣a |，
∵a＞4，
∴|4﹣a |＝a﹣4，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程无实根的条件可得△<0，据此列不等式求出a的范围，然后根据二次根式的性质“”进行化简即可.
2.已知，化简的结果为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴x-1＞0，x-2＜0，
∴=x-1-(x-2)=x-1-x+2=1.
故答案为：B.
【分析】首先根据得出x-1＞0，x-2＜0，然后化简即可得出答案。
■考点五 二次根式的乘除法
◇典例1：计算：的结果为　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：.
故答案为：3.
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可.
◆变式训练
1.计算：÷=　 　
【答案】2　
【解析】【解答】解：原式=
=
=2．
故答案为：2．
【分析】根据二次根式的除法法则进行运算即可．
2.计算： 　 　．
【答案】
【解析】【解答】原式
故答案为： ．
【分析】首先根据二次根式的乘除法，根指数不变，被开方数相乘除进行计算，最后将所得的二次根式化为最简二次根式即可。
■考点六 最简二次根式
◇典例1：下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A. ，故不是最简二次根式；
B. 是最简二次根式；
C. = ，故不是最简二次根式；
D. ， 故不是最简二次根式；
故答案为：B.
【分析】(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
不是最简二次根式的根据二次根式的性质可化简：
◆变式训练
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故选项A符合题意；
B、，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】被开方数不含有分母（或小数形式），不含有开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，据此各选项进行判断即可．
2.如果最简二次根式和能合并，则x的值为（　　）
A． B． C．2 D．5
【答案】C
【解析】【解答】 ∵最简二次根式和能合并
∴二次根式和是同类二次根式
∴2x+1=4x-3
解得x=2
故答案为：C.
【分析】根据两个二次根式化简成最简二次根式后的被开方数相同，则两个二次根式是同类二次根式，得到两个最简二次根式的被开方数相等，计算得到答案。
■考点七 二次根式的加减法
◇典例1： 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简二次根式，再去括号，合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的性质化简二次根式，计算乘法，再合并同类二次根式即可．
◆变式训练
1.计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：依题意：
原式
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质对各个二次根式进行化简，最后根据二次根式的加减计算法则计算即可求解；
（2）根据题意得到：，进而即可利用二次根式的性质化简，最后根据二次根式的加减计算法则计算即可求解.
2.计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=2×-6×+3×=14.
（2）解：原式=++-=+.
【解析】【分析】（1）先将每个二次根式化为最简二次根式，再计算乘法，最后合并即可；
（2）先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可；
■考点八 二次根式的混合运算
◇典例1：计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘除法则进行计算即可；
（2）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可.
◆变式训练
1.计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式的乘除法法则分别化简各项根式，再进行加减运算；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式分别计算和 ． ，再将计算结果进行加法运算。
（1）解：
；
（2）解：
．
2.计算:
（1）；
（2）；
（3）
（4）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【解析】【分析】（1）先算乘方、开方，再根据实数的运算顺序即可得到答案；
（2）化简二次根式，根据二次根式的除法法则进行计算，即可得到答案；
（3）化简二次根式，根据平方差公式进行计算，即可得到答案；
（4）化简二次根式，再根据实数的运算顺序即可得到答案.
■考点九 二次根式的化简求值
◇典例1：先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】解： =
= = ，
把 ， 代入上式，得
原式= ．
【解析】【分析】先对 通分，再对x2+2xy+y2分解因式，进行化简求值．
◆变式训练
1.已知x＝；
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a+b）2+的值．
【答案】解：（1）∵x=，
∴x+y=（2－）+（2+）=4，
xy=（2－）×（2+）=4－3=1，
∴x2+y2－xy
=（x+y）2－3xy
=42－3×1
=16－3
=13；
（2）∵1，
∴b＝2+－3＝－1，
∴a＝2－，
∴a+b＝（2－）+（－1）＝1，
a－b＝（2－）－（－1）＝3－2＝3－＜0，
∴（a+b）2+＝12+|3－2|
=1+2－3
=2－2．
【解析】【分析】（1）先分母有理化，求出x、y值，求出x+y和xy的值，再代入求出即可；
（2）求出a、b的值，再求出a+b和a-b的值，再代入求出即可．
2.已知.
（1）直接写出　 　，　 　；
（2）试求的值；
（3）试求的值.
【答案】（1）4；1
（2）解：∵，，
∴
（3）解：∵，，
，
∴
.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴；
；
故答案为：4；1.
【分析】（1）根据二次根式的减法法则可得x+y，根据平方差公式可得xy的值；
（2）由完全平方公式可得x2+y2=(x+y)2-2xy，然后代入进行计算；
（3）根据二次根式的加法法则求出x-y，对待求式进行通分并化简可得=，然后代入进行计算.
■考点十 二次根式的实际应用
◇典例1：高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）.若从 50 m的高空抛物到落地所需时间为t1s，从100m的高空抛物到落地所需时间为t2 s，则t2：t1的值是（　　）
A．2 B． C． D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：当h=50时，t1==；
当h=100时，t2==2，
∴==.
故答案为：C.
【分析】将h的值分别代入得t1，t2的值，从而计算t2：t1的值.
◆变式训练
1.石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感.在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为，宽为，现要在其上修建两块形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为，宽为.
（1）求长方形空闲地块的周长.
（2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元
【答案】（1）解：，
长方形空闲地块的周长为.
（2）解：通道的面积为，
购买地砖需要花费（元）.
【解析】【分析】(1)根据长方形的周长公式计算即可；
(2)先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可.
2.现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出两块面积分别为和的正方形木板，．
（1）截出的正方形木板的边长为　 　；
（2）求图①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出面积为的两块正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵正方形木板的面积为，
∴正方形木板的边长为，
∵阴影部分长方形的宽为，
∴阴影部分的面积为
（3）解：不能截出.
理由：
∵面积为的正方形木板的边长为，
∴两块正方形木板按题图②的方式拼在一起的长为.
由（2）可得长方形木板的长为，
∵，
∴不能截出
【解析】【解答】解：（1）设 正方形木板的边长为 x dm，则
x2=18，
解得 x=
故填：.
【分析】⑴根据S=a2，求出其算术平方根即可.
⑵先计算出正方形A和B的边长，再利用两正方形的边长及边长差求出阴影部分的长和宽，根据长和宽求面积即可.
⑶先计算出正方形的边长，再比较“两正方形边长和”与“两长方形边长和”的大小，即可判断能否截出.
1．（2025·深圳三模）代数式成立的条件是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：代数式成立的条件为，
∴，
解得：-1＜x≤3
故答案为：D.
【分析】代数式成立的条件要代数式有意义，分母不能为零，这样二次根式x+1>0，分子有意义3-x≥0，在求出不等式的解集.
2．（2025·广东）计算 的结果是（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：=
故答案为：B .
【分析】根据二次根式乘法法则来运算 即可。
3．（2025·东莞模拟）下列是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A选项：是最简二次根式，故A选项正确；
B选项：，不是最简二次根式，故B选项错误；
C选项：，不是最简二次根式，故C选项错误；
D选项：，不是最简二次根式，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断，即可得到答案.
4．（2025·旌阳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法、除法、加法和减法的计算方法及步骤分析求解即可.
5．（2025·舟山模拟）已知，，则的值为（　　）．
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则 =
将ab=1代入上式得：
原式=====-23；
故答案为：C.
【分析】根据题意判定a，b的符号，再将待求代数式化简，代入计算即可得出答案.
6．（2025·衡南模拟）计算： 　 　；
【答案】
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的减法计算即可．
7．（2025·东莞模拟）计算的结果为　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：，
故答案为：3 ．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
8．（2025·桑植模拟）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， .
∴ ，
故答案为：2.
【分析】先估算出，再根据不等式的性质得，从而确定a、b的值，然后代入式子计算即可.
9．（2025·深圳模拟）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为　 　．
【答案】
69．（2025·鄞州模拟）　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的加法法则计算求解即可。
10．（2025·汕尾模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内的分式进行通分化简，然后结合平方差公式将分式的分子分母进行因式分解，将除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
11．（2025·雷州模拟）（1）
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
，
故答案为-4；
（2）
，
把代入，得．
故答案为.
【解析】【分析】
（1）先化简乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，化简得，把代入进行计算，即可作答．
1．（2025·惠州模拟）若＋有意义，则(－n)2的平方根是(　　)
A． B． C．± D．±
【答案】D
【解析】【解答】∵有意义，
解得：
的平方根是：
故选D．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，由此可列出关于n的一元一次不等式组，进而求得n的值，代入可得再由平方根的概念求其平方根即可.
2．（2025·宁江模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的化简以及二次根式的减法、乘法、除法等计算求解即可.
本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化简为最简二次根式，再进行乘除运算即可．
3．（2025·茂南模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，．
解得∶且．
故选：D．
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
3．（2025·深圳三模） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、、结果错误；
B、、结果错误；
C、、结果错误；
D、、结果正确；
故答案为：D .
【分析】A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、两数差的完全平方，等于这两数的平方和减去这两数乘积的2倍；
C、只有算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、.
4．（2025·东莞模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A.，选项计算不正确，不符合题意：
B.，选项计算不正确，不符合题意：
C.，选项计算正确，符合题意：
D.，选项计算不正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
5．已知xy＜0，化简二次根式y的正确结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 二次根式y 有意义，
∴，
又∵xy＜0，
解得x>0，y<0，
∴，
故选：A.
【分析】先根据二次根式有意义的条件和xy＜0得到x>0，y<0，然后化简二次根式即可.
6．（2025·海珠模拟）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题可知，
，
得．
故答案为：．
【分析】
根据二次根式被开方数大于等于零的条件进行解题即可．
7．（2025·从化模拟）计算： 　 　．
【答案】
【解析】【解答】 =(5-2) =3 .
故答案是：3 .
【分析】根据合并同类二次根式的法则，即可得到答案.
8．实数、在数轴上的位置如图所示，化简：　 　．
【答案】a
【解析】【解答】解：由图可得a＜0＜b，
∴b-a＞0，
∴.
故答案为：a.
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点得a＜0＜b，然后根据有理数的减法法则判断出b-a＞0，进而格局二次根式的性质及绝对值的性质分别化简，再合并同类项即可.
9．（2025·陇南模拟）计算：．
【答案】解：．
【解析】【分析】先根据二次根式的除法及乘法法则计算二次根式的除法及乘法，再根据二次根式的性质将二次根式化简即可.
10．（2025·澄海模拟）计算：
【答案】解：原式
．
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-1）0=1，由特殊角的三角函数值可得cos45°=，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
11．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴
．
【解析】【分析】（1）由题意，根据完全平方公式把变形得，原式=（a+b）2，再把a，b的值代入计算即可求解；
（2）先根据平方差公式把变形得，原式=（a+b）（a-b），再把a，b的值代入计算即可求解．
（1）∵，，
∴
；
（2）∵，，
∴
．
12．已知：，求：
（1）的值；
（2）若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求的值．
【答案】（1），
（2）为整数部分，为小数部分，
，
又，
，，
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式进行化简，再将a，b的值代入计算即可.
（2）先估算无理数的大小，求出m，n的值，再代入计算化简即可.
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第一章 数与式
1.4 二 次 根 式
二 次 根 式 的 概 念及性质 念 二次根式的有关概念 形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
二次根式 有意义的条件： 被开方数 0.
最简二次 根式 (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含开得尽的因数或因式.
同类二次 根式 几个二次根式化为 后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式，如 ,,3
二次根式的性质 1、0； a≥0（双重非负性）． 2、（）2=a（a≥0）． 3、|a|（算术平方根的意义）．
二 次 根 式 的运算 二次根式的加减 二次根式相加减时，可以先将各个二次根式化成 ，再将同类二次根式分别合并，对于不能合并的二次根式要保留在结果里，作为结果的一部分.
二次根式的乘法 一般地，二次根式的乘法法则是 即两个二次根式相乘， 把 相乘， 不变.
次根式的 除法 二次根式的除法法则是 即两个二次根式相除，把 相除，根指数 .
二次根式 的混合 运算 二次根式的混合运算的运算顺序与实数混合运算的运算顺序一致，先算 、开方，再算乘除，最后算 ，如有括号，先算括号里面的.
二 次 根 式 的估值 二次根式的估算 对于形如 的无理数的近似值的确定可以通过平方运算，采用“ ”求解，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分，再依次确定其十分位、百分位等小数部分.
注意 事项 ①二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数. ②二次根式加减法的实质是合并同类二次根式. ③实数运算中的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用，运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式，并且分母中不含二次根式. ④常用的二次根式的近似值
难 点 知 识 分母 有理化 (1)把分母中的 化去叫做分母有理化，即 (2)互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不 含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.如、 与 互为有理化因式，原理是平方差公式( 如 其中 与 互为有理化因式.
■考点一　二次根式的概念
◇典例1：下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2.下列各式：①；②；③；④；⑤，其中二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
■考点二 二次根式有意义的条件
◇典例2：若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
◆变式训练
1.若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
2.若代数式有意义，则实数x的取值范围为　 　．
■考点三 二次根式的非负性
◇典例3：若，则 ．
◆变式训练
1.若x，y都是实数，且满足y，化简：．
已知实数a满足，求a﹣20102的值．
■考点四 利用二次根式的性质化简
◇典例1：化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（　　）
A．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定
2.已知，化简的结果为（　　）
A． B．1 C． D．
■考点五 二次根式的乘除法
◇典例1：计算：的结果为　 　．
◆变式训练
1.计算：÷=　 　
2.计算： 　 　．
■考点六 最简二次根式
◇典例1：下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2.如果最简二次根式和能合并，则x的值为（　　）
A． B． C．2 D．5
■考点七 二次根式的加减法
◇典例1： 计算：
（1）
（2）
◆变式训练
1.计算：
（1）；
（2）．
2.计算：
（1）；
（2）．
■考点八 二次根式的混合运算
◇典例1：计算：
（1）；
（2）.
◆变式训练
1.计算：
（1）；
（2）．
2.计算:
（1）；
（2）；
（3）
（4）
■考点九 二次根式的化简求值
◇典例1：先化简，再求值： ，其中 ， ．
◆变式训练
1.已知x＝；
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a+b）2+的值．
2.已知.
（1）直接写出　 　，　 　；
（2）试求的值；
（3）试求的值.
■考点十 二次根式的实际应用
◇典例1：高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）.若从 50 m的高空抛物到落地所需时间为t1s，从100m的高空抛物到落地所需时间为t2 s，则t2：t1的值是（　　）
A．2 B． C． D．2
◆变式训练
1.石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感.在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为，宽为，现要在其上修建两块形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为，宽为.
（1）求长方形空闲地块的周长.
（2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元
2.现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出两块面积分别为和的正方形木板，．
（1）截出的正方形木板的边长为　 　；
（2）求图①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出面积为的两块正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
1．（2025·深圳三模）代数式成立的条件是(　　)
A． B． C． D．
2．（2025·广东）计算 的结果是（　　）
A．3 B．6 C． D．
3．（2025·东莞模拟）下列是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·旌阳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·舟山模拟）已知，，则的值为（　　）．
A． B．5 C． D．
6．（2025·衡南模拟）计算： 　 　；
7．（2025·东莞模拟）计算的结果为　 　．
8．（2025·桑植模拟）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是　 　.
9．（2025·深圳模拟）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为　 　．
10．（2025·汕尾模拟）先化简，再求值：，其中．
11．（2025·雷州模拟）（1）
（2）先化简，再求值：，其中．
1．（2025·惠州模拟）若＋有意义，则(－n)2的平方根是(　　)
A． B． C．± D．±
2．（2025·宁江模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·茂南模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
3．（2025·深圳三模） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·东莞模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知xy＜0，化简二次根式y的正确结果为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·海珠模拟）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为　 　．
7．（2025·从化模拟）计算： 　 　．
8．实数、在数轴上的位置如图所示，化简：　 　．
9．（2025·陇南模拟）计算：．
10．（2025·澄海模拟）计算：
11．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
12．已知：，求：
（1）的值；
（2）若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求的值．
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