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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第一章 数与式
1.3 分 式
分 式 的 相 关 概 念与性质 分式 形如 (A，B是整式，且B中含有 ，B≠0)的式子叫做分式. A叫做分子，B叫做分母. 注意事项： （1）π是数字，不是字母. （2）总结分子分母符号的判断 ①当分式的值为正时, A, B 同号. ②)当分式的值为负时,A,B 异号. ③约分的关键是寻找公因式. ④通分的关键是确定几个分式的最简公分母.
分式的有关 条件 1、分式有意义的条件：分式的 不为0，即当B 0时，分式有意义. 2、分式无意义的条件：分式的 为0，即当B 0时，分式无意义． 3、分式的值为0的条件是：当 且 时，分式 的值为零.
分式的基本 性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个 的整式，分式的值不变. (其中A,B,C为整式,且C≠0)
约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的约去，叫做分式的约分
最简分式 分子与分母没有的 分式叫做最简分式
通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的 分式相等的的分式，叫做分式的通分
分式的化简求值 分式的运算法则 符号 法则 分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中任何 ，分式的值不变
分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变， ；异分母分式相加减，先通分，变为 的分式，再加减.
分式的乘除法 乘法法 分式乘分式，用分子的积作为 ，分母的积作为 ， 用字母表示为
除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与 相乘， 用字母表示为
分式的乘方 分式乘方要把分子、分母分别 .用字母表示为 为整数)
混合运算 分式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序完全一样，注意运算结果要化为 .
分式 化简 求值 的一般步骤
■考点一　分式的概念
◇典例1：在下列式子中，属于分式的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.在代数式x，，xy2，，，x2﹣中，分式共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
■考点二 分式有意义的条件
◇典例2：若分式有意义，则的取值范围是 　 　．
◆变式训练
1.若分式 有意义，则x的取值范围是　 　.
2.（24-25八年级下·山西晋城·期末）下列分式中，有意义的条件为的是（ ）
A． B． C． D．
■考点三 分式无意义的条件
◇典例3：若分式无意义，则实数x的值是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.若分式无意义，则x的值为　 　．
2.若分式无意义，则的取值为　 　．
■考点四 分式的值为0
◇典例1：若分式 的值为零，则x的值是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
◆变式训练
1. 若分式的值为0，则x的值是　 　．
2.当x=　 　时，分式的值为零．
■考点五 分式的基本性质
◇典例1：下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（　　）
A．不变 B．是原来的3倍
C．是原来的 D．是原来的一半
2.下列各式与 相等的是（　　）
A． B．
C． D．
■考点六 分式的约分
◇典例1：分式 约分等于（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.化简的结果是（ ）．
A． B． C． D．
2.下列分式的约分，正确的是（ ）
A． B． C． D．
■考点七 分式的通分
◇典例1：分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
◆变式训练
1.将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（ ）
A． B． C． D．
2.把，，通分过程中，不正确的是（　　）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B．=
C．= D．=
■考点八 最简分式的识别
◇典例1：下列分式中，最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
2.分式、、、中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
■考点九 分式的乘除
◇典例1：下列计算不正确的题是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　)
A． B． C． D．
2.分式乘除运算：
（1） （2）
（3） （4）
■考点十 分式的加减法
◇典例1：计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.计算1的结果是（　　）
A． B． C． D．
2.计算下列各式：
(1)； (2)．
■考点十一 分式的乘方
◇典例1：计算： 　 　
◆变式训练
1.计算的结果是　 　．
2.计算：　 　．
■考点十二 分式的混合运算
◇典例1：化简：（1　 　．
◆变式训练
1.若代数式的化简结果为2x+2，则整式M为（　　）
A．﹣x B．x C．1﹣x D．x+1
2.计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
■考点十三 分式的化简求值---直接代入
◇典例1：先化简，再求值： 其中
◆变式训练
先化简，再求值：，其中．
先化简，再求值：，其中．
■考点十四 分式的化简求值---择值代入
◇典例1：先化简，再从的整数解中选取一个数代入求值．
◆变式训练
1.先化简再求值：，从，0，2，3中选择一个合适的数代入求值．
2.先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值．
■考点十五 分式的化简求值---整体代入求值
◇典例1：已知，求代数式的值．
◆变式训练
1.已知，求代数式的值.
2.已知，求下列各式的值．
（1）； （2）
■考点十六 分式的实际应用
◇典例1：在一块a hm2的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，要比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍
◆变式训练
1.（应用意识）甲、乙两个工程队合修一条长为1 500米的公路，已知甲工程队每天修( n2)米，乙工程队每天修(m-n)2米，工程完成后统计，甲工程队修了900米，乙工程队修了600米。
（1）甲工程队修路所用时间是乙工程队的多少倍
（2）当 时，求(1)中倍数的值
2.甲、乙两位采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料.其中，甲每次花费800元购买饲料，乙每次购买1000千克饲料，两次购买饲料的价格分别为 m元/千克和n元/千克.
（1）甲、乙两位采购员分别购买的饲料的平均单价为多少
（2）试判断甲与乙两位采购员哪位购买的平均饲料单价更高 请说明你的理由.
1．（2025·深圳三模）代数式成立的条件是(　　)
A． B． C． D．
2．（2025·四会模拟）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大到原来的2倍
C．扩大到原来的4倍 D．不能确定
3．（2025·龙湖模拟）计算的结果是（　　）
A．3 B． C．2 D．
4．（2025·庄浪模拟）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·广州）要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
6．（2024·阳新模拟） 当x=　 　时，分式的值为零．
7．（2025·连州模拟）化简：　 　．
8．（2025·南山模拟）吴广同学计算时，是这样做的：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
（1）吴广同学的做法从第______步开始出现错误，正确的计算结果是______．
（2）计算：．
9（2025·江门模拟）先化简，再代入求值：，其中．
10．（2025·番禺模拟）先化简，再求值：其中．
11．（2025·深圳模拟）先化简，再求值：，其中，，中选取一个合适的数代入求值．
1．（2025·崆峒模拟）计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·江北模拟）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·利州模拟）若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
4．（2025·广州模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
5．（2025·广州）求代数式的值，其中．
6．（2025·利州模拟）已知，求的值．
7．（2025·福田模拟）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
化简 解：原式① ② ③
（1）化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______．
（2）请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值．
8．（2025·深圳模拟）先化简，再求值：，其中．
9．（2025·连州模拟）计算：，其中满足方程．
10．（2025·坪山模拟）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值．
11．（2025·广州模拟）已知．
（1）化简P；
（2）若，求P的值．
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第一章 数与式
1.3 分 式
分 式 的 相 关 概 念与性质 分式 形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式. A叫做分子，B叫做分母. 注意事项： （1）π是数字，不是字母. （2）总结分子分母符号的判断 ①当分式的值为正时, A, B 同号. ②)当分式的值为负时,A,B 异号. ③约分的关键是寻找公因式. ④通分的关键是确定几个分式的最简公分母.
分式的有关 条件 1、分式有意义的条件：分式的分母不为0，即当B≠0时，分式有意义. 2、分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义． 3、分式的值为0的条件是：当 A = 0 且 B≠0 时，分式 的值为零.
分式的基本 性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. (其中A,B,C为整式,且C≠0)
约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分
最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式
通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分
分式的化简求值 分式的运算法则 符号 法则 分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中任何两个，分式的值不变
分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
分式的乘除法 乘法法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母， 用字母表示为
除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘， 用字母表示为
分式的乘方 分式乘方要把分子、分母分别乘方.用字母表示为 为整数)
混合运算 分式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序完全一样，注意运算结果要化为 最简分式或整式
分式 化简 求值 的一般步骤
■考点一　分式的概念
◇典例1：在下列式子中，属于分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、属于单项式，不符合题意；
B、是分式，符合题意；
C、是单项式，不符合题意；
D、是两个单项式组成的多项式，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】如果A、B（B不等于0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此逐项判断得出答案.
◆变式训练
1.在代数式x，，xy2，，，x2﹣中，分式共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：，，是分式，
故选：B．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
2.（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】【解答】解：，，这三个式子，分母不含字母，都不是分式；
，，，这四个式子，分母含字母，都是分式；
∴分式共有4个，
故选：B．
【分析】此题考查分式的定义，掌握分式的构成特点，特别是在分母中必须含有字母，即可正确判断．
形如的式子叫分式，其中A、B表示两个整式，B中含有字母，依此判断即可．
■考点二 分式有意义的条件
◇典例2：若分式有意义，则的取值范围是 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得，．
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
◆变式训练
1.若分式 有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≠1且x≠0
【解析】【解答】由题意得， ≠0，
解得x≠1或x≠0
故填：x≠1且x≠0.
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可.
2.（24-25八年级下·山西晋城·期末）下列分式中，有意义的条件为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、要使分式有意义，则，即，故符合题意；
B、要使分式有意义，则，即，故不符合题意；
C、要使分式有意义，则，即，故不符合题意；
D、要使分式有意义，则，即，故不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零的条件进行解题即可．
■考点三 分式无意义的条件
◇典例3：若分式无意义，则实数x的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵分式无意义，
∴，
解得，
故选：B．
【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分式无意义分母等于零列式求解即可．
◆变式训练
1.若分式无意义，则x的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵分式无意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式无意义的条件是分母为0，求出作答即可.
2.若分式无意义，则的取值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得∶，
解得：．
故答案为：
【分析】根据分式值有无意义的条件即可求出答案.
■考点四 分式的值为0
◇典例1：若分式 的值为零，则x的值是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
【答案】C
【解析】【解答】∵|x|﹣2＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，x﹣2＝0，分式无意义.
当x＝﹣2时，x﹣2≠0，
∴当x＝﹣2时分式的值是0.
故答案为：C.
【分析】分式的值为0，则分母不为0，分子为0.
◆变式训练
1. 若分式的值为0，则x的值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：分式的值为零的条件是分子为0，分母不为0，
∴，，
解得：x=-2，x≠1，
因此， 分式的值为0 ，x的值是-2，
故答案为：．
【分析】根据分式的值为零的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0可以求出的值即可得出答案.
2.当x=　 　时，分式的值为零．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为零，
∴1-|x|=0，即x=1或-1，
又∵1-x≠0，
∴x≠1，
∴x=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据分式的值为零的条件，得到1-|x|=0且1-x≠0，即可得到答案.
■考点五 分式的基本性质
◇典例1：下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．，A选项变形不正确，A不符合题意；
B．，B选项变形不正确，B不符合题意；
C．，C选项变形正确，C符合题意；
D．，D选项变形不正确，D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变逐项判断即可得出答案.
◆变式训练
1.若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（　　）
A．不变 B．是原来的3倍
C．是原来的 D．是原来的一半
【答案】C
【解析】【解答】解：分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值原来的，
故选：C．
【分析】根据分式的基本性质即可解答.
2.下列各式与 相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 ，与原式不相等，故不符合题意；
B、 ，故符合题意；
C、已化简为最简，与原式不相等，故不符合题意；
D、 ，与原式不相等，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据分式乘方法则的逆用判断出A选项是将题干中式子完全平方的结果，从而即可判断A选项；将B选项分式分子、分母因式分解，接着约分化简即可判断此选项；C选项中的分式已经是最简分式，可以直接判断；将D选项中的分子的负号放到分式本身去即可判断此选项.
■考点六 分式的约分
◇典例1：分式 约分等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ．
故选D．
【分析】先将分式的分子与分母因式分解，再约去它们的公因式，即可求解．
◆变式训练
1.化简的结果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】本题考查了分式的约分，解题关键是掌握分式的约分．直接根据分式的约分法则进行约分．
2.下列分式的约分，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算正确，符合题意；
B、不能约分，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查了约分，根据分式约分的法则逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
■考点七 分式的通分
◇典例1：分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
【答案】C
【解析】【解答】解：
故选C．
【分析】分式的分母a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解．
◆变式训练
1.将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】．
故选：A．
【分析】先根据最简公分母是，将分式变为，分子和分母都乘以，即可得出答案．
2.把，，通分过程中，不正确的是（　　）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B．=
C．= D．=
【答案】D
【解析】【解答】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确；
B、=，通分正确；
C、=，通分正确；
D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）=2x﹣4；
故选：D．
【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．
■考点八 最简分式的识别
◇典例1：下列分式中，最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式；
B： ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式；
C： ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式；
D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式；
故选：D
【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断；
◆变式训练
1.下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分。判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分。
【解答】A、，不是最简分式，故本选项错误；
B、，是最简分式，故本选项正确；
C、，不是最简分式，故本选项错误；
D、 ，不是最简分式，故本选项错误；
故选B。
【点评】判断的关键是正确对分式的分子，分母进行因式分解．
2.分式、、、中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式；
的分子、分母有公因式，故不是最简分式，
的分子、分母没有公因式，故是最简分式；
的分子、分母有公因式，故不是最简分式，
故最简分式有2个，
故选：B．
【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可．
■考点九 分式的乘除
◇典例1：下列计算不正确的题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【分析】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意；
B、，原计算正确，本选项不符合题意；
C、，原计算错误，本选项符合题意；
D、，原计算正确，本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案．
◆变式训练
1.若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】解：设“口”中的式子为，
原式
，
所以当时，
原式1，结果为整式．
故选：C．
【分析】本题考查了分式的除法运算；设“□”中的式子为，把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案．
2.分式乘除运算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
（3）解：原式
（4）解：原式
．
【解析】【分析】（1）直接利用分式的乘法运算法则得，约分得计算即可.
（2）先将除法变成乘法得，再利用分式的乘法运算法则得，计算即可.
（3）先对各分式的分子分母进行因式分解得，再利用分式的乘法运算法则计算
即可.
（4）先将除法变成乘法，同时对各分式的分子分母进行因式分解得，再利用分式的乘法运算法则计算即可.
■考点十 分式的加减法
◇典例1：计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】解：
，
故选：A．
【分析】利用通分，约分计算即可．
本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
◆变式训练
1.计算1的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】解：原式
，
故选：D．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
2.计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了分式的加减法，把异分母分式化为同分母是关键．
（1）把异分母分式化为同分母分式进行减法计算即可；
（2）把异分母分式化为同分母分式进行加法计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
■考点十一 分式的乘方
◇典例1：计算： 　 　
【答案】
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】分式的乘方，分子、分母都需要乘法运算.
◆变式训练
1.计算的结果是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据分式的乘法，结合乘方性质即可求出答案.
2.计算：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题考查了分式的混合运算，先利用负整数指数幂将进行化简，同时将分式除法转化为乘法，最后由分式的乘方以及乘法法则进行计算.
■考点十二 分式的混合运算
◇典例1：化简：（1　 　．
【答案】．
【解析】【解答】解：(1+)÷
=
=
=，
故答案为：.
【分析】先将括号中两项通分相加，同时利用除法法则变形，再对分子分母因式分解，最后约分即可得到结果．
◆变式训练
1.若代数式的化简结果为2x+2，则整式M为（　　）
A．﹣x B．x C．1﹣x D．x+1
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：
M＝（2x+2）
＝2（x+1）
＝x，
故选：B．
【分析】由题意得：M＝（2x+2） ，然后进行计算即可解答．
2.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：
=
=
=
=
（3）解：
=
=
=
（4）解：
=
=
=
【解析】【分析】 (1)根据同分母分式的加法法则分母不变分子相减，再约分化简；
（2）异分母分式减法先通分化为同分母分式再相减；
（3）分式的混合计算先算分式的乘方，分子分母分别乘方，把分式的除法转化为乘法，颠倒除式的分子分母的位置相乘，约分计算
（4） 含有括号先算括号内的异分母分式，通分化成同分母分式相加，再算括号外的除法，除式分子分母先进行因式分解化简，将除法转化为乘法进行计算。
■考点十三 分式的化简求值---直接代入
◇典例1：先化简，再求值： 其中
【答案】解：
当 时，
原式
【解析】【分析】 先把括号内的2写成分母是a的分式，再根据同分母分式相加法则计算括号里面的，再把除式的分子分解因式，除法写成乘法进行约分，最后把a的值代入化简后的式子进行计算即可.
◆变式训练
1.先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】【分析】 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
2.先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，
原式
【解析】【分析】
先用因式分解法分解分子分母得到，再通分计算括号里得到，然后进行分式的乘除，约分计算得到；最后把值代入计算，再分母有理化，计算即可解答.
■考点十四 分式的化简求值---择值代入
◇典例1：先化简，再从的整数解中选取一个数代入求值．
【答案】解：∵，为整数，∴，，，
；
∵分式有意义，
∴，，，
∴，
原式．
【解析】【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解约去公因式，从而得到最简形式。然后 根据绝对值不等式确定x的整数解范围，再结合原式中分母不能为0的条件，排除不符合要求的值，确定可以代入求值的x的值。最后将符合条件的
x的值分别代入化简后的式子，计算出最终结果即可．
◆变式训练
1.先化简再求值：，从，0，2，3中选择一个合适的数代入求值．
【答案】解：
，
可知，，，所以选择，
此时原式．
【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值．
先将括号里的式子通分，计算减法，再将除法转化为乘法约分化简，最后将符合要求的x的值代入化简结果计算即可．
2.先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】解：
，
当时，原式无意义，
当时，原式无意义，
当时，原式．
当时，原式．（0与选一个代入求值即可）
【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先化简分式，再将使分式有意义的值代入求值即可．
■考点十五 分式的化简求值---整体代入求值
◇典例1：已知，求代数式的值．
【答案】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【解析】【分析】先对括号内的式子进行通分可得：，再根据平方差公式分解可得：，然后根据除法运算法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，将除法转换为乘法后并约分可得x(x 2)=x2 2x，对x2 2x 5=0进行移项，得到x2 2x=5，据此可得出答案。
◆变式训练
1.已知，求代数式的值.
【答案】解：
∵
∴
∴原式=
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，由题意可得，再整体代入即可求出答案.
2.已知，求下列各式的值．
（1）； （2）
【答案】（1）解：∵，∴，
；
（2）解：．
【解析】【分析】本题考查的是二次根式的差积运算、分式的通分变形以及分母有理化．
（1）先根据题意得出与的值，代入代数式进行计算，计算时可以利用平方差公式计算；
（2）将（2）中的题目通分变形，然后将（1）中已求的与的值代入，避免单独计算x2，y2 .
（1）解：∵，
∴，
；
（2）解：．
■考点十六 分式的实际应用
◇典例1：在一块a hm2的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，要比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍
【答案】解：由题意可得：
一台插秧机的工作效率为，一个人的工作效率为
∴
∴一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的倍
【解析】【分析】分别求出插秧机和一个人的工作效率，再根据分式的除法即可求出答案.
◆变式训练
1.（应用意识）甲、乙两个工程队合修一条长为1 500米的公路，已知甲工程队每天修( n2)米，乙工程队每天修(m-n)2米，工程完成后统计，甲工程队修了900米，乙工程队修了600米。
（1）甲工程队修路所用时间是乙工程队的多少倍
（2）当 时，求(1)中倍数的值
【答案】（1）解： 由题意得
故甲工程队修路所用时间是乙工程队的 倍.
（2）解：当 时，
，
故(1)中倍数的值为
【解析】【分析】（1）表示甲、乙工程队所用时间，然后求商计算倍数即可；
（2）根据题意得到然后代入化简即可.
2.甲、乙两位采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料.其中，甲每次花费800元购买饲料，乙每次购买1000千克饲料，两次购买饲料的价格分别为 m元/千克和n元/千克.
（1）甲、乙两位采购员分别购买的饲料的平均单价为多少
（2）试判断甲与乙两位采购员哪位购买的平均饲料单价更高 请说明你的理由.
【答案】（1）解：由题意得，甲采购员两次购买饲料的平均单价 (元/千克)，乙采购员两次购买饲料的平均单价 (元/千克)
（2）解：乙采购员购买的平均饲料单价更高.理由如下：
即乙采购员购买的平均饲料单价更高.
【解析】【分析】（1） 本题根据平均单价等于总费用除以总重量；表示出甲的2次总费用为 800 × 2 = 1600 元，甲总重量为千克 ，用甲的总费用除以甲的总重量求出甲的平均单价；表示出乙的2次总费用为1000 m + 1000 n = 1000 ( m + n )元，乙总重量为1000+1000=2000（千克） ，用乙的总费用除以乙的总重量求出甲的平均单价.
（2）用作差法比较分式的大小，先通分再相减，比较分式的值与零的大小.
1．（2025·深圳三模）代数式成立的条件是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：代数式成立的条件为，
∴，
解得：-1＜x≤3
故答案为：D.
【分析】代数式成立的条件要代数式有意义，分母不能为零，这样二次根式x+1>0，分子有意义3-x≥0，在求出不等式的解集.
2．（2025·四会模拟）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大到原来的2倍
C．扩大到原来的4倍 D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：，
分式的值扩大到原来的2倍；
故答案为：B
【分析】根据分式的基本性质：分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的结果不变，然后再根据题干中给出的条件，对分式进行运算，即可求解.
3．（2025·龙湖模拟）计算的结果是（　　）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：；
故选A．
【分析】根据同分母分式加法法则“ 分母不变，分子相加减， ”计算即可．
4．（2025·庄浪模拟）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】先算乘方，再算分式的除法即可求解.
5．（2025·广州）要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】且
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：且
故答案为：且
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可求出答案.
6．（2024·阳新模拟） 当x=　 　时，分式的值为零．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为零，
∴1-|x|=0，即x=1或-1，
又∵1-x≠0，
∴x≠1，
∴x=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据分式的值为零的条件，得到1-|x|=0且1-x≠0，即可得到答案.
7．（2025·连州模拟）化简：　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：，
故答案为：4．
【分析】
由于两分式的分母互为相反数，可把原分式转化为同分母的分式减法，再对分子分解因式并约分即可．
8．（2025·南山模拟）吴广同学计算时，是这样做的：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
（1）吴广同学的做法从第______步开始出现错误，正确的计算结果是______．
（2）计算：．
【答案】（1）二，
（2）解：
．
【解析】【解答】（1）解：
，
吴广同学的做法从第二步开始出现错误，正确的计算结果是，
故答案为：（1）二，。
【分析】本题考查了分式的化简步骤，需要运用平方差公式等相关知识。
（1）观察吴广同学的计算步骤发现，第一步是利用交换律将前面的2和a进行交换，而第二步直接去掉分母，显然错误，因此第二步步骤为“通分”，然后分子进行合并加减计算，即可求出正确答案；
（2）将（x-1）看做整体，然后通分，并利用平方差公式进行计算与合并计算，即可得到答案．
（1）解：
，
吴广同学的做法从第二步开始出现错误，正确的计算结果是，
故答案为：二，；
（2）解：
．
9（2025·江门模拟）先化简，再代入求值：，其中．
【答案】解：原式
，
∴当时，原式．
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内的分式进行通分，利用完全平方公式将括号外的分式进行整理，然后将分式除法转化为乘法进行化简，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
10．（2025·番禺模拟）先化简，再求值：其中．
【答案】解：原式
；
∵，
∴原式
【解析】【分析】先对分式中的各个分式利用完全平方公式和平方差公式进行分解，然后再将除法换算成乘法，再进行化简约分，最后再将 代入上述化简后的式子，即可求解．
11．（2025·深圳模拟）先化简，再求值：，其中，，中选取一个合适的数代入求值．
【答案】解：原式
，
；；
，，，
当时，
原式。
【解析】【分析】先对括号里面的分式进行通分运算，然后再对除号后面的分式根据平方差公式进行分解，再将除法换算成乘法，再进行约分化简，然后再根据分式的意义，确定a的值，然后再将a的值代入化简后的分式中，即可求解。
1．（2025·崆峒模拟）计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】根据异分母分式的加减运算法则，先通分，再把分子相加减即可。
2．（2025·江北模拟）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据可得，再利用分式的减法计算方法求解即可。
3．（2025·利州模拟）若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≠-2.
【解析】【解答】∵分式 在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠-2，
则x的取值范围是：x≠-2.
【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围.
4．（2025·广州模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】先根据分式在实数内有意义的条件：分母不能为0；再根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，综合以上两个条件，可知，该分式要在实数内有意义，只需要被开方数2x+5大于0，据此即可求解。
5．（2025·广州）求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式
．
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
6．（2025·利州模拟）已知，求的值．
【答案】解：∵分式要有意义，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【解析】【分析】由分式有意义的条件得到，得到，再将代入化简解答即可．
7．（2025·福田模拟）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
化简 解：原式① ② ③
（1）化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______．
（2）请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值．
【答案】（1）①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则
（2）解：原式，
，
当时，原式．
【解析】【解答】（1）解：从第①步开始出现错误，未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
故答案为：①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
【分析】本题主要对分式的混合运算，分式的化简求值进行考查．
（1）按照混合运算的运算顺序：先乘除后加减，对各步骤进行查验，第①步先进行了加减运算，为遵守运算法则；
（2）对原式进行化简计算，优先计算乘除，，所以原式，带入，原式．
（1）解：从第①步开始出现错误，
未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
故答案为：①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
（2）解：原式，
，
当时，原式．
8．（2025·深圳模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式=()
=
=
代入得：原式=
【解析】【分析】通分后再计算分式乘法，化简得结果，再将a的值代入即可.
9．（2025·连州模拟）计算：，其中满足方程．
【答案】解：
解方程
．
．
当时，原式．
【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程、分式的化简求值和分式有意义的条件．先求一元二次方程的根，再化简分式，结合分式有意义的条件得到x的值，再代入化简计算即可．
10．（2025·坪山模拟）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值．
【答案】解：原式
，
∵，
∴，0，1，2中，只有符合题意，
当时，原式
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简；然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
11．（2025·广州模拟）已知．
（1）化简P；
（2）若，求P的值．
【答案】（1）解：
.
（2）解：∵，
∴，
∴P.
【解析】【分析】（1）先因式分解，再算括号内的减法，把除法变成乘法，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再代入计算求解即可.
（1）解：
（2）∵，
∴，
∴P
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