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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.1.1 四边形及其内角和
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
学习目标
1.了解四边形的概念及四边形的边、顶点、对角线、
内角与外角．
2. 探索并掌握四边形的内角和与外角和，提升推理能力．
3.了解四边形的不稳定性及其在生活中的一些应用．
新课导入
说一说在生活中，你在哪些地方见到过四边形的形象？
新课导入
三角形
相关定义
分类
性质
判定
相关定义
分类
性质
判定
？
探索新知
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.
三角形 四边形
概念 由不在同一条直线上的三条线 段首尾顺次相接所组成的图形 叫作三角形
边 组成三角形的线段 叫作三角形的边
顶点 相邻两边的公共端点 叫作三角形的顶点
图形及记法
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
组成_______的各条线段叫作
四边形的边
每相邻两条_____________　
叫作四边形的顶点
A
B
C
D
记作：_____________
记作：△ABC
线段的公共端点　
四边形
四边形 ABCD
找出下面的四边形.
×
√
×
×
A
C
B
D
记作：
四边形 ACBD
四边形 ADBC
ps：字母必须按顺时针或逆时针的方向排列.
这两个四边形有什么不同？
A
A
B
C
D
B
C
D
四边形 ABCD 都在
直线 CD 的同一侧，
也都在直线 AB，
BC，AD 的同一侧.
四边形 ABCD 不都在直线 CD（或 BC）的同一侧.
如左图，画出四边形 ABCD 的任何一条边（例如 CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
凸四边形
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
A
B
C
D
连接 AC 和 BD，你能发现什么？
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.
AC 将四边形分为 _______ 和 _______ .
BD 将四边形分为 _______ 和 _______ .
△ABC
△ACD
△BDA
△BDC
A
B
C
D
请在图中分别画出四边形 ABCD 顶点 A，C 处的内角和外角.
与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
内角
我们知道，三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
180°
？
360°
思考
材料准备：剪刀、量角器等.
活动1 分别剪下一些形状不同、大小不同的四边形，测量每一个内角的度数，并计算出四边形的内角和.
A
B
C
D
O
观察猜想
根据测量的结果，你有什么猜想？
猜想：四边形的内角和都是360°.
你能证明吗？
四边形 ABCD 的内角和 = _______________ + _______________
A
B
C
D
1
2
3
4
如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形.
四边形
三角形
转化
△ABC 的内角：
△ACD 的内角：
∠1、∠B、∠3
∠2、∠D、∠4
△ABC 的内角和
△ACD 的内角和
A
B
C
D
1
2
3
4
如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形.
在△ABC 中，由三角形内角和定理，得
∠1 + ∠B + ∠3 = 180°.
同理∠2 + ∠4 + ∠D = 180°.
由此可得
∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠D
= ∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D
=（∠1 + ∠B + ∠3）+（∠2 + ∠4 + ∠D）
= 180°+ 180° = 360°.
四边形
三角形
转化
四边形的内角和等于 360°
例 1
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？
活动2 画出四边形的外角，并计算出四边形的外角和.
根据测量的结果，你有什么猜想？请证明你的猜想是否正确。
例 1
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？
内角+其邻补角=180°
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为 4 × 180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
解：如图.
∵∠DAB 与∠1 是邻补角，
∴∠DAB + ∠1 = 180°.
同理∠ABC + ∠2 = 180°，∠BCD + ∠3 = 180°，
∠CDA + ∠4 = 180°.
∴∠DAB + ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BCD + ∠3 + ∠CDA + ∠4 = 720°.
而∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.
四边形的外角和等于 360°
返回
1．下列平面图形中，不属于凸四边形的是(　　)
B
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2．如图，若∠A＝130°，∠B＝100°，∠C＝∠D＝x°，则x的值是(　　)
A．60　
B．65　
C．75　
D．130
B
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3．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务．如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了________________．
四边形的不稳定性
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4．如图，在四边形ABCD中，∠1＋∠2＋∠3＝320°，则∠D的度数为________．
140°
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5．[2025莆田期中]如图，以四边形的各顶点为圆心画半径为2的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分(阴影部分)的面积之和记为S，则S的值为________(结果保留π)．
4π
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6．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E＝(　　)
A．280°
B．260°
C．240°
D．220°
A
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，∠A与∠1，∠2之间保持一种数量关系始终不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(　　)
A．∠A＝∠1－2∠2
B．∠A＝2∠1－∠2
C．2∠A＝2∠1－∠2
D．2∠A＝∠1－∠2
【点拨】如图，设AE，CD交于点F.∵∠CFE＝360°－∠B－∠C－∠1，∠AFD＝180°－∠2－∠A，∠CFE＝∠AFD，∴360°－∠B－∠C－∠1＝180°－∠2－∠A，即360°－(∠B＋∠C)－∠1＝180°－∠2－∠A.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－∠A.∴360°－(180°－
∠A)－∠1＝180°－∠2－∠A，整理，得
180°＋∠A－∠1＝180°－∠2－∠A，
即2∠A＝∠1－∠2.
【答案】D
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8．[2025廊坊一模]学校有一块四边形试验田，分割成甲，乙两块，由图可知，x－y＝________．
0°
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【点拨】如图所示，∠EDG＝180°－75°＝105°，∠DGF＝180°－x.
在四边形DEFG中，∠EDG＋∠E＋∠F＋∠FGD＝360°，即105°＋y＋75°＋180°－x＝360°.∴x－y＝0°.
9．(1)如图①，∠1，∠2都是四边形ABCD的外角，试探究，∠1，∠2与∠A，∠B之间的数量关系；
【解】∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°，
∴∠A＋∠B＝360°－(∠BCD＋∠ADC)．
∵∠1＋∠ADC＝180°，∠2＋∠BCD＝180°，
∴易得∠1＋∠2＝360°－(∠BCD＋∠ADC)．
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠B.
(2)用你发现的结论解决下列问题：如图②，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．
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四边形的内角和等于 360°
几何语言：
在四边形 ABCD 中，
∴∠A +∠B +∠C +∠D = 360°.
A
B
C
D
四边形的外角和等于 360°
在四边形 ABCD 中，
∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°.
谢谢观看！

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