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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.1.1 四边形及其内角和
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
新课导入
三角形
相关定义
分类
性质
判定
相关定义
分类
性质
判定
？
21.1.1 四边形及其内角和 教学过程幻灯片内容
幻灯片1：情境导入——认识生活中的四边形
1. 展示生活实景图：教室窗户、课桌椅桌面、地砖、伸缩门、自行车车架等，引导学生观察：“这些物体的表面都呈现出什么共同的图形特征？”
2. 学生自由发言后，教师小结：“这些图形都是由四条线段围成的封闭图形，今天我们就一起来系统学习——四边形及其内角和。”（板书课题）
3. 提问引导思考：“你还能说出生活中哪些四边形的例子？这些四边形看起来形状各不相同，它们有哪些共同的基本特征呢？”
幻灯片2：探究新知1——四边形的定义与基本特征
1. 动手操作：请学生在练习本上画一个自己认识的四边形，同桌之间互相观察，讨论：“你画的四边形由什么组成？有几个顶点、几条边、几个角？”
2. 概念总结：结合学生发言，教师明确四边形的定义——由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做四边形。强调“不在同一直线”“首尾顺次相接”“封闭”三个关键条件。
3. 基本要素梳理：通过课件标注四边形的顶点、边、角，明确四边形有4个顶点、4条边、4个内角（简称“四角”）。
4. 即时判断：展示一组图形（包含封闭四边形、不封闭的四条线段、五条边的图形、四条线段但未首尾顺次相接的图形），让学生判断哪些是真正的四边形，巩固定义理解。
幻灯片3：探究新知2——四边形内角和的猜想
1. 复习旧知：提问“我们已经学过哪些基本图形的内角和？”（三角形内角和是180°），引导学生思考：“四边形的内角和会是多少呢？”
2. 初步猜想：请学生观察手中的长方形、正方形，提问“长方形和正方形的每个内角都是多少度？它们的内角和是多少？”（90°×4=360°）。引导学生猜想：“是不是所有四边形的内角和都是360°呢？”
3. 明确探究任务：“接下来我们就通过动手操作，验证这个猜想是否成立。”
幻灯片4：探究新知3——验证四边形内角和（小组合作）
1. 布置探究任务：请各小组选择不同形状的四边形（平行四边形、梯形、不规则四边形），通过剪拼、分割等方法，探究其内角和。提供两种思路参考：
思路1：剪拼法——将四边形的四个内角剪下来，拼一拼，看能否拼成一个已知内角和的图形（如周角）；
思路2：分割法——在四边形内部画一条对角线，将四边形分成两个三角形，利用三角形内角和推导四边形内角和。
2. 小组活动：学生动手操作，教师巡视指导，提醒学生记录操作过程和结果。
3. 成果展示：邀请2-3个小组分享探究过程：
剪拼法小组：展示拼出的周角（360°），说明“四边形四个内角拼在一起是周角，所以内角和是360°”；
分割法小组：展示对角线分割的图形，讲解“一条对角线把四边形分成2个三角形，每个三角形内角和180°，所以四边形内角和=180°×2=360°”。
幻灯片5：探究新知4——总结四边形内角和定理
1. 定理归纳：结合各小组验证结果，教师明确：任意四边形的内角和都是360°（板书定理）。
2. 方法优化：对比剪拼法和分割法，提问“哪种方法更简便、更具普遍性？”强调分割法的优势——无需剪拼，通过图形转化即可推导，适用于所有四边形。
3. 拓展思考：“如果在四边形内部画两条对角线，分成4个三角形，能推导内角和吗？”（引导学生发现：4个三角形内角和总和减去中间周角，仍得360°，进一步验证定理）。
幻灯片6：巩固应用1——基础题型练习
1. 例题1：已知一个四边形的三个内角分别是80°、100°、120°，求第四个内角的度数。
解题步骤：引导学生回忆四边形内角和定理，列出算式：360°-80°-100°-120°=60°，强调计算过程的规范性。
2. 练习1：一个平行四边形的一个内角是60°，求其他三个内角的度数。（提示：平行四边形对边平行，同旁内角互补）
3. 练习2：一个梯形的两个底角分别是70°和80°，如果它是等腰梯形，求另外两个内角的度数。
学生独立完成后，同桌互查，教师随机抽查并讲解解题思路。
幻灯片7：巩固应用2——综合拓展练习
1. 判断题：
（1）任意四边形的内角和都是360°（√）；
（2）一个四边形中最多有3个钝角（√，提示：钝角＞90°，3个钝角和＞270°，第四个角＜90°，符合条件）；
（3）四边形的内角和是三角形内角和的2倍（√，180°×2=360°）。
2. 思考题：一个多边形从一个顶点出发可以分成3个三角形，这个多边形是几边形？它的内角和是多少？（引导学生推导：分成n个三角形的多边形是n+2边形，内角和180°×n，本题为五边形，内角和540°）
小组讨论后，教师引导学生建立“分割法”与多边形内角和的初步关联，为后续学习铺垫。
幻灯片8：课堂小结
1. 知识梳理：师生共同回顾本节课核心内容：
（1）四边形的定义：不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形；
（2）四边形的基本要素：4个顶点、4条边、4个内角；
（3）核心定理：任意四边形内角和是360°；
（4）探究方法：剪拼法、分割法（转化思想：将四边形转化为三角形解决问题）。
2. 感悟提升：引导学生总结“转化思想”的重要性——当遇到未知问题时，可将其转化为已知的、熟悉的问题来解决。
3. 课后思考：“五边形、六边形的内角和是多少呢？能不能用今天学的分割法推导出来？”
探索新知
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.
三角形 四边形
概念 由不在同一条直线上的三条线 段首尾顺次相接所组成的图形 叫作三角形
边 组成三角形的线段 叫作三角形的边
顶点 相邻两边的公共端点 叫作三角形的顶点
图形及记法
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
组成_______的各条线段叫作
四边形的边
每相邻两条_____________　
叫作四边形的顶点
A
B
C
D
记作：_____________
记作：△ABC
线段的公共端点　
四边形
四边形 ABCD
找出下面的四边形.
×
√
×
×
A
C
B
D
记作：
四边形 ACBD
四边形 ADBC
ps：字母必须按顺时针或逆时针的方向排列.
这两个四边形有什么不同？
A
A
B
C
D
B
C
D
四边形 ABCD 都在
直线 CD 的同一侧，
也都在直线 AB，
BC，AD 的同一侧.
四边形 ABCD 不都在直线 CD（或 BC）的同一侧.
如左图，画出四边形 ABCD 的任何一条边（例如 CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
凸四边形
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
A
B
C
D
连接 AC 和 BD，你能发现什么？
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.
AC 将四边形分为 _______ 和 _______ .
BD 将四边形分为 _______ 和 _______ .
△ABC
△ACD
△BDA
△BDC
A
B
C
D
请在图中分别画出四边形 ABCD 顶点 A，C 处的内角和外角.
与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
内角
我们知道，三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
180°
？
360°
思考
材料准备：剪刀、量角器等.
活动1 分别剪下一些形状不同、大小不同的四边形，测量每一个内角的度数，并计算出四边形的内角和.
A
B
C
D
O
观察猜想
根据测量的结果，你有什么猜想？
猜想：四边形的内角和都是360°.
你能证明吗？
四边形 ABCD 的内角和 = _______________ + _______________
A
B
C
D
1
2
3
4
如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形.
四边形
三角形
转化
△ABC 的内角：
△ACD 的内角：
∠1、∠B、∠3
∠2、∠D、∠4
△ABC 的内角和
△ACD 的内角和
A
B
C
D
1
2
3
4
如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形.
在△ABC 中，由三角形内角和定理，得
∠1 + ∠B + ∠3 = 180°.
同理∠2 + ∠4 + ∠D = 180°.
由此可得
∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠D
= ∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D
=（∠1 + ∠B + ∠3）+（∠2 + ∠4 + ∠D）
= 180°+ 180° = 360°.
四边形
三角形
转化
四边形的内角和等于 360°
例 1
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？
活动2 画出四边形的外角，并计算出四边形的外角和.
根据测量的结果，你有什么猜想？请证明你的猜想是否正确。
例 1
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？
内角+其邻补角=180°
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为 4 × 180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
解：如图.
∵∠DAB 与∠1 是邻补角，
∴∠DAB + ∠1 = 180°.
同理∠ABC + ∠2 = 180°，∠BCD + ∠3 = 180°，
∠CDA + ∠4 = 180°.
∴∠DAB + ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BCD + ∠3 + ∠CDA + ∠4 = 720°.
而∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.
四边形的外角和等于 360°
返回
1．下列平面图形中，不属于凸四边形的是(　　)
B
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2．如图，若∠A＝130°，∠B＝100°，∠C＝∠D＝x°，则x的值是(　　)
A．60　
B．65　
C．75　
D．130
B
返回
3．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务．如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了________________．
四边形的不稳定性
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4．如图，在四边形ABCD中，∠1＋∠2＋∠3＝320°，则∠D的度数为________．
140°
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5．[2025莆田期中]如图，以四边形的各顶点为圆心画半径为2的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分(阴影部分)的面积之和记为S，则S的值为________(结果保留π)．
4π
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6．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E＝(　　)
A．280°
B．260°
C．240°
D．220°
A
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，∠A与∠1，∠2之间保持一种数量关系始终不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(　　)
A．∠A＝∠1－2∠2
B．∠A＝2∠1－∠2
C．2∠A＝2∠1－∠2
D．2∠A＝∠1－∠2
【点拨】如图，设AE，CD交于点F.∵∠CFE＝360°－∠B－∠C－∠1，∠AFD＝180°－∠2－∠A，∠CFE＝∠AFD，∴360°－∠B－∠C－∠1＝180°－∠2－∠A，即360°－(∠B＋∠C)－∠1＝180°－∠2－∠A.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－∠A.∴360°－(180°－
∠A)－∠1＝180°－∠2－∠A，整理，得
180°＋∠A－∠1＝180°－∠2－∠A，
即2∠A＝∠1－∠2.
【答案】D
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8．[2025廊坊一模]学校有一块四边形试验田，分割成甲，乙两块，由图可知，x－y＝________．
0°
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【点拨】如图所示，∠EDG＝180°－75°＝105°，∠DGF＝180°－x.
在四边形DEFG中，∠EDG＋∠E＋∠F＋∠FGD＝360°，即105°＋y＋75°＋180°－x＝360°.∴x－y＝0°.
9．(1)如图①，∠1，∠2都是四边形ABCD的外角，试探究，∠1，∠2与∠A，∠B之间的数量关系；
【解】∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°，
∴∠A＋∠B＝360°－(∠BCD＋∠ADC)．
∵∠1＋∠ADC＝180°，∠2＋∠BCD＝180°，
∴易得∠1＋∠2＝360°－(∠BCD＋∠ADC)．
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠B.
(2)用你发现的结论解决下列问题：如图②，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．
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四边形的内角和等于 360°
几何语言：
在四边形 ABCD 中，
∴∠A +∠B +∠C +∠D = 360°.
A
B
C
D
四边形的外角和等于 360°
在四边形 ABCD 中，
∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°.
谢谢观看！

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