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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.1.2 多边形及其内角和
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1. 了解多边形的概念及相关要素．
2. 探索并掌握多边形的内角和与外角和公式，
提升推理能力．
新课导入
多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些几何图形的形象吗？它们都分别是什么图形？
五边形
六边形
八边形
多边形
21.1.2 多边形及其内角和 教学过程幻灯片内容
第1页：情境导入——唤醒旧知，引发思考
1. 回顾旧知：同学们，我们已经系统学习了三角形，谁能准确说出三角形的内角和是多少度？我们通过哪些方法验证过这个结论呢？（引导学生回答：180°，可通过测量、剪拼、推理证明得出）
2. 情境感知：展示生活中的多边形实例图片（蜂巢、地板砖、螺母、教学楼轮廓等），提问：“这些物体的表面呈现出哪些我们熟悉的图形？它们与三角形有什么相同点和不同点？”
3. 引出课题：从图片中抽象出四边形、五边形、六边形等平面图形，指出这类由线段围成的封闭图形统称为多边形。追问：“三角形内角和是180°，那四边形、五边形的内角和是多少呢？不同边数的多边形内角和是否存在规律？今天我们就共同探究这个问题——多边形及其内角和。”
第2页：新知探究一——多边形的相关概念
1. 概念构建：结合抽象出的图形，引导学生观察总结多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。强调关键词：平面内、线段、首尾顺次相接、封闭。
2. 要素辨析：类比三角形的相关概念，介绍多边形的边、顶点、内角、外角等要素。通过图形标注演示：组成多边形的线段是边，相邻边的公共端点是顶点，相邻两边组成的角是内角，边与邻边延长线组成的角是外角。
3. 特殊概念：① 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，展示四边形对角线画法，提问：“从四边形一个顶点能画几条对角线？” ② 正多边形：明确各边相等、各内角相等的多边形是正多边形，举例正三角形、正方形、正五边形。
4. 概念辨析：展示非多边形图形（不封闭、边相交、曲线组成），让学生判断并说明理由，强化对多边形定义的理解。
第3页：新知探究二——多边形内角和的探究（从特殊到一般）
1. 探究四边形内角和：① 动手操作：请同学们用准备的四边形纸片，通过测量内角求和、剪拼内角拼合、连接对角线分割等方法，尝试求出内角和。② 成果分享：邀请学生展示方法，重点讲解对角线分割法——连接四边形一条对角线，将其分成2个三角形，因为三角形内角和180°，所以四边形内角和=2×180°=360°。③ 提炼思想：强调“转化思想”，即将未知的多边形问题转化为已知的三角形问题。
2. 探究五边形、六边形内角和：① 小组合作：用对角线分割法探究五边形、六边形内角和，完成表格填写：
多边形边数 | 从一个顶点引对角线条数 | 分成三角形个数 | 内角和
4（四边形） | 1 | 2 | 2×180°
5（五边形） | 2 | 3 | 3×180°
6（六边形） | 3 | 4 | 4×180°
② 汇报交流：各小组分享探究结果，教师板书整理，引导学生观察数据规律。
第4页：新知归纳——n边形内角和定理
1. 规律推导：引导学生思考：“从表格数据看，多边形边数n与从一个顶点引的对角线条数、分成的三角形个数有什么关系？” 总结得出：从n边形一个顶点引的对角线条数为（n-3）条，能将n边形分成（n-2）个三角形。
2. 定理总结：因为每个三角形内角和是180°，所以n边形内角和=（n-2）×180°（n≥3，且n为整数）。强调n的取值范围，解释“n≥3”的原因是多边形至少由3条边组成。
3. 即时验证：用定理验证三角形、四边形内角和，确认：当n=3时，（3-2）×180°=180°；n=4时，（4-2）×180°=360°，与已知结论一致，增强定理的可信度。
第5页：例题讲解——巩固定理应用
例1：求八边形的内角和。 解：根据n边形内角和公式（n-2）×180°，当n=8时，（8-2）×180°=6×180°=1080°。 答：八边形的内角和是1080°。 讲解要点：规范解题步骤，明确n的取值对应多边形边数。
例2：一个多边形的内角和是1440°，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，根据内角和公式列方程：（n-2）×180°=1440° 解得：n-2=1440°÷180°=8，n=10。 答：它是十边形。 讲解要点：强调方程思想的应用，引导学生根据定理建立等量关系求解。
第6页：巩固练习——深化理解
1. 基础练习：① 求十边形的内角和；② 一个多边形内角和是900°，求它的边数。（学生独立完成，指名板演，教师点评纠错）
2. 拓展思考：① 正五边形的每个内角是多少度？（引导学生结合正多边形性质，用内角和公式计算：（5-2）×180°÷5=108°）② 为什么三角形没有对角线？（结合对角线定义和n-3的公式，当n=3时，3-3=0，所以没有对角线）
第7页：课堂小结——梳理知识，总结方法
1. 知识梳理：回顾多边形的定义、相关要素（边、顶点、内角、对角线）、正多边形概念，强化n边形内角和定理（n-2）×180°。
2. 方法总结：重点回顾“转化思想”（将多边形转化为三角形）和“从特殊到一般”的探究方法，鼓励学生在后续几何学习中灵活运用。
3. 疑问答疑：预留时间解答学生课堂遗留问题，梳理知识盲区。
类比三角形、四边形的概念，你能说出什么是多边形吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接，组成的封闭图形叫作多边形.
B
A
C
D
多边形定义的要素：
①在同一平面内；
②若干条线段；
③首尾顺次连接；
④封闭图形.
探索新知
在平面内，由 n（n ≥ 3）条线段 A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
多边形有几条边就叫作几边形.
……
三角形
四边形
五边形
六边形
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
n边形
活动
小组探究多边形的边、定点、角、对角线都有哪些规律。
请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、
对角线的定义.
边
顶点
内角
外角
对角线
组成多边形的各条线段
每相邻两条线段的公共端点
多边形相邻两边组成的角
多边形角的一边与另一边的延长线组成的角
连接多边形不相邻的两个顶点的线段
A
B
C
D
E
1
观察、思考、归纳：
三角形有____条边，____个内角，_____个外角.
四边形有____条边，____个内角，_____个外角.
五边形有____条边，____个内角，_____个外角.
六边形有____条边，____个内角，_____个外角.
……
n 边形有____条边，____个内角，_____个外角.
3 3 6
4 4 8
5 5 10
6 6 12
n n 2n
名称 四边形 五边形 六边形 n 边形
图形
顶点个数
从同一个顶点引出的对角线条数
对角线条数
探究多边形对角线的条数
4
5
6
n
1
2
3
n-3
2
5
9
(n-3)n
2
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线.
六边形的边：AB，BC，CD，DE，EF，FA.
顶点：点A，点B，点C，点D，点E，点F.
内角：∠BAF，∠ABC，∠BCD，∠CDE，
∠DEF，∠AFE
A
B
C
D
E
F
对角线：AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF.
1
6
5
4
2
3
外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6
A
B
C
D
凸四边形
你会画凸多边形吗？
凸七边形
凸八边形
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形。
这两个图形有什么特点？
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
各个角都相等、各条边都相等
各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
它们的内角和是多少度，你会求吗？
从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于____× 180°；
2
3
3
转化为三角形的内角和.
类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？
从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于____× 180°；
3
4
4
由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
…… …… …… ……
n
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=180°
2
3
3×180°=180°
3
4
4×180°=180°
(n-3)
(n-2)
(n-2)×180°
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n－2) 个三角形，n 边形的内角和
等于 (n－2)× 180°.
n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
正多边形的每个外角的度数等于
(n－2)× 180°
n
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
P
1. 在 n 边形内任取一点 P，连接 PA1，PA2，
…，PAn；
2. 把 n 边形分成 n 个三角形，这 n 个三角形
的内角和为 n ×180°；
3. 再减去以 P 为顶点的一个周角的度数；
4. 即得 n 边形的内角和为
n×180°－360°= (n－2)×180°
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
P
① 在 n 边形的一边上任取一点 P，与各顶点
相连，得 (n－1) 个三角形；
② n 边形内角和等于这 (n－1)个三角形的
内角和减去以 P 为顶点的一个平角的度数；
③ 即得 n 边形的内角和为
(n－1)×180°－180°= (n－2)×180°
在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.
四边形的外角和等于 360°.
A
B
C
D
你能根据四边形的外角和，说一说什么是多边形的
外角和？
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的外角和等于 ？
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______.
n 边形的内角和与外角和的总和等于__________.
n 边形的内角和等于_____________.
n 边形的外角和的总等于
邻补角
n × 180°
(n－2)×180°
n×180°－(n－2)×180°= 360°
多边形的外角和等于 360°.
从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点 A，然后转向出发时的方向.
在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.
由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°.
你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于 360°吗？
知道了多边形的外角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个外角是多少度吗？为什么？
因为正多边形的每个外角相等，所以用外角和（360°）除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个外角的度数.
正多边形的每个外角的度数等于
360°
n
例 2
一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为 n. 因为它的内角和等于 (n－2)× 180°，外角和等于 360°，所以
(n－2)× 180° = 2 × 360°.
解得 n = 6.
因此这个多边形是六边形.
复习巩固
1. 四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？
可以都是直角吗？为什么？
解：四边形的四个角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角. 理由如下：
若四个角都是锐角，则四边形的内角和小于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾.故四边形的四个角不可以都是锐角.
若四个角都是钝角，则四边形的内角和大于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾. 故四边形的四个角不可以都是钝角.
【选自教材第52页 习题21.1 第1题】
若四个角都是直角，则四边形的内角和等于 360°，符合四边形的内角和定理. 故四边形的四个角可以都是直角.
复习巩固
1. 四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？
可以都是直角吗？为什么？
【选自教材第52页 习题21.1 第1题】
2. 填表：
多边形的边数 3 4 5 6 8 12 20
内角和
外角和
180°
360°
360°
360°
540°
360°
720°
360°
1080°
360°
1800°
360°
3240°
360°
【选自教材第52页 习题21.1 第2题】
3. 求正五边形和正十边形的每个内角的度数.
解：∵正五边形的每个外角的度数为 360°÷5 = 72°，
∴每个内角的度数为 180°－72°= 108°.
∵正十边形的每个外角的度数为 360°÷10 = 36°，
∴每个内角的度数为 180°－36°= 144°.
【选自教材第53页 习题21.1 第3题】
4.（1）一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数；
（2）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数.
解：（1）设它的边数为 n，则有 (n－2)×180°= 360°，解得 n = 4.
∴它的边数为 4.
（2）设它的边数为 n，则有 (n－2)×180°= 360°×，
解得 n = 3.
∴它的边数为 3.
【选自教材第53页 习题21.1 第4题】
综合运用
5. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D，AB 与 DC 有怎样的位置关系？为什么？BC 与 AD 呢？
解：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴2(∠A + ∠D) = 360°，
即∠A + ∠D = 180°. 故 AB∥DC .
同理可得 ∠A + ∠B = 180°.
故 BC∥AD .
【选自教材第53页 习题21.1 第5题】
6. 如图，在 n 边形内任取一点 O，连接点 O 与 n 边形的各个
顶点，n 边形被分成多少个三角形？请你利用这种方法推导
n 边形的内角和公式.
解：由题意，得 n 边形被分成 n 个三角形.
∵ 1 个三角形的内角和等于 180°，
∴ n 个三角形的内角和等于 n×180°.
去掉中间的周角，得 n 边形的内角和为
n×180°－360°，
即 n 边形的内角和公式为 (n－2)×180°.
【选自教材第53页 习题21.1 第6题】
n－1
7. 如图，五边形 ABCDE 的内角都相等，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求 x 的值.
解：∠DEA = ∠EDC = ∠DCB = = 108°.
(5－2)×180°
5
在△DEA 中，∠DEA + ∠1 + ∠2 = 180°.
∵∠1 = ∠2，∴∠1 = 36°.
在△DCB 中，∠DCB + ∠3 + ∠4 = 180°.
∵∠3 = ∠4，∴∠3 = 36°.
∴∠ADB = ∠EDC-∠1-∠3 = 108°-36°-36°= 36°，即 x = 36.
【选自教材第53页 习题21.1 第7题】
拓广探索
8. 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 是它的两条对角线.
比较 AC + BD 与四边形周长的大小.
解：在△ABD 中，根据三角形的三边关系，得 AB + AD > BD.
同理可得，AB + BC > AC，AD + CD > AC，BC + CD > BD，
∴2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD) ，
即 AB + BC + CD + AD > AC + BD.
∴AC + BD 小于四边形的周长.
【选自教材第53页 习题21.1 第8题】
9. 如图，要使四边形木架（用 4 根木条钉成）不变形，至少
要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？
分析：要使多边形木架不变形，钉上木条使其变成三角形即可.
解：四边形木架至少要再钉上 1 根木条，五边形木架至少要再钉上 2 根木条，
六边形木架至少要再钉上 3 根木条.
【选自教材第53页 习题21.1 第9题】
返回
1．[2025广安期中]下列说法正确的有(　　)
①由n(n≥3)条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多 边形；
②正多边形的各边都相等；
③各角都相等的多边形是正多边形；
④等边三角形是正多边形；
⑤正多边形的各对角线相等．
A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个
B
返回
2．对于八边形对角线的描述，正确的是(　　)
甲：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线；
乙：过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成5个三角形．
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
A
返回
3．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图①)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图②是其平面示意图，则∠1的度数为(　　)
A．130°　 B．120°　
C．110°　 D．60°
B
返回
4．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是(　　)
A．外角和减少180°
B．外角和增加180°
C．内角和减少180°
D．内角和增加180°
D
返回
5．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4，∠5＝80°，则∠3的度数是________．
65°
6．如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′为________．
45°
这节课有什么收获呢？
多边形
正多边形
多边形的内角和
多边形的外角和
(n－2)× 180°
360°
多边形及其内角和
谢谢观看！

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