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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.2.1.1 平行四边形的性质
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
学习目标
1. 理解平行四边形的概念．
2. 探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分
的性质，发展学生的合情推理能力，培养学生主动探究的习惯．
3. 利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明，提高学生运用
数学知识解决实际问题的能力．
新课导入
下面图形给我们留下什么图形的形象？
伸缩门
竹篱笆
只有一组对边平行
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
梯形
探索新知
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
什么样的图形叫作平行四边形呢？
平行四边形用“□ ”表示.
平行四边形 ABCD 记作“□ ABCD”.
注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序.
几何语言:
双重 含义
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
A
B
C
D
平行四边形的基本元素
基本元素 主要内容 图示
边 邻边
对边 角 邻角 对角 对角线 四组：AD和AB，DA和DC，CD和CB，BC和BA
两组：AB 和 DC，AD 和 BC
四组：∠BAD和∠ADC，∠ADC 和 ∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠BAD 和 ∠ABC
两组：∠BAD 和 ∠BCD，∠ADC 和 ∠ABC
两条：AC 和 BD
D
A
C
B
O
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
平行四边形满足两个条件
一、是四边形
二、两组对边分别平行
×
√
×
×
√
如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD , EF 与GH 交于点O，则图中平行四边形共有（ ）.
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个
A
B
C
D
E
G
H
O
F
C
图中EF分出2个，
GH分出2个，
EF和GH分出4个，
加上□ABCD，
共有9个平行四边形 .
A
D
B
C
根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下.
AD = 5.5 cm，
BC = 5.5 cm，
AD = BC
A
D
B
C
BA = 3.5 cm，
CD = 3.5 cm，
BA = CD
猜想 1：平行四边形的对边相等.
A
D
B
C
∠A = 120°，
∠C = 120°，
∠A = ∠C ，
∠B = 60°，
∠D = 60°，
∠B = ∠D .
猜想 2：平行四边形的对角相等.
猜想 1：平行四边形的对边相等.
猜想 2：平行四边形的对角相等.
你能证明这些猜想吗？
A
D
B
C
思考：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质.如何构造三角形？
连接任意一条对角线即可.
1
4
2
3
证明：如图，连接□ ABCD 的对角线 AC.
A
D
B
C
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，
∴△ABC ≌△CDA
∴AB = CD，BC = DA，∠B = ∠D.
（两直线平行，内错角相等）
（ASA）
请你自己证明∠BAD = ∠DCB.
∵∠1 = ∠2，∠4 = ∠3，
∴∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3，
即∠BAD = ∠DCB.
A
D
B
C
不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义，
证明其对角相等呢？
答：能.证明：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°.
∴∠A = ∠C.
同理可证 ∠B = ∠D.
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等 .
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB = CD,BC = AD；
∠A = ∠C，∠B = ∠D.
归纳小结
在平行四边形ABCD中，
AB ＝ CD，AD ＝ BC.
∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
几何语言：
平行四边形的性质
A
D
B
C
1. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点.
求证:∠ADE = ∠CBF.
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD.
∵E，F 分别是 AB，CD 的中点，
∴AE = AB，CF = CD. ∴AE = CF.
∴△AED≌△CFB(SAS).
∴△ADE=∠CBF.
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F.
（1）若∠A = 50°，求 ∠E 的度数；
解: 在△ABC中，∵∠A = 50°，AB = AC，
∴∠C =∠ABC = (180°－50°)÷2 = 65°.
∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴∠E = ∠C = 65°.
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F.
（2）若 AD = CD，BC = 6，求 EF 的长.
∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴BE // CD，DE = BC = 6，BE = CD，
∴∠E =∠ADF，∠EBF =∠A.
∵AD = CD，BE = AD.
∴△BEF≌△ADF (ASA). ∴EF = DF = DE = 3.
如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
D
C
A
B
O
用尺子量一量，你发现了什么？自己动手试一试.
OA = OC，OB = OD.
单击跳转几何画板
D
C
A
B
O
改变□ ABCD 的形状，你发现的结论还成立吗？
D
C
A
B
O
D
C
A
B
O
想一想，怎么证明？
如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
D
C
A
B
O
4
2
1
3
证明：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴DC∥AB，DC = AB.
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴△DCO ≌ △BAO（ASA）.
∴OD = OB，OC = OA.
同理，△OAD ≌△OCB.
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
A
B
C
D
O
1
2
4
3
归纳小结
平行四边形的性质
例 1
如图， □ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB = 10，AD = 8，AC ⊥ BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 □ ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
【思路分析】
平行四边形对边相等
BC，CD 的长
运用勾股定理
AC 的长
面积公式
□ ABCD 的面积
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC = AD = 8，CD = AB = 10.
∵AC ⊥ BC，
∴△ABC 是直角三角形.
根据勾股定理，AC = = 6.
∴ OA = OC = S□ABCD = BC · AC = 8×6 = 48.
A
B
C
D
O
例 1
如图， □ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB = 10，AD = 8，AC ⊥ BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 □ ABCD 的面积.
1. 如图，将□ ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点B′处.若∠1 ＝∠2 ＝ 44°，则∠B 的度数为（ ）
A. 66°
B. 104°
C. 114°
D. 124°
思维拓展
C
2. 如图， □ABCD 的周长是36cm，从顶点 D 分别向 AB，BC 引两条高 DE，DF.若 DE = cm，DF = cm，求这个平行四边形的面积.
思维拓展
解：设AB ＝ x cm，BC ＝ y cm.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AB ＝CD，AD ＝BC.
又□ ABCD 的周长是36 cm，∴ x ＋ y ＝ 18.①
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，∴ S □ ABCD ＝ AB·DE ＝ BC·DF.
∴ .②
由①②，得 x = 10，y ＝ 8.∴ AB ＝ 10 cm，BC ＝ 8 cm.
∴
练 习
1. 在□ ABCD 中，
（1）已知 AB = 5，BC = 3，求另外两边的长；
（2）已知 ∠A = 38°，求其余各内角的度数.
解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD = AB = 5，AD = BC = 3.
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C = ∠A，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A + ∠B = 180°，∠A + ∠D = 180°.
∵∠A = 38°，∴∠C = 38°，∴∠D = ∠B = 180°－38°= 142°.
【选自教材第57页 练习 第1题】
2. 如图， □ ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，BC = 10，AC = 8，BD = 14. △AOD 的 周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？
A
B
C
D
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4，
OD＝ OB ＝ 7，
△ABO 与△ADO 的周长呢？
又△DBC 的周长－△ABC 的周长 = (BD +
BC + CD)－(AB + BC + AC)= BD + BC + CD－AB－BC－AC = BD－AC = 14－8 = 6，
∴△DBC 的周长比△ABC 的周长要长 6.
归纳：相邻两个小三角形的周长之差等于邻边长之差.
∴ △AOD的周长＝AD+OA+OD＝10+4+7＝21，
【选自教材第57页 练习 第2题】
3. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分
构成了一个四边形. 转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的
长度有什么关系？为什么？
解：AD = BC. 理由：
∵两张纸条的两组对边都互相平行，
∴重合的部分构成的四边形是平行四边形.
由平行四边形的对边相等，得 AD = BC.
【选自教材第57页 练习 第3题】
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1．[2025绍兴期中]在 ABCD中，∠A∶∠B＝2∶1，则∠C的度数为(　　)
A．50°　 B．60°　 C．100° D．120°
D
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2．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A(－3，2)，点B(－1，－2)，点C(3，－2)，则点D的坐标为(　　)
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(1，3)
D．(2，3)
A
3．如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝7，∠ADC的平分线交BC于点E，则BE的长为(　　)
A．1　
B．2　
C．3　
D．4
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【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, AD＝BC＝7，AB＝DC＝5.∴∠ADE＝∠CED.∵∠ADC的平分线交BC于点E，∴∠ADE＝∠CDE.∴∠CDE＝∠CED.∴CE＝CD＝5.∴BE＝BC－CE＝7－5＝2.故选B.
【答案】B
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4．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为(　　)
A．8
B．10
C．15
D．30
C
5．如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝114°，则∠BAC的度数是________．
22°
返回
【点拨】设∠BAC＝α.∵AE＝BE，∴∠EBA＝∠BAC＝α，∴∠BEC＝∠EBA＋∠BAC＝2α.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AD∥BC，AB∥CD.又∵AD＝BE，∴BE＝BC，∠DAC＝∠BCE.∴∠BCE＝∠BEC＝∠DAC＝2α.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝3α.∵AB∥CD，∴∠D＋∠BAD＝180°，即114°＋3α＝180°.∴α＝22°，即∠BAC＝22°.
8
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7．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，点F在BC上，连接EF使EF恰好经过点O．
(1)求证：DE＝BF；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，AD∥BC.
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO.
∴△DEO≌△BFO(AAS)．∴DE＝BF.
返回
(2)若AC⊥BD，ED＋CF＝5，AC＝6，求BD的长．
8．已知 ABCD的周长为48 cm，∠ABC的平分线交边AD所在的直线于点E，且AE∶ED＝3∶2，则边AD的长是(　　)
A．9 cm或18 cm B．6 cm或15 cm
C．9 cm D．15 cm
【点拨】如图①，当点E在线段AD上时．∵AE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EBC＝∠AEB.∴∠ABE＝∠AEB.
∴AB＝AE.∵AE∶ED＝3∶2，
∴设AE＝3x cm，ED＝2x cm.∴AB＝3x cm.
∵ ABCD的周长是48 cm，
∴2(3x＋3x＋2x)＝48，解得x＝3.
∴AD＝AE＋ED＝3x＋2x＝5x＝15 cm；
返回
如图②，当点E在AD的延长线上时，同理可得AB＝AE. ∵AE∶ED＝3∶2，∴设AE＝3x cm，ED＝2x cm，∴AB＝3x cm，AD＝AE－ED＝3x－2x＝x cm.
∵ ABCD的周长为48 cm，∴2(3x＋x)＝48，
解得x＝6，∴AD＝6 cm. 综上所述，
边AD的长是6 cm或15 cm.
【答案】B
平行四边形的概念是什么？平行四边形的边、角有哪些性质？
全等三角形
平行四边形
概念：对边平行
边、角、对角线的性质
简单应用
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.
谢谢观看！

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