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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.2.1.2平行四边形的性质的运用
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
学习目标
1. 进一步提高对平行四边形性质的认识，并且能灵活
运用各种性质．
2. 以数学的眼光观察生活中的场景，从中抽象出两条
平行线之间的距离．
3. 理解两条平行线之间的距离的概念，能度量两条平
行线之间的距离．
知识回顾
平行四边形有哪些性质？
平行四边形
定义：
两组对边分别平行
AB∥CD 且 AD∥BC
边：对边平行且相等
AB = CD，AD = BC
角：对角相等
∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC
邻角互补
∠BAD + ∠ABC = 180°
对角线：互相平分
AO = OC，BO = OD
A
B
C
D
O
探索新知
如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F. 求证 OE = OF.
例 2
B
C
A
D
O
E
F
【解题思路】
四边形问题
三角形问题
转化
再想三角形全等定理，看符合哪个就用哪个.
SSS
SAS
ASA
AAS
探索新知
如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F. 求证 OE = OF.
例 2
B
C
A
D
O
E
F
证明：在□ ABCD 中，AB∥CD，
∴∠EAO = ∠FCO，∠AEO = ∠CFO.
又 OA = OC，
∴△AOE≌△COF，∴OE = OF.
同理也可证△BOE ≌ △DOF.
改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗？
□ ABCD 被线段 EF 所截的两部分面积与周长呢？
点击打开几何画板演示
归纳：若一条直线经过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边所截的线段相等，且这条直线平分该平行四边形的面积和周长.
A
B
C
D
E
F
O
距离是几何中的重要度量之一.想一想我们学过哪些距离？
点与点之间的距离
点到直线的距离
两条平行线之间的距离
有什么特点？
利用方格纸画出直线 a//b，A，D 为直线 a 上任意两点.
a
b
c
d
A
B
D
C
再测量一下点 A，D 的距离和点 B，C 的距离，它们相等吗？
过点 A，D 分别画直线 c，d，使 c∥d，B，C 分别是直线 c 和 b，直线 d 和 b 的交点，用刻度尺测量点 A，B 的距离和点 D，C 的距离，它们相等吗？
AB = 2.9cm
CD = 2.9cm
相等
AD = 2.7cm
BC = 2.7cm
相等
如图，a∥b，c∥d，c，d 与 a，b 分别相交于 A，B，C，D 四点.
A
a
b
c
d
C
B
D
AB 和 CD 之间有什么关系？
∵AC∥BD，
∴四边形 ABDC 是平行四边形，
夹在两条平行线之间的任何
两条平行线段都相等.
AB∥CD，
∴AB = CD.
a
b
A
B
C
D
E
F
概念引入: 从上面的结论进一步可以知道: 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
图中 AB，CD 均可表示平行线 a，b 之间的距离.
a
b
A
B
C
D
E
F
AB、CD、EF 之间有什么关系？
AB∥CD∥EF
两条平行线之间的距离处处相等.
位置关系：
AB = CD = EF
数量关系：
图中 AB，CD 均可表示平行线 a，b 之间的距离.
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
归纳小结
几何语言：
两条平行线之间的距离的性质
a
b
A
B
C
D
E
F
∵ a // b ，AB⊥ b ，CD⊥ b ，EF⊥ b ，
∴ AB = CD = EF.
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条线平行线之间的距离
区别
联系 连接两点的线段的长度
直线外一点到
这条直线的垂
线段的长度
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
都是指相应线段的长度，点到直线的距离、两条平行线之间的距离的本质都是点与点之间的距离
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
例 3
A
D
B
C
E
F
【思路分析】
AD∥BC
平行线之间的距离相等
三角形全等
∠B = ∠C
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
例 3
证明：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，过点 A，D 分别作 AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F.
∵AE，DF 的长都是平行线 AD，BC 之间的距离，
∴AE = DF.（两条平行线之间的距离处处相等）
又 AB = DC，
∴Rt△ABE ≌ Rt△DCF .
∴∠B = ∠C.
A
D
B
C
E
F
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
例 3
A
D
B
C
你还有其他证明方法吗？
有. 证明：如图，过点 A 作 AE∥DC交 BC 于点 E .
∵AD∥BC，AE∥DC，AB = DC，
∴AE = DC = AB，∠C = ∠AEB .
∴∠B = ∠AEB = ∠C.
E
如图，在□ ABCD 中，∠BAD 的平分线 AP 交 BC 于点 P，∠ABC ＝ 110°.
（1）求∠APB 的度数；
（2）若 AB＝3，AD ＝5，求 PC 的长．
解:（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAB ＝ 180°－∠ABC ＝ 70°，
∠APB ＝ ∠DAP．
∵AP 平分∠DAB，∴∠DAP＝∠DAB＝35°，
∴∠APB＝∠DAP＝35°.
如图，在□ ABCD 中，∠BAD 的平分线 AP 交 BC 于点 P，∠ABC ＝ 110°.
（1）求∠APB 的度数；
（2）若 AB＝3，AD ＝5，求 PC 的长．
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝ BC ＝ 5．
由（1）得∠DAP＝∠BAP，∠DAP＝∠APB，
∴∠APB＝∠BAP ，
∴BP＝AB＝3，∴PC＝BC－BP＝5－3＝2．
练 习
1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC = 70°，BE 平分∠ABC
且与 AD 相交于点 E，DF∥EB 且与 BC 相交于点 F. 求∠1 的大小.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC = 70°，
∴∠ADC = ∠ABC = 70°，AD∥BC. ∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠EBC = ∠ABC = 35°.
又 DF∥EB，∴∠DFC = ∠EBC = 35°.
∵AD∥BC，∴∠ADF = ∠DFC = 35°.
∴∠1 =∠ADC－∠ADF = 35°.
【选自教材第59页 练习 第1题】
2. 如图， □ ABCD 的周长为 16，对角线 AC，BD 相交于点 O，
点 E 在 AD 上，OE ⊥ AC . 求△CDE 的周长.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且周长为 16，两条对角线的交点为 O，
∴AD + CD = 16÷2 = 8，OA = OC.
又 OE ⊥ AC，
∴OE 垂直平分 AC，∴AE = CE，
∴△CDE 的周长为 CE + DE + CD = AE + DE + CD = AD + CD = 8.
【选自教材第59页 练习 第2题】
3. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C = 90°，AD = 3，AB = 4，
BC = 5，E 为边 BC 上一点，AB∥DE. 求 AD，BC 之间的距离.
解：∵AD∥BC，AB∥DE，
∴DE = AB = 4，BE = AD = 3.
∴CE = BC－BE = 5－3 = 2.
在 Rt△DCE 中，CD = = = 2，
∴AD，BC 之间的距离是 2.
【选自教材第59页 练习 第3题】
4. 如图，已知直线 l1 ∥ l2，点C 1 ，C2 ，C 3 在直线 l 1上，且C1A⊥l2，垂足为A，点B在直线 l2 上.设△ABC1 的面积为S1，△ABC2 的面积为S2，△ABC3 的面积为S3 ，小颖认为S1 ＝ S2 ＝ S3 ，请帮小颖说明理由.
解：∵ 直线l 1 ∥ l2 ，点C 1 ，C2 ，C 3 均在l 1上，
∴ △ABC1 ， △ABC2 ， △ABC3的边AB上的高相等.
∴ △ABC1 ， △ABC2 ， △ABC3同底等高.
∴ S1 ＝ S2 ＝ S3 .
返回
1．如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于点E，交CD于点F，直线MN交AB于点M，交CD于点N，交EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是(　　)
A．MN B．OE
C．EF D．OF
C
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2．在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为4 cm，则a与c之间的距离为(　　)
A．1 cm B．9 cm
C．4 cm或5 cm D．1 cm或9 cm
D
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B
4．[2025黄石期末]如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若四边形EPFQ的面积为20 cm2，则图中阴影部分的面积为________cm2．
20
返回
【点拨】连接EF，由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线间距离处处相等易得S△AED＝S△AEF，所以S△AED－S△AEP＝S△AEF－S△AEP，即S△APD＝S△EPF.同理可得S△BQC＝S△EQF，则图中阴影部分的面积＝S△APD＋S△BQC＝S△EPF＋S△EQF＝S四边形EPFQ＝20 cm2.
5．[2025上海静安区月考]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，若△ABC的面积是4，AB∶ CD＝1∶3，则△ACD的面积＝________；若△AOB的面积是1，△ABC的面积是4，则△AOD的面积＝________.
12
3
返回
两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
两条平行线之间的距离处处相等.
A
a
b
c
d
C
B
D
a
b
A
B
C
D
E
F
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
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