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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.2.2.2 平行四边形的判定(2)
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1. 理解并掌握用一组对边平行且相等来判定
平行四边形的方法．
2. 会将平行四边形问题转化为三角形的问题，
渗透化归意识．
3. 综合运用平行四边形的判定方法和性质进行
证明和计算．
学习目标
复习导入
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC ， OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？
动手画一画
问题1 一组对边平行的四边形是平行四边形吗？
问题2 满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
问题3 如果一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
表示平行且相等.
AB∥CD
AB = CD
活动：
分析给出的条件，讨论证明过程中还需要什么条件，并进行证明.
AD∥BC
AD = BC
（两组对边分别平行）
（两组对边分别相等）
A
B
C
D
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：连接 BD.
∵AB∥CD，
∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，BD = DB，
∴△ABD ≌△CDB .（SAS）
∴∠3 = ∠4，∴ AD ∥ BC.
又 AB ∥ CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
1
2
4
3
AB∥CD
AD∥BC
A
B
C
D
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：连接 AC.
∵AB∥CD，
∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，AC = CA，
∴△ABC ≌△CDA .（SAS）
∴BC = DA.
又 AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
1
2
AB = CD
AD = BC
归纳小结
几何语言：
平行四边形的判定方法5
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
在四边形 ABCD 中，
∵AB∥CD，AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
A
B
C
D
提示：同一组对边平行且相等.
等腰梯形
A
B
C
D
问题4 如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形．
例 5
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
如图，在 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点. 求证 DE BF .
∴ AB CD .
又 EB = AB，DF = CD，
∴ EB DF .
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
∴ DE BF .
D
A
B
C
E
F
只需证四边形 EBFD 是平行四边形.
1. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，添加下列 条件中的一项，不能保证四边形 AFCE 是平行四边形的是（ ）
①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE．
A.①　　　　　B.②　　　　　C.③　　　　　D.④
A　　　
2. 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证：
四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD∥EF，AD = EF，
EF∥BC， EF = BC.
∴AD∥BC，AD = BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
3. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在
直线 AD 的两侧，AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC． 求证：
四边形 BFCE 是平行四边形．
证明： ∵AB = CD，
∴AB + BC = CD + BC，即 AC = BD，
在△ACE 和△DBF 中，
AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF，∴△ACE ≌△DBF (SAS).
∴CE = BF，∠ACE =∠DBF.
∴CE∥BF.
∴四边形 BFCE 是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD = 9cm，BC = 6cm.
P，Q分别是AD，BC上的动点，点P以1cm/s 的速度由点A出发向终点D运动，同时点Q以2cm/s的速度由点C出发向终点B运动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动.经过几秒，直线 P Q 在四边形 ABCD 上截出一个平行四边形？
思维拓展
BQ = AP
CQ = PD
思维拓展
解：设点 P，Q运动的时间为t s.
依题意，得 AP = t cm，CQ = 2t cm.
则BQ = (6－2t) cm，PD = (9－t) cm.
∵AD//BC，∴分两种情况讨论：
①当 BQ = AP 时，四边形 APQB 是平行四边形，
此时 6－2t = t，解得 t = 2.
②当 CQ = PD 时，四边形 CQPD 是平行四边形，
此时 2t = 9－t，解得 t = 3.
综上所述，经过2s或3s，直线 PQ 在四边形 ABCD 上截出一个平行四边形.
练 习
1. 如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行
的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了. 你能说出其中的道理吗？
解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知，当两条枕木平行且相等时，两条直铺的铁轨互相平行.
【选自教材第62页 练习 第1题】
易证 AE∥CF，只需再证 AE = CF 或 AF∥CE .
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD = BC，AD∥BC，
∴∠ADE = ∠CBF.
又 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴易得∠AED = ∠CFB = 90°，AE∥CF.
∴△AED≌△CFB（AAS），∴AE = CF.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
2. 如图，在 ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C
两点分别作 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F .
求证：四边形 AFCE 是平行四边形.
【选自教材第62页 练习 第2题】
3. 如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个
平行四边形？为什么？
解：有 6 个平行四边形.
A
B
C
D
E
F
O
□ ABOF
□ AOEF
□ ABCO
□ BCDO
□ CDEO
□ DEFO
【选自教材第62页 练习 第3题】
返回
1．如图，AD∥BC，AD＝BC，AC，BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，则图中的全等三角形共有(　　)
A．7对
B．6对
C．5对
D．4对
B
2．八年级6班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件：①BE＝DF；②∠B＝∠D；③∠BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形.
返回
问题：如图所示，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，________，求证：四边形AECF是平行四边形．你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？
其中所填条件符合题目要求的是(　　)
A．①②③④ B．①②③
C．①④ D．④
C
返回
3．如图所示，AB∥DC，AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，AC和BD交于点E，若S△ABE＝4，则S△ACD＝________．
8
返回
4．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB＝BF，请你添加一个条件(不需再添加任何线段或字母)，使之能推出四边形ABCD为平行四边形，你添加的条件是________．
CD∥AB
(答案不唯一)
5．[2025苏州]如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE．
(1)求证：△DAC≌△ECB；
返回
(2)连接DE，若AB＝16，求DE的长．
这节课有什么收获呢？
平行四边形的判定
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形
边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
判定方法的选择
元素 已知条件 证明思路 本质
边 一组对边相等
一组对边平行
角 角
对角线 对角线相交
另一组对边相等
两组对边分别相等
另一组对边平行
对角线相互平分
两组对角分别相等
两组对边分别平行
对角线相互平分
两组对角分别相等
该组对边平行
一组对边平行且相等
该组对边相等
一组对边平行且相等
谢谢观看！

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